Катречко С.Л.

Трансцендентальная философия математики [1]

 

1. Прежде всего, определим, что следует понимать под трансцендентальной философией математики, опираясь на кантовскую мысль. Во «Введении» к своей «Критике чистого разума» Кант дает следующее, итоговое, определение трансцендентального:

«Я называю трансцендентальным всякое познание, занимающееся не столько предметами, сколько видами нашего познания предметов, поскольку это познание должно быть возможным a priori. Система таких понятий называлась бы трансцендентальной философией» (1, 44).

Из первой части данного определения следует, что предметом трансцендентальной философии математики является анализ такого «вида познания» как математическая деятельность. Вторая часть данного кантовского фрагмента определяет задачу такого анализа как выявление априорных оснований математической деятельности, т.е. таких оснований, которые придают математике характер аподиктичности (необходимости). Целью же трансцендентальной философии математики должно выступать построение связанной системы таких понятий, т.е. «категориального каркаса» математической деятельности.

 

2. Введенное выше общее понимание трансцендентальной философии математики нуждается в некотором уточнении. Первое уточнение связано с общей интенцией кантовского подхода, а именно с его критическим подходом. В нашем случае это преломляется так. Нам необходимо осуществить построение такого онтологического категориального базиса математики, который будет опираться на реальную — гносеологическую — практику математической деятельности, осуществляемую трансцендентальным субъектом. Т.е., во-первых, это должна быть не какая-то красивая система понятий, а система, соотносимая с реальным опытом работы математика, за счет чего удастся избежать «выходящей за рамки опыта метафизической спекуляции». Во-вторых, кантовское указание на опыт трансцендентального субъекта, говорит о том, что в нашем анализе мы должны избегать излишнего психологизма или субъективизма, т.е. не «зацикливаться» на частном описании своей работы какого-либо крупного математика (например, на описании «математического творчества» А. Пуанкаре), а опираться на идеализированную (типичную) модель математической деятельности вообще. В частности, сам Кант описывает математическую деятельность (с чем можно не согласиться, предложив другую модель) как «познание посредством конструирования понятий», что предполагает совместную работу рассудка и воображения, или, говоря современным языком, определенное сочетание синтаксиса и семантики: каждая языковая («рассудочная» по Канту) конструкция должна опираться на соответствующее «созерцание», т.е. иметь выполняющую его модель.

 

Вот точный фрагмент Канта по этому поводу:

«Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» (1, 423).

3. Второе уточнение имеет более тонкий характер и связано с кантовским различением априорного и трансцендентального. Собственно, неявным образом мы уже говорили о нем, выделив выше гносеологизм кантовского подхода. Кроме того, определенное указание на него содержится и в приведенном фрагменте, где Кант различает «эмпирическое (единичное) созерцание» (например, вот этой нарисованного треугольника) и «(всеобщее) общезначимое созерцание» как «действие по конструированию понятия» (для понятия треугольника это действие состоит приблизительно в «двойном изломе» при проведении прямой линии, что и приводит к построению (конструированию) треугольника)[2]. Суть этого различения состоит в том, что не любое спекулятивное, т.е. не основанное на опыте (априорное в общем понимании), понятие является трансцендентальным, и поэтому мы должны критически «ограничить» область априорно-спекулятивного только теми понятиями, которые получили трансцендентальную проверку, т.е. соотносятся с познавательными «действиями» трансцендентального субъекта.

Для точного понимания кантовской мысли приведем развернутое определение трансцендентального, «влияние которого простирается на все его дальнейшие рассуждения»:

«Трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание… а только знание о том, что те или иные представления вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, каким образом они тем не менее могут a priori относиться к предметам опыта» [1, 73][a].

Ключевым для различения между априорным и трансцендентальным здесь является вторая часть «определения», где Кант вводит требование ограничения сферы априорного (не–эмпирического) знания путем ее соотнесения с эмпирическими «предметами опыта», которое как раз и осуществляется в ходе познавательного акта. Чуть ниже (на той же с. 73) Кант дает ключевое пояснение трансцендентального как «понятий, a priori относящихся к предметам не как чистые [т.е. априорные] или чувственные созерцания, а только как действия чистого рассудка» (вставки и выделение наше. — К.С.)[3]. Тем самым, трансцендентальным по Канту является то, что связывает между собой, имеющего априорные формы знания, субъект и апостериорный объект познания, а таковыми могут быть только «[познавательные] действия» субъекта в акта познания, в ходе которого только и осуществляется подобная связь; все априорное, не имеющее прямого или косвенного отношения к «действиям рассудка» в ходе познания должно быть отброшено.

