Поставленная для обсуждения проблема “математика и опыт” (соотношение априорного и апостеорного в математике) нуждается, в свою очередь, в более тщательной методологической проработке и предполагает, с одной стороны, анализ природы математического знания и его детерминант; а, с другой стороны, уточнение концепта “априорное” и соотношения “априорное vs. апостеорное”. Этим и будет определяться структура настоящего анализа. Первая — основная — часть нашего исследования будет посвящена исследованию единства математического знания в контексте его исторического развития. Понятно, что если математика является разнородным(-ой), многокомпонентным(-ой) знанием (деятельностью), то вопрос об его априорности “расщепляется” на ряд вопросов об априорности его важнейших составляющих (структурно-синхронный аспект анализа). Кроме того, если этот — математический — комплекс к тому же эволюционирует во времени (истории), то вопрос об априорности математического знания должен быть уточнен с учетом видоизменения и структурной перестройки этого комплекса в тот или иной исторический период (ср. с “городской” аналогией математического знания Н. Бурбаки), так как может оказаться, что “степень априорности” математики изменяется на протяжении ее истории (диахронный аспект анализа). Поэтому изначальный вопрос должен быть конкретизирован так: об априорности (“степени априорности”) собственно какой математики идет речь: о геометрии, арифметике или каком-то другом разделе математического знания; какая собственно математика — античная, нововременная или современная — подвергается анализу?

Правда, у методолога (или специалиста по кантовской философии) может возникнуть законный вопрос: разве правомерно говорить о “степени априорности”; не совершена ли здесь методологическая или “категориальная” по Г. Райлу, ошибка? Ведь знание может быть или априорным, или апостеорным, т.е. пара “априорное vs. апостеорное” находится в отношении (строгого) противоречия и о никаком противолежании (“перекрещивании”) этих понятий, т.е. о “степени априорности—апостеорности”, не может быть и речи. Однако именно с этим и будет связано еще одно — второе — уточнение исходной постановки проблемы априоризма математического знания, которое состоит в прояснении соотношения “априорное vs. апостеорное”. Здесь будет предпринята попытка анализа концепта “априорное”, т.е. проведена соответствующая “языковая игра” (Л. Витенштейн) путем сопоставления концепта “априорное” с концептами “формальное”, “абстрактное” и “умопостигаемое”. Собственно вторая часть нашего исследования будет посвящена анализу типов априорности (тогда исходный вопрос может быть уточнен так: о какой априорности математики идет речь?) и критике, во-первых, “статичности” априорных форм, во-вторых, жесткого противопоставления (отношение противоречия) априорного апостеорному, которое, на наш взгляд, составляет своего рода “третью догму” (ср. с критикой У. Куайна) и должно быть заменено на более мягкое отношение противоположности, которое предполагает наличие промежуточной области априорного—апостеорного. Вместо восходящего к Канту статичного варианта априоризма и жесткого противопоставления “априорное vs. апостеорное” будут предложены модифицированные варианты априоризма.

Обсуждение столь общих вопросов, к каковым относятся вопросы о уточнении (1) статуса математики в структуре человеческой деятельности (знания), (2) ее “природы” и наиболее значимых — как “внутренних”, так и “внешних” — детерминант, (3) “единства” — однородности — математического знания требует от исследователя повышенного внимания к используемой методологии анализа и, по возможности, ее точной экспликации.

Давайте этим прежде всего и займемся. В качестве отправной точки нашей методологии выбрана известная гегелевская схема: бытие ... — качество ...— сущность. На наш взгляд в этой схеме, пусть в несколько мистифицированной форме, схвачены ключевые моменты любого познавательного процесса, представлены основные этапы — “логика” — развития любого исследования. Поэтому, если представить гегелевский категориальный ряд в качестве методологической схемы—развертывания, а на этом основан наш анализ, то его можно соотнести с основными этапами методологического анализа.

Опыт философствования XX века показывает, что нередко серьезные трудности поджидают исследователя уже на первом — “бытийном” — этапе анализа и связаны с тем, что предмет исследования как правило дается не чистым, а искаженным — в виде “превращенной формы” (М. Мамардашвили) — образом, т.е. как исторически сложившееся культурное кентаврическое сцепление, требующее значительных усилий по своему “очищению” (ср. с процедурами “деструкции” М. Хайдеггера, или “деконструкции” Ж. Деррида). В частности, как показал М. Фуко, одним из распространенных искажений — “сцеплений” — такого рода является “ошибка непрерывной хронологии”, когда имеет место невольное заполнение “разрывов”, имеющихся между различными, хотя и близкими историческими феноменами, с целью “торжества непрерывного ряда событий” [2, стр. 12] и постулируемого псевдоединства, вместо тщательного анализа имеющихся в реальной истории “дискретных” серий.

Следуя критическому настрою М. Фуко сформулируем следующую метаметодологическую дилемму, развернутую уже не в диахронно—историческом (как у Фуко), а в синхронно-структурном аспекте: является ли математика некоторым целостным феноменом или представляет собой некоторое кентаврическое сцепление близких по духу, но все же различных практик; можем ли мы говорить об едином феномене математики на протяжении длительного периода человеческой истории или мы имеем дело с некоторой “серией” математических практик, (слабо) связанных между собой (например, отношением “семейного сходства” (Л. Витгенштейн))?

Выбранное нами различение в составе математического знания отнюдь не случайно или произвольно, а хорошо осознается уже в самом начале развития математического знания (об этом подробнее см. ниже) и проходит красной нитью через всю ее историю вплоть до XX века (см., например, уже упомянутую выше работу Г. Вейля). Новизна же нашей постановки проблемы в том, что мы предполагаем возможное “усиление” этого различия до противоположности и вопрошаем о том, не является ли указанное различие “точкой разрыва” единого математического комплекса и не следует ли “расщепить” его на два, что, соответственно, приводит и к “расщеплению” поставленного в начале вопроса о природе единого математического знания на два (под)вопроса:

Достаточно четко это различие фиксируется одним из крупнейших математиков XX века Г. Вейлем [4]:

“Центральное понятие [математики — К.С.] действительного числа позволяет сразу объяснить, чем это вызвано. Система действительного числа подобна двуликому Янусу: с одной стороны — это совокупность [das Field] алгебраических операций + и – и им обратных, с другой — континуальное однообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический” [4, стр. 26];

“Может быть, теперь мы немного лучше поймем отношение между двумя [алгебраическим и топологическим — К.С.] методами… В топологии начинают с непрерывной связи как самого изначального и лишь постепенно, в ходе спецификации, вводят те или иные структурные моменты; в алгебре же, наоборот, исходным пунктом математического мышления выступают операции [над дискретными элементами (NB) — К.С.], а непрерывность (или ее алгебраический суррогат) вводится лишь на заключительном этапе спецификации” [4, стр. 34].

“И пусть геометр утверждает, что если данные четыре величины (NB!: геометрия “работает” с величинами. — К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и пусть доказывает это, опираясь на начала своей науки (выделено мной — К.С.); арифметик к ним обратиться не может, но пусть и он утверждает, что если данные четыре числа (NB!: Арифметика , в отличие от геометрии, “работает” с числами. — К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и доказывает это исходя из начал своей науки” [7, стр. 53—55];

Соответственно, различие в эпистемологическом статусе между геометрией и арифметикой заключается в том, они реализуются с помощью различных познавательных способностей. Согласно Платону арифметика как изучающая умопостигаемые (интеллигибельные) числа (монады) подпадает под власть ума—разума (ноэзиса), в то время как геометрия изучающая материально-интеллигибельные, или интеллигибельно-материальные (=пространственные; в античности (у Платона) пространство (хора) выступает как особая интеллигибельная материя) фигуры является предметом мысли низшей по отношению к ноэзису способности ума-рассудка (диаонойи). Прокл же, особо обсуждая статус уже геометрии в своем втором введении [7, стр. 128—197], еще больше понижает эпистемологический статус геометрии по отношению к арифметике, т.к. познавательной способностью геометрии является уже не низшая часть ума (как это было у Платона), а воображение, которое занимает еще более низкое — промежуточное — положение между умом и чувственностью:

Попробуем явно сформулировать античную парадигму математики. Математика является условно-единым (квази)комплексом, в составе которого можно выделить две разнородные — как в онтологическом, так и в эпистемологическом плане — практики: “геометрию”, как практику работы с непрерывными величинами, и “арифметику”, как практику работы с дискретными числами. С “внешней” точки зрения математическое знание — как единый комплекс — занимает срединное положение между “физикой” и “метафизикой”; “внутри” же математики “арифметика” занимает более высокое по отношению к “геометрии” “положение”, т.е. является более “метафизической” составляющей математического комплекса. Соотношение между античными геометрией и арифметикой можно трактовать как двухуровневое строение математического знания: геометрия соответствует нижнему — “квазиэмпирическому” — менее абстрактному (и более содержательному) уровню, в то время как арифметика соотносится с более абстрактным (формальным) уровнем математического знания, что в области естествознания аналогично уровню “теоретической науки”. В соответствие с этим различением между арифметикой и геометрией можно предложить “античное” решение вопроса о априорности — апостеорности математики: если арифметика тяготеет к априорному, умопостигаемому знанию и сродни метафизике (философии), то геометрия тяготеет к апостеорному (эмпирическому) естествознанию (механике, астрономии, оптике, геодезии etc).

Кроме этого можно предложить общий “механизм” развития математической парадигмы. Модификация античной парадигмы возможна по двум “параметрам” (соответственно, есть две детерминанты развития математического знания). С одной стороны, возможно варьирование всего математического квазикомплекса в целом по шкале “метафизика — физика”, и тогда можно говорить о большей или меньшей абстрактности (априорности) — эмпиричности математики в целом, той или иной степени сходства математики с “физикой” или “метафизикой” (“внешняя” детерминация). С другой стороны, возможна “внутренняя” флуктуация (перестройка, модификация) математического знания в сторону одного из двух выделенных нами “центров”: арифметики или геометрии, т.е. “чередование” арифметических и геометрических “всплесков” уже внутри той или иной математической парадигмы. Причем, что является третьим важным моментом предлагаемого нами подхода, в ходе развития математического знания, в силу относительной независимости “внешних” и “внутренних” детерминант, возможно как совпадение, так и несовпадение “векторов” их развития, что усложняет решение вопроса о статусе математики и степени его абстрактности, априорности etc: например, при “внешней” тенденции к сращению математики с “физикой”, что снижает степень ее априорности, тенденция математики к арифметизации приводит к возрастанию степени ее абстрактности в составе физико-эмпирического комплекса знания.