 

4. Другим важным различением для построения трансцендентальной философии математики является то обстоятельство, что сама математика является неоднородной сферой и включает в себя разные типы деятельности. Например, принципиально различными являются «топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике» (заглавие одноименной статьи Г. Вейля) (подробнее тема неоднородности математики обсуждается в [2]). В этом случае философия математики, основанная на выявлении оснований как «действий чистого мышления», должна быть разделена на трансцендентальные философии разнородных частей математики, поскольку в каждой из них будет свой трансцендентальный «категориальный каркас» [но далее эту тему здесь развивать не будем].

 

5. С учетом сделанного в п. 3. различения, можно выделить следующие трансцендентальные основания математической деятельности: априорные (как общие онтологические и гносеологические допущения), априорно-трансцендентальные, трансцендентально-антропологические и трансцендентально-прагматические (последний тип восходит уже к более позднему кантовскому «тексту» «Opus postumum»).

 

Априорные основания

В данном случае под «априорным» мы понимаем относительное кантовское a priori, т.е. те общие онтологические и гносеологические допущения, на которые опирается математика. При этом надо учесть, что математика представляет собой иерархию разных структурных уровней. Структурность математического знания хорошо выявлена в работах Н. Бурбаки. Положив в основание степень выразительных возможностей языка, иерархию математического знания можно представить следующим образом:

== А. Язык, общая картина мира ==

== В. Логические теории ==

1.      Исчисление высказываний: введение символов логических связок &, V, ¬, Þ

2.      Исчисление предикатов первого порядка: введение кванторов $, "

3.      Эгалитарные теории, или исчисления предикатов с равенством

== С. Теоретико-множественный язык математики ==

4.      Наивная и аксиоматические теории множеств: введение основной теоретико-множественной операции принадлежности элемента множеству (Î)

== D. Пред-математика (уровень простых математических теорий) ==

5.      Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка [см. работу Н. Бурбаки «Архитектура математики»]

== E. (собственно) МАТЕМАТИКА (Математические теории) ==

6.      Сложные математические структуры: как комбинация основных структур

 

Каждый из уровней А — Е имеет свой «набор» онтологических и гносеологических допущений (отметим, что это замечание относится и ко всем последующим «основаниям»). Причем вполне возможно такое положение дел, когда отдельные онтологические и гносеологические основания как внутри уровней, так и относящиеся к разным уровням не полностью совместимы друг с другом. Именно эта несовместимость является глубинной основой для существующих и/или возникающих в математике парадоксов (кризисов математики), грамотное разрешение которых предполагает на только внутриматематическую, но и философско-методологическую работу по устранению этой несовместимости.

Не развивая эту тему подробно, заметим, что на нижних этажах иерархии (уровни A — B) преобладает номиналистический подход, т.к. действует критерий У. Куайна: «Существовать — значит быть значением подкванторной переменной», который признает существование лишь индивидов. Но, начиная с теории множеств (особенно «наивной теории множеств» Кантора), предшествующий номинализм начинает тем или иным образом сосуществовать с реализмом (платонизмом): именно это обстоятельство привело к кризису в основаниях математики начала XX в., причем оно продолжает действовать и до сих пор.

По сути, онтология (математики) должна ответить на вопрос, какие типы «математических объектов» допустимы в математических рассуждениях, а гносеология — на вопрос о том, какие (гносеологические) операции//процедуры с ними допустимы. Например, к гносеологическим допущениям относится финитная установка Д. Гильберта, запрещающая использовать в рассуждениях любые не-финитные (бесконечные) способы рассуждения, или, как «ослабленная» модификация этого запрета, трансфинитная индукция Г. Генцена, что позволило ему доказать непротиворечивость чистой теории чисел. Отметим также и наметившееся, начиная с середины ХХ в., изменение онтологической установки математики, связанное с «переходом» от теории множеств к теории категорий, которая претендует на роль альтернативного, по сравнению с теорией множеств, языка математических рассуждений. В философском аспекте это связано с переходом от классической аристотелевской «вещной онтологии» (resp. в теоретико-множественном языке исходными математическими объектами являются элементы, из которых строятся более сложные объекты–множества), к «функциональной онтологии» Л. Витгенштейна, где «вещам» отводится роль лишь «вторичных» объектов, а первичная роль принадлежит «отношениям», математическим аналогом которых выступает «функция».