С этих позиций обратимся теперь к анализу (развития) математической парадигмы знания в последующие эпохи. Принципиально иное решение о статусе математического знания (с учетом “внешних” и “внутренних” факторов) мы находим в Новое время, когда, как уже отмечалось выше, и был “создан” собственно тот единый культурологический комплекс “математика” — нововременная парадигма математики, сохранившая свое влияние и в наши дни. Специфицирующей чертой этой парадигмы является нивелирование различий между геометрией и арифметикой, сближение этих разнородных познавательных практик в составе универсальной “всеобщей математики” (mathesis universalis), что связано, прежде всего, с фигурой Декарта, которому за счет алгебраизации геометрии — создания аналитической геометрии — удалось концептуально срастить арифметику и геометрию в единую науку. Именно с этой фигуры начинается формирование новой парадигмы “единой” математики. Однако в процессе ее формирования и модификации не только этот — “внутренний” — фактор является решающим. С одной стороны, при отмеченном выше “подтягивании” геометрии до алгебры (“внутренняя”) абстрактность математического комплекса усиливается и происходит повышение ее эпистемологического статуса по отношению к “физике”: математика занимает место как бы “прикладной метафизики”, т.е. она расположена “выше” (физической) науки, поскольку — как говорил ближайший предшественник Декарта, Галилей — вся природа написана на языке математики. С другой стороны, в Новое время существенно снижается общий (“внешний”) онтологический статус математического знания, поскольку происходит отождествление пространства геометрического (античной интеллигибельной материи) и пространства физического (чувственно данной, телесной материи). Т.е. наблюдается общий “дрейф” от “метафизике” к “физике”. Здесь, например, достаточно показателен термин “натурфилософия” из основополагающей работы И. Ньютона, которая, не смотря на название, никакого отношения к “метафизике” не имеет; или провозглашенный чуть позже О. Контом переход от стадии метафизики к стадии позитивной науки.

Пропуская ряд ключевых фигур, остановимся чуть более подробно на взглядах на природу математического знания И. Канта, который завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого нововременного математического комплекса (XVI — XVII вв.). Речь идет о том, что Кант находит для “алгебры” и “геометрии” единое эпистемологическое — трансцендентальное — основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии “выводится” из априорной формы чувственности — пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности — время.

Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает “внутренний” статус математического знания, помещая ее на “шкале” познавательных способностей даже ниже (теоретической) “физики”, которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной (апостеорной), чем надстраивающаяся над чувственно-математическом базисом теоретико-рассудочное естествознание и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания.

Во-вторых, эпистемологическим (а не только онтологическим) базисом объединения математики выступает уже не более интеллигибельная “алгебра”, как это было у Декарта, а чувственноподобная “геометрия”. Основаниями (историческими) для совершенной Кантом (в концептуальном — эпистемологическом — плане) “геометризации” математики служат: во-первых, как это не парадоксально звучит с учетом совершенной Декартом алгебраизации геометрии, общая метафизическая концепция Декарта — введение им (геометризированной!) “субстанции протяженной” (что указывает на специфику нововременной алгебраизации математики, если ее рассматривать не с внутриматематической, а с внешней — общефилософской — точки зрения); во-вторых, ньютоновская концепция абсолютного пространства и времени (ср. кантовскими априорными созерцаниями), которые представляет собой как бы субстанциональный фон (последующего) “телесного” мира. Суть же нововременной, завершенной Кантом, “внешней” концептуальной — в отличие от внутриматематической алгебраизации — “геометризации” математики заключается в том, что время, по аналогии с пространством, рассматривается как (априорное чувственное) созерцание, т.е. как некоторая “статическая” — квазипространственная — данность, или как некоторая объемлющая вещи “среда” (= аналог ньютоновского абсолютного пространства), из которой исключается существенный для природы времени “динамический” — “событийный” — аспект. Обобщая, это можно назвать феноменом опространствливания времени, что в последующем (в XX веке), с одной стороны, послужило концептуальной базой для собственно физических теорий (например, для распространенной сейчас геометрической интерпретации теории относительности, где время рассматривается как одно из квазипространственных измерений в рамках единого пространственно-временного континуума), а, с другой стороны, такое рассудочно-статическое опространствливание времени вызвало резкую критику у ряда мыслителей ХХ в. (см. например, работы Э. Гуссерля, М. Хайдеггера и А. Бергсона).

Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге. Наша задача заключается в том, чтобы на примере воззрений этих мыслителей на природу числа показать тенденцию — отчасти анти-кантианскую, отчасти анти-нововременную в целом — к повышению “метафизичности” математики. Надо сразу же оговориться, что оба указанных мыслителя работают в области “арифметики”, которая занимает более “высокий” внутриматематический априорный статус, и это несколько сужает индуктивную базу наших обобщений на развитие математического знания в целом, но тем не менее анализ их концептуальных воззрений на природу числа достаточно показателен и характеризует существенное изменение, произошедшие с парадигмой “единой математики” в конце XIX — первой половине XX веков .

Начнем с анализа взглядов Г. Кантора. Остановимся более внимательно на его революционном в концептуальном отношении понятии “кардинального числа”. Вот канторовское определение: “”мощностью” или “кардинальным числом” множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания” [10, с. 173]. Результат этой двойной абстракции Кантор обозначает как //М (двойная черта указывает на двойное абстрагирование). Из приведенного определения видно, что канторовское концептуальное переосмысления понятия числа заключается в введении мета-абстрактных объектов “кардинальных чисел” (мета-чисел), которые выступают как результат (вторичного) абстрагирования от обычных — порядковых — чисел, являющихся, в свою очередь, результатом первичного абстрагирования от “качественной” определенности предметов реального мира. Понятно, что это огромный шаг вперед по сравнению “порядковым” (“временным”) пониманием числа у Канта. Более того этот шаг не только возрождает “метафизическое” понимание математического знания в античности, но и в определенном отношении развивает ее еще дальше. Точнее здесь происходит возрождение самого крайнего пифагоро-платоновского — в противовес аристотелевскому квазиэмпиризму — априоризма античности, поскольку в концептуальном (категориальном) отношении канторовское “кардинальное число” находится “выше” (на шкале умопостигаемости) аристотелевской категории “количества”. Т.е. статус канторовской теории множеств, на которой базируется вся остальная математика, не просто формален, как отвлечение от “качественных” особенностей вещей (математика 1 уровня — “квазиэмпирическая математика”), но и мета-формален (математика 2 уровня — мета-математика), поскольку здесь происходит вторая, более “метафизическая”, абстракция от категории “порядкового количества”. Тем самым в канторовском понятии “кардинального числа” содержится принципиальная возможность для конституирования новой, более абстрактной (т.е. более априорной) математики, математики второго уровня, или “мета-математики” (в широком смысле этого слова). В последующем развитии математики ХХ в. было реализовано несколько проектов канторовского метаматематического подхода: во-первых, это “формализм” (теория доказательств) Д. Гильберта (метаматематика в узком смысле); во-вторых, “логицизм” Б. Рассела (“логика” как априорный и более “метафизический” базис математики); в-третьих, “структурализм” Н. Бурбаки (математика изучает не “структуры” физического мира, а “работает” с мета-структурами, т.е. с абстракциями второго уровня — математическими структурами). Вместе с тем необходимо отметить и наличие определенного противовеса этой слишком уж “метафизической” тенденции в развитии математики, а именно: формирование интуиционизма как более эмпирической — “чувственной” по Канту — в эпистемологическом отношении концепции математической деятельности. Однако и в этом случае можно говорить о повышении степени априорности математики, т.к. и для интуиционистов базовой интуицией математической деятельности является более умопостигаемая —“арифметическая” — интуиция “счетного ряда” (см., например, цитированные выше фрагменты из работ Г. Вейля).

Более развернутая в концептуальном плане — и в чем-то даже более радикальная в своей “метафизической” тенденции — концепция числа принадлежит Г. Фреге. Покажем это на примере анализа его фундаментальной работы “Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа)” [11], которая определенным образом учитывает и “метафизические” достижения канторовской мысли об абстрактном статусе (канторовских) “бесконечных чисел”. Прежде всего, Фреге убедительно показывает (в частности, критикуя за это и Кантора), что число не может быть свойством “внешних” вещей наподобие понятия цвета, твердости, тяжести etc и не может получаться путем абстрагирования из предметов, и, тем самым, он опровергает тезис о математике как опытной науке (см. [11], гл. “Является ли число свойством внешних предметов?”). С другой стороны, число, в отличие от Канта, не может быть чем-то субъективным, т.е. “внутренним” представлением (см. [11], гл. “Является ли число чем-то субъективным?”). Поэтому оно должно быть “нечувственным и объективным” [11, стр. 57], т.е. занимать какое-то промежуточное положение между “внешними” вещами и “внутренними” представлениями (ср. с античным — платоновским — решением о промежуточном онтологическом статусе математических (геометрических) объектов). В этом отношении “числа” должны быть подобны предикатам, если мы понимаем их (предикаты) в платоновском смысле как “идеи” (=свойства) вещей. Однако “число” — на примере “единицы” — по своему статусу отличается и от “реальных” предикатов (т.е. является специфическим, несодержательным (мета)предикатом). Вот как Фреге фиксирует это различие: “Если бы “один человек” понимался наподобие “мудрый человек”, то следовало бы думать, что “один” может использоваться как предикат, поэтому также как “Солон был мудрый” можно было бы сказать “Солон был один”…Но само по себе “один” не может быть предикатом [в тексте Фреге здесь стоит сноска, которую мы опускаем, но заменяем ее своим разъяснением — К.С.]. Еще яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как “Солон был мудрый” и “Фалес был мудрый” можно скомбинировать “Солон и Фалес были мудрые”, нельзя сказать “Солон и Фалес были один” [11, стр. 58—59]. Далее Фреге, ссылаясь на Баумана и Ст. Джевонса, делает еще один шаг, принципиальный для нас в связи с предшествующим изложением кантовской позиции на природу математики, когда подчеркивает независимость числа от времени (пространства) в связи с возможной применимостью “числа к непространственному и невременному” [11, стр. 71]. Таким образом, последовательно отвергая различные “узкие” (по логическому объему) понимания числа: эмпиристское абстрагирование от предметов (неправомерное сходство числа с качественными признаками предметов — математика как опытная наука); априористское (неправомерное) отождествление числа с пространственно-временными характеристиками существования предметов; восходящее к Платону (неправомерное) неразличение числовых и содержательных предикатов — Фреге приходит к пониманию числа как чистого “количества”. Суть фрегевского подхода заключается в том, что число является не реальным предикатом (предикатом первого уровня), а предикатом второго уровня, метапредикатом; число является (количественной) характеристикой не предметов как таковых, а характеристикой понятий (о предметах), или, говоря другими словами, характеристикой “неопределенных [абстрактных — К.С.] предметов”: “число приложимо только к понятию [а не к предмету!; выделено мной — К.С.], под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное” [11, стр. 77]. Здесь же он приводит ключевые для уяснения его позиции слова Б. Спинозы: “Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной [т.е. “принимать” числовые — количественные — характеристики — К.С.] лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род [т.е. когда рассматриваются не сами по себе в своем физическом модусе существования, а как “родовые”, т.е. как “логические”, или абстрактные, объекты; выделено мной — К.С.]” [11, стр. 78—79]. Обратим внимание на корреляцию категорий “существования” (“бытия”) и “числа” в этом отрывке. Чуть ниже Фреге эту коррелятивную связь несколько расшифровывает: “В этом отношении существование [предикат существования — К.С.] имеет сходство с числом [с предикатом числа — К.С.]. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль [cоответственно, полагание числа один в частном случае, когда мы говорим “Сократ” (неявно приписывая ему мета-предикат “есть” (“существует”) равный числовому метапредикату “один”) — К.С.]”, поскольку Фреге различает признаки предметов и свойства (метапризнаки) понятий (признак vs. свойство!): например, “…прочность, вместительность, удобство [понятия] дома не могут применяться при его строительстве, наряду с камнями, строительным раствором и бревнами” [11, стр. 80]. Т.е. Фреге сближает основополагающее для арифметики понятие “числа” с основополагающим метафизическим понятием “бытия” и, тем самым, приравнивает эпистемологический — априорный — статус математики (арифметики) статусу метафизики (ср. с кантовским пониманием “бытия” как отличного от “реального”, т.е. “содержательного”, предиката).

Подводя итог рассмотрению взглядов Фреге, можно сказать, что он обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее “арифметический” комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с “содержательными” теоретическими дисциплинам типа физики, химии.., или, как принято говорить, математика является не содержательной, а “формальной” дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой (как учением о (платоновских) “формах”). В середине XX века фрегевский подход к пониманию математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах “математических структур”, которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские “количественные” абстракции первого уровня (ср. с понятием “кардинального числа” Г. Кантора — см. об этом выше).

Если первая часть нашего исследования проходила под знаком вопроса “Об априорности какой математики — например, античной геометрии, новоевропейской алгебры или разделов современной, основанной на теоретико-множественном базисе, математики — идет речь?”, то теперь впору задаться еще одним вопросом: а о какой (каком типе) априорности (математики) идет речь?

Сначала буквально несколько слов об истории этого термина (концепта). Впервые термин “априорное” (противопоставление “априорное vs. апостеорное”) появляется в работах Декарта — Лейбница и связан с концепцией “врожденных идей”. В этом смысле предыстория концепта восходит платоновской концепции анамнезиса, которая в процессе познания припоминает (априорные) не-чувственнные “идеи”. В более развитом виде концепт априорного получает проработку у Лейбница, который выделяет особый класс истин — так называемые “истины разума”, основанные на законе непротиворечия. Тем самым априорное у Лейбница — это аналитически-умопостигаемое. Существенное переосмысление лейбницевского понимания “априорного” происходит у Канта. Во-первых, он освобождает “априорное” от “содержания”: априорной является уже не некоторая содержательная идея, например, идея “числа”, а пустая (априорная) “форма”, которая “оформляет” поступающее “извне”, через наши органы чувств апостеорное, т.е. опытно-чувственнное “содержание”; во-вторых, Кант вводит различение между парой “априорное vs. апостеорное” и парой “аналитическое vs. синтетическое”, отсутствующее у Лейбница, т.е. показывает неправомерность прямого лейбницевского отождествление априорного и аналитического и сосредотачивает свой анализ (например, в КЧР) на отсутствующую у Лейбница категории синтетического a priori. В дальнейшей истории философии закрепилось кантовская трактовка априорного, причем как правило под априорным стало пониматься , во-первых, именно синтетическое a priori, а, во-вторых, именно кантовский набор “априорных форм”.

Во-первых, необходимо проанализировать какие “составляющие” можно выделить в концепте “априорное”, т.е. какие понятия образуют его семантическое, или смысловое, поле. Прежде всего, (кантовское) “априорное” тесно связано с понятием “формы”: априорным является не-содержательное, а формальное. Интересно отметить, что в самом начале своей КЧР Кант формулирует эпистемологическое — отличное от античного (платоновского) онтологического — “учение о материи и форме”: “то в явлении, что соответствует ощущением, я называю его материей, а то, благодаря чему многообразное в явлении может быть упорядочено определенным образом я называю формой явления”, причем “материя всех явлений дана нам только a posteriori, [а] форма их целиком должна для них находиться готовой в нашей душе a priori” [14, стр. 48]. Тем самым “априорное” является “абстрактным” (хотя и не полученным, по Канту, в результате операции абстрагирования от содержательно-эмпирически-чувственного), или “умопостигаемым”. Таким образом, концепт “априорное” обладает сложной составной структурой, которая в первом приближении может быть выражена таким сложным термином как “абстрактно—формально—умопостигаемое”, а его смысловым ядром является “формальность”: кантовское априорное — это, прежде всего, формальное.

Кантовское противопоставление “апостеорное vs. априорное” и как противопоставление “физического” и “метафизического” неявно приписывает и еще одну характеристику априорного. Априорное — это нечто статичное, неизменное, раз и навсегда данное (что и фиксируется в понятии “форма”), в то время как апостеорное (знание) подвержено изменению. Тем самым Кант рассматривает априорные формы как метафизические сущности и не допускает их диалектического изменения, т.е. саморазвития (понятий) в гегелевском смысле.

Во-вторых, Кант выделяет всего лишь две априорные “формы”, имеющие отношение к математике: пространство, лежащее в основании геометрии, и время, лежащее в основании арифметики. Как уже было отмечено выше, здесь Кант опирается на декарто-ньютоновское “наследие”: прежде всего, на декартову “субстанцию протяженную” и на ньютоновские понятия “абсолютного пространства” и “абсолютного времени”. Однако более значимым в данном случае является интеллектуальное наследие (“ходы мысли”) Декарта, который, решая проблему первичных—вторичных качеств, предложил самый радикальный (и “формальный”) подход, редуцировав все “вторичные” качества к единственному “первичному” качеству, т.е. к единственной “внешней” форме “общего чувства” (Лейбниц), — “пространству”. Сходным образом Кант, все явления “внутреннего мира” (декартовской “субстанции мыслящей”) упорядочивает единственной формой “внутреннего чувства” — “временем”. Причем подход Канта хорошо согласуется с “двухцентровой” — арифметико-геометрической — моделью математического знания.

В-третьих, Кант жестко противопоставляет “априорное” и “апостеорное” (см. п. 1 выше), т.е. призывает мыслить “априорное” как “абсолютно априорное”, или “чистое априорное”, “безусловно независимое от всякого опыта” [14, стр. 33], хотя и допускает в “локальном” познавательном акте “относительное априорное”, т.е. такое “априорное”, которое является до-опытным относительно данного опыта. В частности во Введении к КЧР [14, стр. 32] он приводит пример с “подрыванием фундамента дома”, в рамках которого говорит об относительно-опытном a priori, т.е. предшествующем этому непосредственному “опыту” подкапывания фундамента “знании” о том, что дом рухнет.

Во-вторых, необходимо существенная корректировка взглядов Кант о соотношении математики и естествознания с точки зрения “априорности” (абстрактности, формальности) этих типов знания. Решение, предложенное Кантом, когда математика относится к “трансцендентальной эстетике”, а “физика” — к “трансцендентальной логике” явно не согласуется с современным пониманием о соотношении математики и физики. Если математика является более “абстрактной” — “не-естественной” по меткому замечанию С. Капицы — наукой, то тогда статус математических — чувственных по Канту — “априорных форм” должен быть “выше”, чем статус физических — рассудочно-категориальных по Канту — “априорных форм”. Выше уже отмечалось, что Кант не отрицает возможность рассудочных категорий пространства и времени, которые соответствуют более абстрактному (априорному) статусу математического знания, хотя сам этот подход не развивает. Приводимые выше концепции числа Кантора и Фреге показывают, что степень абстрактности математики достаточно высока и, по крайней мере, не ниже, чем степень абстрактности естествознания. А это значит, что в основе аподиктического математического знания должны лежать достаточно высокоуровневые априорные формы. Например в современной математике исследуются n-мерные пространства, которые явно не представимы на уровне чувственных созерцаний. Поэтому в основе подобных разделов математики лежат уже отнюдь не чувственные, а рассудочные категории (в нашем примере, категория абстрактного пространства). Поэтому кантовский анализ трансцендентальных оснований математического знания в настоящее время должен быть, по крайней мере, дополнен. Например, это можно сделать за счет выделения в составе математического знания двух уровней условно соответствующих “эмпирическому” и “теоретическому” уровням в естествознании: первичная математическая практика рассматриваемая Кантом может быть соотнесена с чувственными априорными формами пространства и времени, а более абстрактные разделы современной математики — с априорными формами — категориями — рассудка.