В качестве интересной альтернативы теоретико-множественному подходу на достаточно «низком» уровне нашей иерархии, на уровне исчисления предикатов, выступает «тернарный подход» А. Уемова [3], который наряду с «индивидуальными» и «универсальными» объектами вводит и «неопределенные объекты», соответствующие грамматическим конструкциям с неопределенным артиклем. Различие между стандартной и тернарной онтологией можно показать на примере анализа фразы «Какой-то саксонский король был разгромлен при Гастингсе». В стандартной логике предикатов, это выражение формализуется с помощью квантора существования (т.е. цельное выражение «какой-то король» разлагается на (конкретного) «короля» — индивидную переменную и «какой-то» (некоторый) — квантор существования), предполагая что в реальности могут существовать только хорошо определенные индивидуальные объекты, грамматически выражаемые с помощью определенного артикля (ср. с критерием Куайна). В онтологии Уемова выражение «какой-то саксонский король» понимается как цельное выражение (как отмечает Уемов, именно так понимает это выражение «обычный» человек, в отличие от «математического логика»), указывающее на неопределенного короля. Заметим, что интуиция «хорошо определимых, отличимых предметов», положенная в  основу теоретико-множественного подхода (resp. понятия множества) перестает работать в области объектов микромира, которые уже не так хорошо «различимы» (см. с «принцип неопределенности» В. Гейзенберга). Более того, даже в нашем среднем мире строгая (чистая) математика, построенная на базе теории множеств, реализуется лишь как теория вероятностей.

 

Априорно-трансцендентальные основания

Именно этот тип оснований может быть соотнесен с кантовским трансцендентальным в узком смысле этого слова. В каком-то смысле слова, они является конкретизацией априорных оснований первого типа, имеющих общую, или формальную, значимость. В существующей философии математики, этому типу оснований уделяется незаслуженно мало внимания, хотя частично этот недостаток компенсируется в работах по логической семантике и метаматематике. По Канту, выявлением этих оснований должна заниматься трансцендентальная логика. В отличие от общей (формальной) логики [allgemeine Logik], которая «отвлекается от всякого содержания познания… [и изучает] одну лишь форму познания в понятиях, суждениях и умозаключениях [здесь и далее выделено жирным мной. — К.С.]» [1, 121], т.е. исследует формальные законы универсума рассуждений, «трансцендентальная логика имеет дело с определенным содержанием» [1, 120]. Чем важно это кантовское различение для математики? По своей сути, математика тяготеет к работе с однородным количественным универсумом, отвлекаясь, как и лежащая в ее основе формальная логика, от качественного разнообразия моделируемой реальности. Математика, в отличие от «физика», не интересует «природа» (фюзис) изучаемых объектов, поскольку он сосредотачивает свое внимание на исследовании количественных форм (абстракций). Например, если мы возьмем аристотелевский «медный шар», то геометр будет исследовать закономерности, связанные с «шарообразностью» этого объекта, отвлекаясь от его «медности»: именно это и позволяет достигать математике универсальности выявляемых ею законов, применимых, в нашем примере, к любому шару вообще.

Кантовская же идея трансцендентальной логики состоит в том, что при разработке синтаксических формализмов необходимо учитывать семантику универсума, в частности его структурную и качественной разнородность, т.е. необходимо вводить определенные семантические («содержательные») ограничения на формальные (синтаксические) математические «выводы» логики путем трансцендентальной разметки объектов и областей математического рассуждения. Достаточно показательным примером такой «разметки» может служить теория типов Рассела, которая таким способом позволила «заблокировать» возникающие в теории множеств парадоксы (заметим, что подобные ограничения, хотя и менее «слабые», вводятся во всех последующих аксиоматиках теории множеств). А элементарным примером подобного семантического ограничения является запрет деления на ноль, хотя чисто синтаксически (формально) «0» не отличается от других чисел.

Суть кантовского трансцендентального подхода к логике (силлогистике) проясняется в его «Аналитике понятий» [1, 98; B 128—129]. Анализируя суждение «Все тела делимы», он замечает, что формально-логически функции субъекта и предиката в данном суждении не зафиксированы, что позволяет совершить «обращение» этих понятий и построить, например, суждение «Некоторое делимое есть тело». Трансцендентальная логика, «имея дело с определенным содержанием», маркирует понятие «тела» как субстанцию, что запрещает его предикативное использование. Как отмечается в [4], учет этих соображений приводит к тому, что (1) из четырех возможных суждений допустимы только суждения «Тело есть (не есть) делимое», в которых субстанциональное понятие является субъектом; (2) субстанционально-субъектные суждения не допускают обращения; (3) суждение «Все тела делимы» не может использоваться как большая посылка 1-ой фигуры силлогизма (т.к. в меньшей посылке понятие «тело» — уже предикат): из-за этих трансцендентальных ограничений будет неправомерно следующее, формально правильное, рассуждение «Все тела делимы. Все атомы есть тела. Следовательно, все атомы делимы».