В-третьих — и это, на наш взгляд, одно из самых существенных упущений кантовского подхода в целом, о котором мы уже говорили выше — кантовский априоризм не решает проблемы “происхождения” априорных форм и механизмов их образования: кантовские априорные формы всех типов статичны и неизменны, т.е. просто постулируется как данные, а их набор хорошо согласован с имеющейся во времена Канта структурой научного знания (в этом смысле кантовские “критики” точно соответствуют своему названию, так как не предлагают что-либо новое, а критически переосмысляют и обосновывают то, что есть в рамках “позитивного” знания). В настоящее время, время господства “позитивного знания” (О. Конт), предлагаются решения этой проблемы, в основе которых лежит отказ от идеи априоризма. Однако возможно решение проблемы возникновения априорных форм, оставаясь в рамках кантовского трансцендентализма. На наш взгляд таковым является разрабатываемый нами подход [15]. Основным механизмом образования априорных форм является кантовская познавательная способность воображения, которая, как пишет Кант, лежит в основе любой синтетической познавательной деятельности. Именно она ответственна за синтез “идей” (= кантовских априорных форм всех типов), которые выходят за рамки конечного опыта и выполняют роль его априорного основания. Способом образования вообразительных априорных “догадок” служит механизм перехода на метауровень, который в рамках метафоры “правого — левого полушария” может быть соотнесен с “правополушарной” деятельностью и нередко сопровождается феноменом творческой ошибки (С. Маслов, [16], [17]). Неиндуктивный характер творческой догадки, а также возможность совершения в ходе ее осуществления творческой ошибки, являются ярким подтверждением возможности получения неэмпирического — априорного — знания и его последующего использования в ходе познания (подробнее о “творческой ошибке” см. приложение).

В-четвертых, возможно и еще одно преодоление статичности кантовского подхода, т.е. отказ от приписывания метафизико-априорному знанию статуса застывших неизменных “форм”. Речь идет о том, что в области метафизического (идеального) могут находится сущности разных типов, т.е. не только стандартные неизменные метафизические сущности (к которым относятся кантовские априорные формы), но и темпоральные сущности, т.е. такие идеальные образования, которые способны к (само)изменению и/или (само)развитию. В истории философии это различение было зафиксировано Г. Гегелем как противопоставление метафизики и диалектики. Гегель впервые попробовал представить все основные метафизические концепты в виде единой динамической системы саморазвивающихся сущностей, т.е. придал темпоральный характер всем метафизическим концептам, в том числе и кантовским априорным формам (хотя и мистифицировал этот процесс, “поручив” ее деятельность “мировому духу”). Если же, вслед за Делезом и Гваттари, признать сложный (составной) характер метафизических концептов, то развитие идеальных сущностей, в том числе и кантовских априорных форм, можно помыслить вполне рационально. Основными механизмами видоизменения концептов являются конкретизация, обобщение, а также “обмен” их составными частями в ходе человеческой интеллектуальной деятельности. Например, “образование” рациональных или действительных чисел можно рассматривать как процесс конкретизации исходного концепта (натурального) числа; а введение Кантором кардинального числа — как операцию его обобщения. Аналогично обстоит дело и с кантовскими априорными формами, которые в ходе человеческой деятельности могут изменяться, сохраняя при этом свой априорный статус. Например, кантовский концепт пространства обобщается до n-мерного пространства, которое уже не является представимым (чувственным) созерцанием. В рамках этого подхода, который назовем концепцией динамического априоризма, можно ввести более точное структурирование области априорного, а также задать определенные правила преобразования априорных сущностей.

Наконец (в-пятых), обобщая два предыдущих пункта, сформулируем следующую версию априоризма (модификацию кантовского подхода), которая назовем концепцией эпистемологического гилеоморфизма (ср. с цитированным выше кантовским разделением “материи” и “формы” в познавательном процессе). Ее суть — в снятии строгого кантовского противопоставления “априорное vs. апостеорное”. Аналогом для этой модификации является аристотелевское учение о гилеоморфизме, в котором он преодолевает строгое платоновское противопоставлении умопостигаемого “мира идей-форм” и эмпирического “мира вещей”. Вместо этого Аристотель предлагает определенную гилеоморфную иерархию. Крайними ее точками являются, соответственно, “абсолютная” — неоформленная — материя (первоматерия) и “абсолютная” форма (первоформа, или аристотелевский Бог—Нус). А середина этой иерархии “заполнена” промежуточными — “относительными” — сущностями, которые являются (онтологическими) “формами” для ее нижележащих уровней и (онтологической) “материей” для ее вышележащих уровней. Точно так же, если трактовать любой познавательный акт (вслед за Кантом) как соединение апостеорного “содержания” (эпистемологической материи) и априорных “форм” (эпистемологической формы), то можно ввести понятие об “относительной априорной форме”, которая в рамках какого-либо познавательного акта выступает как метауровневое априори по отношению к предшествующему уровню содержательного апостеори. При этом строгое кантовское противопоставление “априорное vs. апостеорное” имеет место только между крайними точками эпистемологической гилеоморфной шкалы, а ее промежуточные “сущности” имеют априорно-апостеорный статус. Например, если учесть срединное положение математики по отношению к “физике” и “метафизике”, то математическое знание выступает как априорно-аподиктичное по отношению к “содержательному” естествознанию, и, в свою очередь, основывается на определенных онтологических предпосылках, т.е. является апостеорным по отношению к метафизике (онтологии).

Основным из них является механизм, действующий на уровне локального познавательного акта. Согласно С. Франку [18], любой локальный познавательный акт может быть описан в виде суждения “А есть X”, где А — обозначает то неизвестное, что познается, а X — известный предикат. Тем самым в рамках модельной концепции познание есть не двучленное, а трехчленное отношение между субъектом познания S, объектом А и репрезентатором (моделью) Х: “S познает A как X”, или “S познает A через посредство X”. Тем самым, имеющиеся у субъекта “знания” выступают как априорные фильтры, которые предопределяют процесс познания: познать можно лишь то, для чего у нас есть соответствующий репрезентатор (модель) X. Однако в ходе познавательного процесса происходит не только познание эмпирического А, но и уточнение априорного Х, которое в самом начале познавательного процесса выступает как фантазийная (вообразительная) — может быть, ошибочная — априорная догадка. Если на начальных стадиях познания рассогласование между априорным Х и опытом велико, то в ходе последующей модификации Х (уточнения модели) происходит такое его “насыщение”, что позволяет говорить о появлении уже не изменяющейся впоследствии локальной априорной формы.

Наконец, на историческом макроуровне формируются наиболее устойчивые глобальные априорные формы, которые, например, соответствуют “архетипам” (К. Юнг) или “идолам рода” (Фр. Бэкон). Некоторые из них настолько устойчивы, что “встраиваются” в познавательный механизм человека чуть ли не на физиологическом уровне и являются “врожденными” — типа кантовских априорных форм пространства и времени — априорными формами (именно они имеют максимальную степень априорности, т.е. являются абсолютными a priori); другие — более вариабельны, хотя их историческая модернизация вследствие больших временных промежутков практически незаметна для нескольких поколений человечества.

Суммируем основные тезисы нашего исследования.

1. (Основной тезис) Математика не является однородной — “одноцентровой” — научной дисциплиной. Говорить об единстве математики надо с некоторой долей осторожности. По своей природе математика разнородна, в ее составе есть два различных “центра”: “арифметика” и “геометрия” (или даже три “центра”, если различить арифметику как науку о числе и алгебру как науку об операциях (алгоритмах)). Эпистемологический статус этих составляющих математического знания различен. Если “арифметическая” составляющая тяготеет к априорному метафизическому знанию, то “геометрическая” составляющая тяготеет к апостеорной “физике”. Следовательно, при решении вопроса об априорности математического знания надо учитывать ее неоднородный, “двухцентровый” характер. На протяжении истории развития математического знания происходит последовательная смена основной “центровости” математического знания. В отдельные исторические периоды преобладает либо “арифметическая” составляющая математики, либо ее “геометрическая” составляющая. Наряду с этим процессом “внутренней” флуктуации между “геометрией” и “арифметикой”, статус математического знания в ту или иную эпоху определяется “внешними” детерминантами: математика то сближается с “физикой”, то с “метафизикой”.
2. Высказанный в предыдущем пункте тезис о неоднородности математического знания должен быть дополнен указанием на иерархичность — “вертикальную” неоднородность — математического знания, что особенно проявилось (и было осознано) на более зрелом этапе ее развития (XX в.). Если в п. 1 математика мыслилась как двухчленная — арифметико-геометрическая — иерархия, то теперь оказывается, что и сами эти дисциплины неоднородны, иерархичны. Например, согласно концепции Г. Кантора в составе “арифметики” есть как “порядковые” (результат первой абстракции), так и “надпорядковые” — кардинальные — числа (результат второй абстракции). Тем самым внутренняя структура математического знания еще более усложняется. Соответственно, это также накладывает существенные ограничение на решение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, т.к. верхние ее этажи являются более “априорными”, чем нижние.
3. Кроме этого, необходимо отказаться от мифов (1) неизменного статуса метафизических сущностей, к которым относятся кантовские априорные формы, и (2) абсолютного противопоставления “априорное versus апостеорное”, которое выражает лишь крайние степени шкалы “содержательное — формальное””. Это противопоставление имеет ограниченное методологическое применение и значимо (a) для анализа простых познавательных практик и (b) на начальных этапах анализа сложных познавательных практик. При более детальном анализе знания (познания) это различения является слишком грубым и теряет свою эвристическую ценность. В качестве альтернативы предлагается использовать оригинальные концепции динамического априоризма и эпистемологического гилеоморфизма, являющиеся определенными вариантами априоризма.

1. С.Л. Катречко Бесконечность и сознание //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты (сборник). — М.: Янус-К, 1997. — стр.329-337.
2. М. Фуко Археология знания. — Киев, “Ника-Центр”, 1996.
3. Л. Витгенштейн Философские исследования //Его же. Философские работы. Часть 1. — М.: Гнозис, 1994.
4. Г. Вейль Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике //Его же. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.
5. Г. Вейль Математическое мышление //Его же. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.
6. С.Л. Катречко Бесконечность и теория поиска вывода //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты (сборник). — М.: Янус-К, 1997. — стр.190-196.
7. Прокл Комментарий к первой книге “Начал” Евклида. Введение. — М.: Греко-Латинский кабинет, 1993.
8. И. Кант Критика чистого разума (серия “Философское наследие”). — М.: Мысль, 1994.
9. Г. Райл Категории //Его же. Понятие сознания. — М.: ДИК, 2000.
10. Г. Кантор К обоснованию учения о трансфинитных множествах //Его же. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — стр.173-246.
11. Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа). — Томск, Водолей, 2000.
12. Ж. Делез, Фр. Гваттари Что такое философия?. — СПб.: Алетейя, 1998.
13. Г.В. Лейбниц Письмо Софии-Шарлотте (о том, что независимо от чувств и материи) //Его же. Собр. соч. в 4тт. Т.3. — М.: Мысль, 1984. — стр.371-395.
14. И. Кант Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.
15. С.Л. Катречко Как возможно творческое воображение? //Воображение как познавательная способность (в печати; см. “электронную версию” этой по адресу http://www.philosophy.ru/library/image/index.html; http://www.philosophy.ru/library/image/sb_image.doc, а также материалы телеконференции “Как возможно творческое воображение?” на эту тему — http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=Kant).
16. С.Ю. Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.
17. С.Ю. Маслов Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества //Семиотика и информатика, Т.13. С.17-46. — М.: ВИНИТИ, 1979.
18. С.Л. Франк Предмет знания. — СПб.: Наука, 1995.
19. М. Вартофский Модели. Репрезентация и научное понимание. — М.: Прогресс, 1988.
20. Г. Фоллмер Эволюционная теория познания (гл/ “Познание и действительность”). — М.: Русский двор, 1998.
21. В.В. Налимов Вероятностная модель языка. — М.: Наука, 1979.

Приложение (для интернет версии текста)

алфавит исчисления — {a, b}

правильно построенной формулой (п.п.ф.) будем считать любое, возможно пустое, слово. Напр., abba, baba суть п.п.ф. исчисления.

аксиомой исчисления является слово abb;

правила вывода: 1. bXbY Þ XYbb; где X, Y, Z — п.п.ф.

2. XabYbZ Þ XbYabaZ исчисления

Например, если нам дана формула babab, то мы можем, применяя первое правило вывода, получить либо формулу ababb, при отождествлении X с aba, а Y — с пустым словом (формула babab представляется как babab__), либо формулу aabbb при отождествлении X с a, а Y — с ab (формула babab в данном случае представляется как babab). В данном случае к формуле babab применимо и второе правило вывода, которое позволяет получить формулу bbaaba, при отождествлении X с первым b, Y— со вторым a, Z— с пустым словом (т.е. если формулу представлять как babab).

Собственно эксперимент заключается в построении вывода в условиях жесткого временного цейтнота (2-3 минуты). Вопрос таков: выводима ли в исчислении формула aaaaaaaaaaaaaabb (a ^[14] bb)?

Конец эксперимента ==== Анализ эксперимента

Важным итогом эксперимента является постулирование ошибочного утверждения о выводимости данной формулы. При проведении эксперимента в различных аудиториях в зависимости от ужесточения временного цейтнота процент неправильных ответов колебался, причем, что интересно отметить, математическая подготовка аудитории при ужесточении временного цейтнота часто оказывала весьма плохую услугу, повышая удельный вес неправильных ответов. Анализируя условия эксперимента, можно видеть, что появление неправильных ответов связано с тем, что начальные шаги построения вывода: abb — baba — aabb — ababa — baabaa — aaaabb — .... подталкивают к формулированию естественной и кажущейся верной догадке, что выводимыми в данном исчислении являются формулы вида a ^[2n] bb, ошибочность которой становится очевидной при дальнейшем построении вывода.

(1) Во-первых, вызывает сомнение собственно методология предложенного автором статьи подхода. Дело в том, что методология И. Лакатоса изначально была предназначена для анализа развития естественнонаучного знания (включая математику), и поэтому сам “перенос” данной методологии на область гуманитарного знания (математический априоризм является прикладной философской концепцией, а не частью математики как таковой) должен быть предварительно обоснован. А серьезные возражения против подобного распространения подхода Лакатоса на область гуманитарного знания имеются. С одной стороны, математический априоризм может быть соотнесен с “парадигмальным” подходом Т. Куна (в качестве принимаемого мной тезиса парадигма Куна является более глубинным — философским в терминах концепции строения научного знания В. Степина — “ядром” научного знания, чем выделяемое ядро — уровень общенаучной картины мира по Степину — научно-исследовательской программы Лакатоса). Если же, вслед за этим, принять куновский принцип несоизмеримости, т.е. рассматривать разные версии математического априоризма как различные — несоизмеримые — концепции, то само их сравнение и тем более утверждения о имеющем месте регрессе окажется неправомерным. Более того (полемически заостряя свою мысль), можно сказать, что нет математического априоризма И. Канта как такового (это противоречит одному из центральных тезисов А.Г. Барабашева; см. пп. 8 — 9): в лучшем случае можно говорить об общей кантовской концепции априоризма и зачатках математического априоризма, которая была развита неокантианцами. Анализ кантовской “Критики чистого разума” (далее — КЧР) и других его работ показывает, что перед Кантом стояла задача обоснования прежде всего не математики, а естествознания (точнее — феномена наличия причинно-следственной связи, подвергнутого сомнению Д. Юмом: см. известную сентенцию Канта о “пробуждении” его от догматического сна). Математика же рассматривается Кантом скорее как вспомогательная — “низшая” — ступень естествознания и соотносится с деятельностью не рассудка, а “низшей” познавательной способности чувственности. Достаточно примечательным в данной связи является тот факт, что (чувственная) математика и (рассудочная) логика рассматриваются в Кантом совершенно в разных разделах КЧР, что коренным образом отличается от анализа математики с конца XIX в., когда логика и математика образуют (благодаря деятельности Пеано, Фреге, Рассела, Гильберта, etc) в единый логико-метаматематико-математический комплекс логизированной (аксиоматической) математики (см. об этом в моей статье наст. сб.). Поэтому “второй этап математического априоризма”, связанный с деятельностью неокантианцев и Э. Гуссерля, “работает” с совершенно с другим предметом (математикой), чем Кант.

С этих же позиций (принципа несоизмеримости) не так очевидна и постулируемая в пп. 4 — 7 статьи преемственность кантовского априоризма и (платоновского) идеализма. Здесь можно вспомнить неоднократные замечания Канта и недопустимости отождествления его позиции с позицией идеализма (специальные кантовские вставки-примечания к гл. “Трансцендентальная эстетика” 2-го изд. КЧР; кантовские замечания об идеализме в “Пролегоменах…”). Ограничусь здесь более точной ссылкой на “черновые заметки” Канта 1790 — 1791 гг. (цит. по: И. Кант Сочинения в 8-ми т. Т.8. М.: Чоро, 1994), которые даны с такими подзаголовками “[Опровержение проблематичного идеализма]”, “Против идеализма”, “Об идеализме”: “идеализм разделяют на проблематичный (идеализм Декарта) и догматичный (идеализм Беркли); последний отрицает существование всех вещей, кроме бытия того, кто утверждает их существование (стр. 650);… [первый] признает, … что мы не имеем никакого внешнего чувства, но лишь способность воображения в отношении внешних созерцаний (стр. 654)”. В “Пролегоменах…” (цитирую по памяти) Кант делает характерное замечание, что предложенный им в КЧР термин “трансцендентальный идеализм” не совсем удачен и может быть заменен на термин “формальный идеализм”, что принципиально отличает “идеализм” Канта от “содержательного” идеализма Платона — Декарта — Лейбница, выраженного, например, в концепции “врожденных — содержательных! — идей”. [Замечу, что предложенное Кантом определение идеализма существенно отличается от “субъективистской” (эпистемологической) трактовки идеализма, данной в п. 4 статьи: идеализм как онтологическое учение определенным образом решает вопрос о статусе математической реальности, а не о наличии соответствующих “идей” у познающего субъекта; т.е. автор статьи совершает категориальную ошибку, смешивая (онтологическое) различение “идеализм vs. материализм” с гносеологическими различениям “эмпиризм vs. рационализм” и рассматривая различение “субъективизм vs. объективизм”.] Если несколько заострить лейтмотив кантовской — анти-идеалистической — мысли, то можно сказать, что кантовский априоризм вообще идеализмом не является! Он представляет собой как бы “срединную” между идеализмом и материализмом позицию (+ “срединную” между эмпиризмом (сенсуализмом) и рационализмом эпистемологическую концепцию), а именно: сочетание “содержательного” материализма (признание реальности) и “формального” идеализма (признание априорных форм познания). В этом смысле кантовский подход скорее может быть соотнесен не с платоновским идеализмом, а с гилеоморфизмом Аристотеля.