Кантовский подход необходимо распространить и на современные логические формализмы, которые еще в большей степени отвлекаются от грамматики естественного языка (ср. с подходом Уемова). Он должен состоять в учете семантических соображений при переводе фраз естественного языка на язык логики. Например, суждение «Некоторые S суть P» переводится в логику предикатов как формула $x(S(x) & P(x)), которая в силу коммутативности конъюнкции тождественна формуле $x(P(x) & S(x)), что недопустимо с «содержательной» — трансцендентальной — точки зрения. Соответственно, потеря в синтаксисе логики предикатов семантической информации о субъекте и предикате суждения, может привести к «парадоксальным», с содержательной точки зрения, результатам из-за введения универсалии P, связанной с функционирование P в качестве субъекта, в номиналистический универсум логики предикатов. Заметим при этом, что введенный семантический запрет имеет локальный характер и не решается формально–синтаксическими методами, например лишением конъюнкции свойства коммутативности[4].

В работе [5] показано, что учет грамматических факторов (сложно–) сочиненности//подчиненности предложений позволяет избежать парадоксов расселовского типа (resp. предложить их чисто семантическое (философское) решение, не требующее сложной математической техники), поскольку возникающие в них противоречия типа a & ~a заменяются на выражения типа a & ~f(a), которые непротиворечивы из-за отнесения противоречивых свойств к разным онтологическим уровням универсума (resp. выражение «квадрат, который кругл» непротиворечиво в отличие от выражения «круглый квадрат»).

Отметим, что в этом же трансцендентальном ключе может быть решен и известный парадокс Бурали – Форти, если мы учтем простое онтологическое соображение о единственности «множества всех множеств» (или «the–объекта»; ср. «самая высокая гора Земли»). Уникальный характер этого объекта не позволяет обращаться с ним как с обычным «массовым» теоретико-множественным объектом. Понятно, например, что после образования из этого единственного объекта нового объекта старый объект уничтожается и процедуры их «сравнивания» (соотнесения) имеют лишь опосредованный характер: нельзя, например, говорить, что «новый объект», полученный путем уничтожения старого, «содержится» в старом, т.е. «множестве всех множеств» (а именно это утверждение и приводит к парадоксу). Можно предложить даже и более «сильное» (парадоксальное) философское решение: как только мы построили более «мощный» объект, то именно он, по определению абсолютного максимума, и станет этим абсолютным максимумом, т.е. множеством всех множеств (в данном случае мы опираемся на рассуждения неоплатоников о Едином [см., например, «Первоосновы теологии» Прокла], которое является парадоксальным объектом для обыденного рассудка, поскольку к нему не применима «логика» обыденного рассудка, предназначенная для анализа обычных объектов нашего «физического» мира).

Можно сказать, что модификация кантовского трансцендентального подхода может рассматриваться как современный вариант средневековой теории суппозиций — теория пресуппозиций (подробнее об этом см. [9]): семантические соображения о структуре универсума рассуждений предшествуют (пресуппозиционируют) последующую формальную работу на синтаксическом уровне. С формальной точки зрения трансцендентальную логику (теорию пресуппозиций) можно рассматривать как переход на метауровень с более богатым языком (в идеале: построение метаисчисления, чем и занимается метаматематика), что позволяет модифицировать — ограничить или расширить — применение «формальных» (синтаксических) правил вывода нижнего — математического — уровня.

 

Трансцендентально-антропологические (субъективные) основания

В отличие от первых двух типов оснований, которые относились к объективной сфере и имели преимущественно онтологический характер, данный тип оснований связан с тем, что математическое рассуждение осуществляет не какой-то рассудок вообще, а человеческий рассудок, хотя и взятый в модусе всеобщности, т.е. как трансцендентальный субъект. В силу этого любое математическое рассуждение должно быть соотнесено с «устройством» познавательного аппарата проводящего это рассуждение это рассуждение разумного существа, т.е. со структурой трансцендентального субъекта. В отношении математики можно выделить два основополагающих ограничения подобного рода.

Во-первых, любое рассуждение осуществляет конечный субъект, который, в силу этого, не имеет возможности совершать бесконечные «действия чистого мышления» (выше мы уже говорили об этом, когда обсуждали восходящую к Канту финитной установку Гильберта). В этом смысле математика является «искусством» работы с «прирученной бесконечностью», или, как сказал Хао Ван, математики могут работать с бесконечностью, лишь опираясь на «изобретенные» ими конечные методы [10]. Понятно, что это не ведет к автоматическому изгнанию из математики потенциальной и даже актуальной бесконечности, если найдены средства (способы) ее «приручения». Отметим также, что эта кантовская установка легла в основание такого направления как конструктивная математика.

Во-вторых, трансцендентальная философия должна предложить приемлемую модель математического деятельности с целью выявления ее специфики. Как уже отмечалось выше, Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий», что означает, что в ходе математической деятельности задействован на только рассудок, отвечающий за работу с понятиями, но и интуитивные — «дающие» созерцания — способности, к которым Кант относит чувственность и воображение. В современной математике это положение Канта находит свое отражение в развитии такого важнейшего раздела математики как теория моделей, которая должна выступать и как необходимый «момент» любой математической деятельности. Отметим также, что выявленная Кантом необходимость опоры математических рассуждений на созерцательные интуиции послужила основанием для такого направления как математический интуиционизм.

Развитие современной абстрактной математики ставит перед трансцендентальной философией новые задачи. Кажется, что здесь более оправданным является подход Декарта, который отдавал предпочтение пониманию (рассудку) перед созерцанием (воображением). Речь идет о декартовском примере с хилигионом, который нами понимается, но не может быть представлен образно из-за ограниченности человеческой психики (в отличие от треугольника, который и понимаем рассудком, и образно созерцаем). Этот тезис может быть усилен, если взять в качестве объекта «круглый квадрат», который уже в принципе образно не представим, хотя мы понимаем его логическую невозможность.

Однако позиция Канта вполне применима и к ненаглядным объектам математических рассуждений, если не понимать Канта примитивно. В приведенном выше фрагменте Кант оговаривает, что математика не может опираться на единичные, т.е. наглядные, созерцания, поскольку это лишило бы математику важнейшего ее свойства аподиктичности. Кант утверждает, что математический предмет — сконструированное понятие — должен быть «общезначимым созерцанием», т.е. принимает основополагающую характеристику математической деятельности данную еще Платоном в его «Государстве»:

«Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее… [И] когда они пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит [чертеж же является «образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же). — К.С.]. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном…» [кн. 6, 510d–e, главное выделено мной. — К.С.].

Интуиции, с которыми должны соотноситься рассудочные математические концепты, — это кантовские трансцендентальные схемы как «(все)общие» (а не единичные!) созерцания» (ср. с обыденным смыслом слова «схема» в выражении «схематическое изображение человека»), при построении которых мы, по Канту, должны обратить свое внимание на «действие по конструированию понятия», т.е. на алгоритм его построения. Алгоритм (resp. схема) представляет собой временное (мета)созерцание, в котором мы фиксируем способ построения, например, способ построения пространственного созерцания — «фигуры» [11]. Тем самым кантовское понимание математики как дискурсивно-интуитивной деятельности вполне созвучно современному конструктивизму, который признает в качестве полноценных математических объектов, какими бы абстрактными они не были, лишь те, которые могут быть заданы алгоритмически, т.е. сконструированы.

 

Трансцендентально-прагматические основания

Перейдем теперь к обсуждению последних из выделенных нами трансцендентальных оснований. Определение их в качестве прагматических указывает на кантовское понимание трансцендентального как «действий чистого рассудка» и указывает на их связь с кантовским схематизмом. Однако здесь появляется принципиально новый момент, который некоторые исследователи «позднего» Канта связывают с новой формой кантовского априоризма, говоря о «новой [кантовской] дедукции» или «новом учении о схематизме»[5].

Поскольку в данном случае мы будем говорить о достаточно новых идеях, то поэтому сначала чуть детальнее обрисуем философскую концепцию «косвенного явления» Канта.

По сути, в этой концепции Кант предвосхищает одно из основных положений современной философии науки, состоящее в том, что каждая наука создает свой собственный виртуальный мир, объектами которого выступают «придуманные» учеными теоретические сущности: именно они составляют онтологический базис той или иной науки, а в нашем случае — математический универсум.

Выделенная Кантом трансцендентальная логика как раз и предназначена для описания наиболее общих структурных (и в этом смысле — формальных) свойств этого универсума, для его «семантической» разметки. Однако — и именно это и составляет суть «новой дедукции» Канта — «населяющие» этот универсум сущности, должны из чего-то «состоять», состоять из некоторой «умопостигаемой», или, как говорит Кант, из трансцендентальной материи. В качестве аналогии здесь можно привести пример литературного творчества (resp. литературной реальности), когда писатель, придумав своего персонажа, должен наделить его «кровью и плотью», т.е. сделать его «жизненным», после и в силу чего этот литературный персонаж, как признаются сами писатели, подчас начинает «существовать» своей собственной жизнью, не всегда подчиняясь воле («логике») своего создателя (например, Шерлок Холмс).