(2) Перейдем теперь к “локальным” неточностям отдельных пунктов статьи (прежде всего, пп. 7—8), связанных с вольным или невольным искажением кантовского учения о познании (кантовский априоризм, специфика математического познания, природа математического конструирования). Сразу оговорюсь, что часто “острие” критики имеет опосредованное отношение к автору статьи, а направлена на устранение неточностей других, иногда весьма авторитетных источников, которые в данном тексте выступают как основания—аргументы для утверждений А.Г. Барабашева, т.е. мы будем “бороться” с феноменом испорченного телефона, а главным нашим “оружием” изберем опору на оригинальные тексты самого Канта, т.е. тщательный текстологический анализ его текстов, посвященных этой проблематике. Другая оговорка связана с форматом “комментария”, т.к. здесь внимание направлено на решение “отрицательной” задачи — выявление текстологических неточностей, а изложение собственных “положительных” тезисов сведено к минимуму (более детально изложение кантовской концепции познания дается в моих текстах; см. мою статью в наст. сб., а также мой текст в сборнике “Воображение как познавательная способность” — http://www.philosophy.ru/library/image/).

П. 7: 1. Идеализм Платона и априоризм Канта достаточно разнородные явления (об этом мы уже говорили выше). 2. Утверждение о том, что Кант “даже усилил… статус математических утверждений,… отрицая чувственные основания математических утверждений” представляется неправомерным, т.к. математика, по Канту, основывает свои положения на чувственных созерцаниях и пространственно-временных конструкциях (особенно явно это прописано при сопоставлении природы деятельности математики и философии в главе “Дисциплина чистого разума в догматическом применении” КЧР). В этой связи скорее справедлив обратный тезис о том, что статус математики (математических утверждений) у Канта наименьший (по сравнению со статусом других естественнонаучных дисциплин). 3. Термин “синтетическое” у Платона и Канта используются в совершенно разных смыслах: “синтез” Канта связан с появлением нового знания, а “синтез” Платона с направлением познания (собственно, сам автор статьи говорит об этом чуть выше; см. п. 5). 4. Претензии Рассела (Китчера…, автора статьи) к Канту о неразличении им априорного как процесса и результата познания неосновательны, т.к. для Канта (чисто) “априорный процесс познания” — нонсенс (см. ключевой (начальный) тезис Канта о природе познания в КЧР: “без сомнения, всякое наше познания начинается с опыта” (стр. 32; подчеркнуто мной — К.С.)). В каком-то смысле Кант вообще не рассматривает “динамику” познавательного процесса, а анализирует познавательную деятельность посредством анализа его результатов (это основа его методологии!), а именно: задается вопросом “как возможны синтетическим суждения a priori?”. Поэтому не случайно, по признанию самого Канта, самым трудным для него в КЧР оказалось изложение учения о схематизме, в котором анализируется “динамика” взаимодействия рассудка и чувственности.

П. 8: 1. Утверждение о наличии у Канта концепции математического априоризма — ошибка презентизма. Как уже подчеркивалось выше специальной концепции математического априоризма Кант не сформулировал, у него есть только “зачатки” этой — более прикладной — концепции, которую можно “достраивать” различными способами. 2. Кант нигде не говорит об единственности математики, например евклидовости геометрии (по крайней мере, мой анализ КЧР и других его текстов дал отрицательный результат), говорить же о “единственности [чувственного] созерцания” неправомерно, т.к. это уже рассудочная (количественная) оценка созерцания (см. также расширенные критические замечания по этому поводу к п. 11 ниже). 3. “Для этого у нас есть неэмпирическая интуиция”: у Канта нет и не может быть (в отличие от Декарта, Лейбница, Гуссерля) неэмпирической интуиции, любая кантовская интуиция имеет чувственно-эмпирическое происхождение. Причем это является одним из центральных положений всей теории познания Канта, которая может быть названа концепцией (дискурсивного) рассудочного познания. В этом смысле Кант категорически отвергает возможность познавательной интуиции, хотя допускает (гипотетическую, явно нечеловеческую) возможность “интуитивного рассудка” ((божественный) прообразный (интуитивный) рассудок vs. (человеческий) дискурсивный рассудок) при эстетической — создании произведений искусства — деятельности (см. его знаменитый § 77 из “Критики способности суждения” (далее — КСС). Основой познания, т.е. первоначальным компонентом для последующей деятельности воображения и рассудка, являются чувственные созерцания. Без этого необходимого для познания компонента познавательный акт просто не состоится. Именно чувственные созерцания, если мы стремимся к истинному познанию природы, являются “ограничителями” творческой деятельности воображения и рассудка, с которыми должны быть согласованы понятия рассудка (в свою очередь, воображение в процессе познания подчиняется рассудку, который выступает как “законодатель” познания). Вот как Кант уточняет это — невозможность нечувственной интуиции — в своей “Антропологии…”: “другими словами, воображение бывает или производительным (продуктивным), или воспроизводительным (репродуктивным). Но продуктивное воображение все же не бывает творческим, т.е. способным породить такое чувственное представление, которое до этого никогда не было дано нашей чувственной способности [подчеркнуто мной — К.С.]; всегда можно доказать, что для такого представления материал уже был... Тот, кто из семи цветов никогда не видал красного, никогда не может иметь ощущение этого цвета; слепой же от рождения не может иметь ощущения ни одного цвета, даже составного цвета, получающегося из смешения двух, например зеленого. Желтый и синий цвет, смешиваясь, дают зеленый цвет; но воображение никогда не могло бы породить ни малейшего представления об этом цвете, если бы мы не видали его смешанным” [И. Кант Сочинения в 6 томах. Т.6. — М.: Мысль, 1966. стр. 402—403]. 4. Утверждения автора “Независимость от чувственного опыта в обеих типах конструирования – первая важнейшая черта математических суждений” и термин “априорное синтетическое созерцание” также имеет весьма условное отношения к оригинальной кантовской позиции: любое созерцание для Канта имеет чувственный характер (см. аргументацию выше), а в основе кантовского “конструирования понятий” лежит соотнесение этого понятия с (чувственным) созерцанием (КЧР, стр. 423), которое осуществляет кантовская способность суждения. 4. Вернусь к началу п. 7 и обращу внимание на сноску [1], в которой затрагивается ключевая тема “конструирования математических объектов” (эта тема — лейтмотив п. 8; частично она затрагивается в п. 16). Особо остановлюсь в этой связи на роли кантовской способности суждения в процессе (математического) познания, тем более, что автором (видимо, вслед за А.Н. Кричевцом, на текст которого он ссылается) постулируется изменение позиции Канта по этому вопросу в КСС (по сравнению с КЧР) и утверждается следующее: “В КСС правило формируется через рефлектирующую способность суждения, оно гибко”. Это — принципиально искажает кантовскую концепцию познания. Наша позиция по этому поводу вкратце такова: привлечение текста КСС для уточнения кантовской концепции (математического) познания должно быть крайне острожным, т.к. в КСС обсуждается принципиально иная — эстетическая — деятельность, которую Кант характеризует как “свободную игру”, не связанную строгими правилами рассудка (познание vs. искусство). Обратимся к кантовскому тексту. Вот что пишет Кант в самом начале КСС: “конститутивные априорные принципы познания [или “правила” — К.С.] не может дать ни одна познавательная способность, кроме рассудка” (КСС, предисловие, стр. 37). Как видно из этого отрывка позиция Канта неизменна: в процессе познания (именно познания (!), а не “создания” произведений искусства) “законодателем” является лишь рассудок, а способность суждения выполняет роль “подведения” под это правило особенного (в случае математического познания — соответствующего чувственного созерцания). Чуть позже (в главе “О способности суждения как априорно законодательной способности”; стр. 50—51) он уточнит, что это является функцией “определяющей способности суждения”: “если общее (правило, принцип, закон) дано, то [определяющая] способность суждения…подводит под него особенное” (КСС, стр. 50). Заметим, что здесь Кант не изменяет своей позиции в отношении познавательного процесса: в процессе познания “чистого разума” действует только определяющая способность суждения, связывающая между собой чувственность и рассудок. Функция же упомянутой в статье рефлектирующей способности суждения — “рефлектирующей способности суждения.. надлежит подниматься от особенного в природе к общему” (КСС, стр. 50) — принципиально иная. Прежде всего, она не участвует в познании (природы), т.к. поднимаясь “вверх” от особенного (чувственного) созерцания (Кант приводит пример видо-родовой иерархии), т.е. рефлектируя (размышляя) над природой, она “имеет априорный принцип — [принцип целесообразности природы] (стр. 51) — для возможности природы, но лишь в субъективном отношении, в себе, посредством чего она предписывает не природе (как автономии), а самой себе как (геавтономии) закон для рефлексии о природе…” (КСС, стр. 56; подчеркнуто мной — К.С.). В частности, результатом деятельности рефлектирующей способности суждения выступают эстетические идеи, например идея симметрии, которая может выступать как регулятив (канон), но не как органон познания. Т.е. Кант допускает (оправдывает) “привнесение” в природу целесообразности, которая осуществляет рефлектирующая способность суждения, но ограничивает это рефлектирование субъективно-эстетической деятельностью и выводит его за пределы “органонов” познания (природы), ибо в противном случае мы сможем много чего придумать — “нарефлектировать” — “нафантазировать” о реально (независимо от сознания) существующей природе (как это происходит, например, у Аристотеля, который привнес в природу антропоморфный принцип “целевой причины”): например, что упавший кирпич “преследовал” определенную цель — упасть мне на голову, или электрон, обладающий “свободой воли”, сам “решает” по какой траектории ему двигаться. [Замечу, что в данном случае острие критики направлено против взглядов А. Кричевца и (частично) Г. Гутнера, которые “подняли на щит” рефлектирующую способность суждения и неправомерно приписали ей статус познавательной способности. Однако в тексте эти взгляды целиком разделяются и А. Барабашевым].

П. 11: Общее замечание к пп. 11 — 13. Видимо, наиболее адекватно исходная кантовская позиция в понимании априорности пространства-времени была выражена Л. Нельсоном, которая близка и мне. Однако для разрешения спорных моментов опять-таки надо обращаться к тексту оригинала, т.е. к самому Канту. Обратимся к “локальным” замечаниям по данному пункту. 1. “Первый “удар фактами” по математическому априоризму был нанесен открытием неевклидовых геометрий” и именно с этого, по мнению автора, начался “регрессивный сдвиг программы” математического априоризма. Сосредоточим нашу критику на аргументе, т.е. попробуем “выбить опору” из-под данного тезиса. Открытие неевклидовых геометрий не могло нанести “удар” по кантовскому априоризму, т.к. в п. 3 своего доказательства априорности пространства Кант особо подчеркивает, что пространство — “не… понятие, а… созерцание” (КЧР, стр. 51; подчеркнуто мной — К.С.), а это значит, что оно не является евклидовым или неевклидовым, поскольку это иррелевантная характеристика для чувственного созерцания! В каком-то смысле, пространство как созерцание даже не обязательно трехмерно (хотя о трехмерности пространства Кант в своих текстах говорит неоднократно), т.к. трехмерность — это вторичная рассудочная “оценка” пространства и поэтому она не обладает статусом “первичной” априорности. Поэтому, например, упомянутое в тексте понятие “двуугольника” для Канта является (рассудочной) фикцией, т.к. под него нельзя подвести никакое (чувственное) созерцание. [Замечу, что если изменить “статус” математического знания и перевести его в область “рассудка” (что осуществлено в современной логизированной математике), то оперирование с нечувственными понятиями типа “двуугольника” в принципе возможно, если мы предложим приемлемый критерий отличения пустых рассудочных фикций от “хороших” понятий. Для Канта таким критерием является возможность подвести под соответствующее понятие чувственное созерцание. Обратим внимание на то, что и в современной математике общепризнан а-ля-кантовский метод моделей, который обязывает сопоставлять любой синтаксической (рассудочной) конструкции семантическую (а-ля-созерцательную) модель. Однако это говорит не о “регрессе”, а об эвристическом потенциале кантовской мысли!] 2. “Действительно, общим местом для всех было отождествление единства априорного созерцания с единственностью евклидова пространства.” Отмечу еще раз (см. выше замечание № 2 к п. 8), что прямого указания в кантовских текстах на единственность евклидовой геометрии или невозможность неевклидовых геометрий я не обнаружил. Вполне возможно, что это положение долгое время фигурировало как “идол площади” и было соотнесено с кантовским априоризмом (замечу, что кантовский априоризм (как ссылка на созерцательную очевидность) в данной связке может выступить как аргумент в пользу этого тезиса). Евклидовость или неевклидовость геометрии — это “вторичная” — одна из возможных! — концептуализация априорного пространственного созерцания, которая в общем случае статусом априорности не обладает. Вполне возможно, что это “красивое” понятие (эстетическая идея) сформулировано рефлективной способностью суждения, функция которого — переход от особенного (созерцания, или понятия) к общему (понятию, концепции); или “синтезировано” (сфантазировано) деятельностью продуктивного воображения (или “игрой познавательных сил” (Кант)), однако прямого отношения к (научному) познанию, согласно Канту, оно не имеет: это только “красивая” гипотеза, которая должна быть проверена опытным — например, созерцательным — путем.

Прежде чем переходить к содержательным замечаниям, дам свое видение представленной в статье проблематики и попробую “восстановить” некоторые из важных и неявно принимаемых автором статьи пресуппозиций, поскольку без этого не будет понятен смысл моих замечаний. При этом реконструкции я буду опираться на другие известные мне работы и доклады автора [см. библиографию статьи], посвященные теме различения отрицаний и основанной на этом различении критике канторовской диагональной процедуры, т.к. все эти работы, включая помещенную здесь, на мой взгляд представляют звенья одной цепи.

Математика оперирует с достаточно абстрактными — математическими — “объектами”, статус и способы введения-обоснования которых принципиально отличаются от чувственно-воспринимаемых (опытных) объектов, имеющих “временной характер” (парафраз С. Бычкова из § 1). Особенностью современной математики (математики XX в.) является использование в качестве своего концептуального основания теории множеств, восходящей к построениям Г. Кантора. Однако обнаружение теоретико-множественных (а впоследствии и логико-семантических) парадоксов привело к необходимости уточнения исходных теоретико-множественных понятий и разработке особых обосновательных — метаматематических — процедур с целью недопустимости подобных парадоксов в будущем. Речь здесь идет прежде всего о гильбертовской финитной метаматематике. С другой стороны, новый концептуальный базис математического знания требовал и изменения его логических оснований, а именно замены традиционной силлогистики на современную математическую логику, построенную по фрегевской концептуальной схеме “функция — аргумент”, принципиально иной по сравнению с традиционно-логическим субъектно-предикатным подходом к анализу предложений (заметим, что на основе фрегевской концептуализации возможно создание единого логико-математического комплекса, т.к. и логика и математика становятся сходными “функциональными” дисциплинами). Вычленение же из состава математики обосновательных метаматематических процедур предполагает решение проблемы концептуальной согласованности математики и метаматематики, т.е. сходства их логико-онтологического базиса. Отсутствие явной экспликации и попыток решения этой проблемы, по мнению автора статьи, составляет один из “парадоксов” современной математики, приведший к появлению ряда результатов об ограниченных возможностях современных математических формализмов, среди которых видное место занимают известные теоремы Геделя. Общая схема предлагаемого в статье решения — выявление “рассогласования” в логическом базиса математики и метаматематики с целью его устранения.

1. Существующая математика и метаматематика, прежде всего благодаря работе Г. Фреге и Б. Рассела, вполне согласованы. Единым онтологическим базисом современного логико-математико-метаматемического комплекса является номиналистической установка, постулирующая наличие только единичных объектов (индивидуумов) и единого (универсального) универсума, что делает излишним введение родо-видовой иерархии (или расселовского теоретико-типового структурирования, что оказалось “тупиковой” программой развития (обоснования) математики, хотя и в этом случае реализуется идеал единого математического универсума, структурированного вертикально). Логическим базисом этого математического комплекса является единая логика фреге-расселовского типа (подробнее об этом типе формализмов см., например, работу В.А. Смирнова “Логические методы анализа научного знания”, или работы Е.Д. Смирновой). Т.е. вся современная логика успешно — за счет различных редукций, погружений, дефинициональных (эквивалентных) переформулировок — “перестроена” на базе единой, восходящей к Г. Фреге, концептуальной схеме “функция — аргумент” (см. в этой связи см., например, характерное название одной из современных работ этого направления “Доказательство погружения аристотелевской силлогистики в пропозициональную логику” [Канаи Д. Логические исследования, вып. 2, 1993]).

1.1. Существенной чертой данной номиналистической установки является экстенсионально-синтаксический характер построения современных (математических) формализмов. В этом смысле “финитный подход Гильберта” не может “акцентировать внимание на вещественно-пространственном характере [метаматематических] объектов” [С.Н. Бычков]. Метаматематические, как впрочем и математические, объекты у Д. Гильберта имеют ярко выраженный синтаксический, или “знаковый” характер (что, кстати, вполне разделяет и К. Гедель в цитируемой Вами работе [4, 299]). Математические (метаматематические) объекты рассматриваются Гильбертом (я думаю, что и большинством современных математиков) как знаковые, или синтаксические, конструкции, требующие определенных, строго фиксированных синтаксически, “правил работы” с ними. Поэтому (отмечаемый Геделем в цитате) “пространственно-временной” характер метаматематических объектов имеет явно метафорических смысл, т.к. пространственно-временной статус математических (или метаматематических) объектов принципиально отличается от пространственно-временного статуса (физических) вещей. Здесь скорее можно говорить о структурно-комбинаторном “пространстве” гильбертовской (формальной) установки, что впоследствии было с блеском реализовано на методологическом уровне в неопозитивизме (логическом позитивизме), провозгласившем отказ от “смысла” в пользу чисто экстенсионального подхода [в этом смысле можно говорить о невостребованности призыва Геделя к использованию “смысла”, “мысленных образов”… в последующей логико-математической традиции], а в прагматическом отношении выразилось в мощнейшем развитии алгоритмо-машинных математических процедур, основанных на чисто синтаксических (формальных) процедурах (реализованных, например, в машине Тьюринга, которую не отменяют и привлечение более мощных алгоритмов с оракулами).

1.1.1. Однако синтаксическое единство современных логико-математических формализмов не учитывает глубоких семантико-онтологических различий современной и традиционной — родо-видовой в терминологии автора статьи — логик. [Заметим, что используемое в статье название “родо-видовая логика” представляется не совсем удачным, т.к. существует несколько, отличных друг от друга, традиционных логик, различным образом решающих вопрос о взаимосвязи предикатного (внешнего) и акцидентного (внутреннего) отрицаний. См. по этому поводу, например, работу В.А. Бочарова “Аристотель и традиционная логика”, где выделены различные “родо-видовые” логики: например, собственно аристотелевская логика, традиционная (школьная) логика (как правило именно она выдается за родо-видовую логику как таковую и преподается в российской высшей школе), лейбницевская, больцановская, кэрроловская… и ряд современных интерпретаций силлогистических теорий, предложенных В.А. Смирновым, В.А. Бочаровым и др., а также, построенная на базе аристотелевской паранепротиворечивая логика Н. Васильева, которая вопрос о взаимосвязи внешнего и внутреннего отрицания решает кардинально иначе, допуская “противоречия”.] Часто вопрос о “согласовании” семантико-онтологических оснований двух типов логик остается не только нерешенным, но даже и незамеченным (в этом отношении я солидарен с автором статьи). Наиболее перспективным, т.е. учитывающем семантические различия, здесь представляется подход В.А. Смирнова (восходящий к идеям Н. Васильева и фон Вригта), который предложил так называемые комбинированные — в частном случае двухуровневые — логики [см. “Логико-философские труды В.А. Смирнова” (ред. В.И. Шалак), 2001], представляющие собой комбинации различных логик. Правда надо заметить, что поднимаемый в статье вопрос о “согласовании” современной и традиционной логик в этой работе не решается, вернее Смирновым рассматриваются такие системы, в которых “внутренняя” логика является традиционной, а “внешняя” (т.е. метауровневая) логика представляет собой какой-либо вариант современной классической или интуиционистской логики (т.е. решается обратная, с точки зрения постановки проблемы в статье задача), но данный подход показывает принципиальную возможность (а это главное!) “согласования” традиционного и современного логического подхода.