Итак, в «Opus postumum» [12] Кант развивает новое учение о косвенном явлении («явлении явлении»), применительно к физике, трансцендентальной материей для которой выступает динамический континуум, т.е. некоторое силовое «поле». Попробуем, за счет более систематического изложения, модифицировать кантовское учение применительно к математике (понятно, что это только одна из возможных интерпретаций-реконструкций кантовской мысли, в основу которой положен Convolut X, C-N). Первым (resp. прямым) явлением выступают созерцаемые с помощью априорных форм пространства и времени вещи (вещи для нас). При этом сами пространство и время выступают как субъективные формы нашего восприятия. Синтез априорной формы и эмпирической материи приводит к порождению в нашем сознании созерцательных образов. Далее пространственно-временные образы «до–оформляются» с помощью априорных форм (чистых категорий) рассудка. В этом — суть кантовской концепции формального a priori «Критики чистого разума». Она хорошо объясняет суть единичных созерцаний, материей которых выступает «внешнее» ощущение. Но математика, как мы выяснили выше, работает не с единичными, а с общими созерцаниями, каковыми являются трансцендентальные схемы, поэтому ощущения не могут выполнять роль «материи» этих созерцаний. Что же является материей для схем?

Ранее (см. [2]) нами была предложена концепция эпистемологического гилеоморфизма, которая в принципе отвечала на этот вопрос: роль материи для вышележащих форм выполняют нижележащие формы. В нашем случае, роль материи для трансцендентальных схем могли бы выполнять априорные формы чувственности: пространство и время. При обращении к кантовской концепции схематизма (гл. «О схематизме чистых рассудочных понятий» КЧР), этот тезис получает не только подтверждение, но и свою дальнейшую конкретизацию. В § 24, непосредственно предшествующей концепции схематизма, Кант вводит так называемый (трансцендентальный) «фигурный синтез» воображения, который, как это следует из названия, синтезирует («рисует») пространственные образы — фигуры. Трансцендентальная же схема, формирование которой связано с рефлексивным переключением с содержания образа на форму, представляет собой временное (мета)оформление образа//фигуры как способа его построения, где роль «материи» выполняет пространство. Собственно, искомый ответ найден. «Умопостигаемой материей» математических, точнее геометрических, предметов выступает пространство.

Этот кантовский «ответ» (в нашей интерпретации) удивительным образом, поскольку кантовская концепция исходит из совершенно других оснований, перекликается с концепцией математики Платона, впоследствии развитой Проклом. Платон в своем «Тимее» говорит о воспринимаемом «как бы во сне» пространстве, которое позволяет нам производить «незаконнорожденное рассуждение» с математическими (геометрическими) объектами[6], а Прокл уже прямо соотносит пространство с «умопостигаемой // интеллигибельной материей» (называя ее также и «геометрической материей»), из которой как бы «состоят» геометрические объекты: точки, линии, плоскости[7].

Сложнее обстоит дело с «материей» арифметических (алгебраических) объектов. Обращение к кантовским текстам прямого ответа на этот вопрос не дает, но их анализ показывает, что «материей» чисел является уже само «время», которое «оформлено» с помощью рассудочной категории количества (в основе натурального числа лежит счет, или пересчет, т.е. некоторый временной процесс, при «отвлечении» (рефлексивном переключении) от которого у нас и остается его абстрактная количественная «форма» — Число).

В рамках вышесказанного новизна перехода к новому типу a priori у «позднего» Канта состоит в следующем. Если рассматривать пространство и время как «материю», из которой состоят геометрические и арифметические объекты (фигуры и числа), то они («материальные» пространство и время) должны отличаться от пространства и времени как «форм созерцания». Это уже не «пустые» формы, послушные нашей воле (точнее, рассудку как «законодателю» опытно–теоретического познания), а субстанция математических предметов, которая (в силу своей субстанциональности как «причины самой себя») обладает определенной самостоятельностью (понятно, что говорить о полной самодостаточности//самостоятельности этой «умопостигаемой материи» не приходится). Соответственно, математический предмет, состоящий из «материи» и «формы», имеет более сложное «поведение», которое зависит уже от двух факторов: материальной и формальной причин. И поэтому математик в своей процедурной «работе» с объектом должен считаться не только с его «формальной» составляющей, задаваемой в его (формальном) определении, но и с «материальной» составляющей своего предмета.

В чем проявляется «материальность» математических предметов? В общем случае в том, что он, из-за своей «субстанциональной инерции», будет по разному «реагировать» на «действия//операции», которые с ним собирается произвести математик. Например, геометрические предметы поддаются «разрезанию», а натуральные числа — нет. Т.е. теперь, после введения новой «материальной» составляющей, математик должен учитывать, что с определенными математическими предметами можно производить лишь определенные «действия», а на использование некоторых из них должен быть наложен «запрет» (это аналогично «ограничению» формальной логики трансцендентальной).

На самом деле проблема приемлемости математических действий более сложна. Как мы уже говорили выше, область математического — это самостоятельный универсум, отличающийся от «физической» реальности, а с учетом разнородности математического знания — отличающийся и от областей других разделом математики. У каждой из этих областей — своя онтология, которая предопределяет типы возможных операций над объектами этой области (соответственно, и наоборот: введенная новая математическая операция «ставит» вопрос о сфере (области) ее математического применения и не может быть просто, из-за своей приемлемости в одной области, распространена на другие области математической деятельности или математику в целом). В свете этого, математик (понятно, что это замечание относится и к представителям других наук, включая и философию) должен «критически» отнестись к используемому им процедурному «инвентарю», например к предлагаемым новым конструкциям доказательств или вновь вводимым математическим объектам. С другой стороны, математик так же «критически» должен отнестись и к прямому переносу «физических действий» на область математического, что в общем случае недопустимо. По крайней мере, нужно отдавать себе отчет в «метафоричности» такого переноса. Например, можно ли говорить о «пересечении» прямых?[b] Более того, перед математикой (явно или неявно) стоит задача изобретения таких действий, которые будут приемлемы именно для работы с объектами математического рассуждения. Ограничимся двумя примерами. Первый из них, «положительный», восходит к Проклу, который задается вопросом о том, какие операции можно совершать с геометрическими объектами: в частности, как можно помыслить движение точки? Ведь если точка изначально мыслится неподвижной (ср. «возьмем точку А»: хотя это тоже метафора!), то в силу ее определения Евклида как не «имеющей частей», она не может двигаться «физическим» способом, т.к. ее нельзя «двигать» никаким внешним образом (в частности, «взять»). Поэтому необходимо «сконструировать» (придумать) такой универсум, в котором будет возможно движение не-физической точки (таковым и является платоновское воображаемое «пространство»), а также предложить («изобрести») определенную модель («действия») движения точки, совместимую с этим универсумом. Вот как эту задачу решает неоплатоник Прокл (цитата из книги A Szabo в изложении П.П. Гайденко [13]):

«Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и прямая — равнонаправленное и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны… [далее он, развивая модель движения точки как ее «истечения» (в пространстве Платона), продолжает] Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку) — ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении («фантазии»); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо неделимый Ум движется, хотя и не способом перемещения; также и фантазия… имеет свое собственное движение».

В качестве другого, теперь уже «негативного», примера возьмем рассуждение «математика//логика» Рассела, используемое им в философском дискурсе. Развивая свою онтологию, Рассел говорит, что «если отделить от субстанции все ее атрибуты, то от нее  останется пустое место», т.е. никакой субстанции реально не существует. На первый взгляд эта фраза кажется очень эффектной в опровержении восходящего к Аристотелю эссенциализма: нет никакой невидимой сущности, в отличие от воспринимаемых (органами чувств или приборами) свойств (точнее, «комплексов свойств»). Однако зададимся вопросом: каким образом мы можем отделить атрибуты от субстанции? Понятно, что это «отделение» не является физическим действием: его нельзя мыслить как разрезание при помощи ножа или скальпеля. Более того, в каком-то смысле атрибут вообще неотделим от вещи: если мы красную вещь разделим, то ее обе половинки будут обладать красным цветом (правда, «цвет» исчезает при переходе от вещи к ее атомной структуре, но здесь скорее атрибут («цвет») превращается в «пустое место»)). И, наконец: как можно что-то отделить от «пустого места», как предлагает мыслить субстанцию Рассел? Воистину математик при некритическом переносе своих математических («фантазийных», по Платону//Проклу) методов на область философии, может, как сказал Кант, «строить лишь карточные домики», быстро рассыпающиеся при точном трансцендентальном анализе.

В заключении снова обратимся к современным реалиям. Может ли кантовский подход материального a priori быть распространен на область всей современной математики? Скорее всего, в том виде, что «материей» математических объектов является пространство и время, — нет. Но на наш взгляд платоно-кантовский тезис о том, что любой умозрительный объект из чего-то «сделан», а предметы математических рассуждений именно таковы, — чрезвычайно важен для современной математики, ее методологии и философии. Я думаю, что этот тезис справедлив и для современной математики в своей ослабленной прагматической (процедурной) версии (см. выше). Задача трансцендентально-прагматического анализа особенно актуальна для новых областей математической практики, когда воодушевленные введением новых «красивых» математических объектов, даже если доказана их формальная непротиворечивость, математики забывают о том, что простой перенос на них «действий» (операций) будь то из «физического» мира, или из других областей математики в общем случае недопустим и должен быть предварен специальной проверкой на их «совместимость». «Медвежью услугу» оказывает нам здесь метафоричность нашего языка, которая порождает такие «косвенные явления», которые мы некритически принимаем за реалии самой действительности.

 

Литература

1.      И. Кант Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.

2.      Катречко С.Л. К вопросу об "априорности" математического знания //Математика и опыт. М., Изд-во МГУ, 2003;

3.      А.И. Уемов К проблеме альтернативы теоретико-множественному подходу к построению логических систем (http://www.philosophy.ru/library/logic/uemov/02.html).

4.      В.Н. Брюшинкин Трансцендентальная модель интеллекта: моделирование рассуждений //Гуманитарная наука в России: соросовские лауреаты. М., 1996.

5.      Катречко С.Л. О парадоксе Рассела

6.      Бычков С.Н. Об отрицаниях (?? — Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г.Кантора и теория множеств)

7.      Катречко С.Л. К вопросу о различении отрицаний

8.      А.С.Есенин – Вольпин Формулы или формулоиды?

9.      Катречко С.Л. Как возможна метафизика? (обновление 2006 г.) // Вопросы философии, 2005 № 9

10.    Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. М., 1965.

11.    Катречко С.Л. Кантовская концепция сознания как модель «искусственного интеллекта».

12.    И.Кант Opus Postumum (фрагменты)

13.    П.П. Гайденко История греческой философии в ее связи с наукой

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

 

Приложение. Кант о трансцендентальном

Итоговое замечание о трансцендентальном («Пролегомены» т.4.1, с.199 (прим.)): «… и многократно указанное мной слово трансцендентальное… означает не то, что выходит за пределы всякого опыта, а то, что опыту (a priori) хотя и предшествует, но предназначено лишь для того, чтобы сделать возможным опытное познание. Когда эти понятия выходят за пределы опыта, тогда их применение называется трансцендентным и отличается от имманентного применения, т.е. ограничивающегося опытом» (выделено подчеркиванием мной — К.С.)

 

Фрагмент Канта о трансцендентальном из КСС (с. 52):

V ПРИНЦИП ФОРМАЛЬНОЙ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ПРИРОДЫ ЕСТЬ ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП СПОСОБНОСТИ СУЖДЕНИЯ

 

Трансцендентальный принцип — это принцип, посредством которого представляется априорное общее условие, единственно допускающее, чтобы вещи могли стать объектами нашего познания. Напротив, метафизическим принцип называется, если он представляет априорное условие, допускающее, чтобы объекты, понятие о которых должно быть дано эмпирически, могли быть далее определены априорно. Так, принцип познания тел в качестве субстанции и изменяющихся субстанции трансцендентален, если этим утверждается, что изменение должно быть вызвано какой-либо причиной; он метафизичен, если утверждается, что это изменение должно быть вызвано внешней причиной: в первом случае, для того чтобы априорно познать положение, тело должно мыслиться только посредством онтологических предикатов (чистых понятий рассудка), например, как субстанция; во втором в основу должно быть положено эмпирическое понятие тела (как вещи, движущейся в пространстве), что позволяет совершенно априорно усмотреть, что телу присущ этот предикат (движения посредством внешней причины). Таким образом, как я сразу же покажу, принцип целесообразности природы (в многообразии ее эмпирических законов) есть трансцендентальный принцип. Ибо понятие объектов, мыслимых подчиненными этому принципу, есть лишь чистое понятие о предметах возможного опытного познания вообще и не содержит ничего эмпирического, напротив, принцип практической целесообразности, который должен мыслиться в идее определения свободной воли, есть принцип метафизический, так как понятие способности желания как воли должно быть дано эмпирически (оно не принадлежит к трансцендентальным предикатам). Однако оба принципа все-таки не эмпирические, а априорные принципы, ибо для связи предиката с эмпирическим понятием субъекта их суждений нет необходимости в дальнейшем опыте, и эта связь может быть принята совершенно априорно.