1.2. В рамках обрисованной выше номиналистической онтологии и пропозиционально-предикатной структуры современной математической логики по существу теряет смысл один из важнейших аргументов данной статьи, опирающийся на различение внешнего и внутреннего отрицаний. Замечу, что на уровне пропозициональной логики никаких внутренних отрицаний в принципе быть не может. Поэтому приведенная в § 4 (см. также другие работы С. Бычкова — Д. Виннера) интерпретация “ù  B… [как] внутреннего отрицания ‘число 9 есть не-голубое’” неправомерна, т.к. в пропозициональной логике внутренняя структура высказывания вообще не анализируется. При переходе же к следующему структурному уровню, логике предикатов первого порядка отождествление внутреннего и внешнего отрицания вполне оправданно номиналистической — индивидной — переформулировкой статуса логических (математических) объектов и введением единого, без родо-видового — “горизонтального” — разбиения, универсума, что на синтаксическом уровне реализуется введением (либо в аксиоматике, либо в правилах вывода) соответствующих редукций отрицаний разной степени глубины.

1.2.1. Поднимаемая в данной и предшествующих статьях автора (вместе с соавторами) тема различения внешнего и внутреннего отрицания безусловно интересна, т.к. высвечивает одну из неявно принимаемых посылок современных математических рассуждений. Однако, на мой взгляд, проводимое в них различение не учитывает ряд принципиальных моментов, на которых я и хотел бы остановиться (см. подробнее об этом в моей работе “К вопросу о различении отрицаний”: http://www.philosophy.ru/library/ksl/nego1.html). Во-первых, как показывает предварительный анализ в силлогистической логической форме суждения “S есть P”, помимо собственно “внешнего” — пропозиционального — отрицания (“Неверно, что S есть P”), формально можно построить следующие четыре “внутренних” отрицания: 1. отрицание субъекта суждения “Не-S есть P”; 2. отрицание содержательного признака (акцидентное отрицание) суждения “S есть не-P”; 3. два предикатных отрицания (отрицание связки суждения) “S не есть P”: 3.1 “S (не есть) P” — субстанциальное отрицание связки “есть”; и 3.2. “S (не) (есть P)” — (собственно) предикатное отрицание “есть Р”. Приемлемой интерпретации субъектного отрицания (случай 1) не существует, а случай 3.2. может быть отождествлен с акцидентным отрицанием (случай 2). Поэтому для более точного и полного анализа надо рассмотреть взаимосвязь не двух (внешнего и внутреннего), а, по крайней мере, трех различных отрицаний, причем с учетом того, что на месте субъекта могут находиться четыре типа объекта (индивиды, неопределенные индивиды Фреге — Уемова, (распределенные) классы Рассела, собирательные классы (“кучи”) Ст. Лесьневского, множества Кантора). Отметим, что наш предварительный анализ показал эквивалентность пропозиционального, предикатного и акцидентного отрицания в случае индивидуумов (обратим внимание на то, что в примере, с помощью которого демонстрируется различие отрицаний, в качестве субъекта фигурирует общий термин “число”). Во-вторых, интересно было бы установить связь между различение внешнего — внутреннего отрицания и пониманием отрицания в интуиционисткой (конструктивисткой) логике, т.к. неприятие закона исключенного третьего и снятия двойного отрицания свидетельствуют об отличном от классической логики (математики) понимании “свойств” отрицания. Понятно, что в случае интуиционисткой математики тезис статьи тезис статьи необоснован и, видимо, должен быть “сужен” лишь до области классической математики. В-третьих, мощным подспорьем при анализе операции отрицания может служить глубокое замечание русского логика Н.А. Васильева о том, что операция отрицания (в отличие от других логических операций) является не непосредственной, а опосредованной — двухсоставной — операцией. “Отрицание” какого-либо признака — например красноты — предмета происходит (по Васильеву) так: сначала (на чувственном уровне) постулируется “позитивный” факт (в нашем случае, например синева предмета), а уже потом (умозаключая) вводится собственно “негативный” факт отсутствия соответствующего признака. [Замечу, что анализ Васильева подтверждает тезис о нетождественности “внешнего” и “внутреннего” отрицаний, т.к. внутреннее — акцидентное — отрицание имеет “утверждающий” модус (т.к. в связке “есть” утверждается явное наличие этого предмета и неявное наличие некоторого — отличного от положительного — признака этого предмета) и, поэтому, является более сильным, в то время как внешнее — предикатное — отрицание никакого скрытого утверждения (о наличии какого-либо признака предмета) не содержит, более того, в общем случае, выводит предмет за рамки универсума (сущего) или промежуточного рода — предмет “не есть”, не существует].

1.3. Следующим интересным развитием темы является концептуальное обсуждение базисного для современной математики понятия “множества”. Однако при этом надо иметь в виду существенное концептуальное переосмысление исходной канторовской интуиции множества, осуществленное впоследствии Расселом, на которое до сих пор не обращали должного внимания (несколько подробнее см. в мою лекцию “Теоретико-множественная парадигма математики и ее возможные альтернативы”: http://www.philosophy.ru/library/ksl/mathlek1.html). Если говорить коротко и несколько огрублено, то вместо канторовского понятия множества (или ряда понятий “множества”, с учетом неоднозначности и флуктуации данного понятия у самого Кантора о чем упоминает и автор) в современных формализмах математики используется именно расселовское понятие класса [хотя реальная ситуация выглядит не так однозначно с учетом различных аксиоматизации теорий множеств, среди которых аксиоматика Цермело-Френкеля, видимо, максимально близко в концептуальном плане соответствует канторовской интуиции множества].

Остановлюсь на различении “множество vs. класс” подробнее. Развитая математическая практика должна уметь работать с разными — по степени общности-абстрактности — типами объектов (проблема “части — целого”). В традиционной логике эту функцию осуществляла идущая от Платона и Аристотеля родо-видовая иерархия [см. обозначенную выше работу В. Бочарова]. Современная математика, начиная с Г. Кантора, отказавшись от традиционной концептуальной схемы “вид — род”, предложила альтернативные способы решения проблемы “часть—целое”. Прежде всего на роль этой замены предлагается отношение “элемент—множество”, отношение принадлежности (Î ), однако, как показал Г. Фреге [см., например, его статью “Логика в математике”], вместе с этим в теории множеств с необходимостью вводится и другой — более прямой “наследник” отношения “вид—род” — аналог отношения “часть—целое”, а именно отношение включения (Í ), причем эти два, в общем-то разных, отношения, не различаются и трактуются как единое — в концептуальном плане — отношение (например, предложения “Сократ есть человек” (отношение принадлежности) и “Человек есть животное” (отношение включения) могут анализироваться сходным образом). Анализ Фреге (на примере работ Шредера, где Фреге обнаружил аналог парадокса Рассела) показал, что именно это неразличение и является одним из источников парадоксальности теоретико-множественной концепции [тем более удивительно, что Фреге подпал под “гипноз” расселовского парадокса, т.к. все “средства” для его разрешения у него уже были; см. также, основанный на фрегевском различении свойств разного уровня, наш подход к “разрешению” подобных парадоксов в статье “О парадоксе Рассела”: http://www.philosophy.ru/library/ksl/paradox1.html]. Дальнейшее осмысление этой “несогласованности” канторовской интуиции породило ряд альтернативных линий развития теоретико-множественной установки. Во-первых, это по своему последовательное решение Цермело—Френкеля, которые в рамках своей аксиоматики теории множеств, фактически, отказались от оперирования понятием “элемент”, заменив его на понятие “подмножество” (заметим, что это установка концептуально (само)противоречит аксиоме выбора, которая задает процедуру “выбора” элемента). Во-вторых, это являющийся развитием различения Фреге подход Ст. Лесьневского, который четко различил выделенные Фреге отношения и развел их по разным структурным уровням математической теории: отношение принадлежности фигурирует у него в онтологии (первый уровень теории), а отношение включения — в его мереологии (второй уровень теории, где собственно и формализуется отношение “часть—целое”). Своеобразное — третье — решение указанной проблемы было предложено Расселом, которое, как я уже говорил выше, является неявным базисом современной математики. В концептуальном отношении оно заключалось в замене канторовского понятия “множества” на понятие “класс”. Вот как Рассел вводит понятие “класса”: “В настоящей главе [глава “Классы”] мы будем обсуждать слово the во множественном числе: обитатели Лондона, сыновья богатых людей и т.п. Другими словами мы будем иметь дело с классами [выделено мной — К.С.]” (“Введение в математическую философию”, стр. 165). Заметим, что это принципиально отличается от канторовской интуиции “множество”, которое (при всех флуктуациях его позиции) мыслится как нечто “целое” (ср. с платоновским “эйдосом”), т.е. как самостоятельная сущность следующего онтологического уровня, в то время как расселовский класс мыслится как “множественное the”. Согласно терминологии Лесьневского, расселовский класс является распределенной множественностью, в которой каждый исходные элементы не теряют своей индивидуальности. Т.е. это не новое онтологическое образование, не новое “целое”, а как бы временное (гносеологическое) объединение определенных — “хорошо различимых” (Кантор) — индивидуумов (в английском языке этому соответствует грамматические конструкции с определенным артиклем the), с каждым из которых как таковым мы можем работать и дальше. Понятно, что таким образом Рассел достигает определенной “гомогенности” математического универсума и введение онтологической родо-видовой “неоднородности” излишне. Правда здесь остается одна (методологическая) “опасность”, а именно возможное неразличение собирательного (класс как целое) и распределенного (класс как множественность) толкования классов, что и приводит (по мнению Лесьневского к появлению парадоксов расселовского типа).

Оригинальное канторовское понимание “множества” (если мы правильно проинтерпретировали его взгляды) задает принципиально другое — “слоистое” — строение математического универсума, что является альтернативой традиционной родо-видовой иерархии [заметим, что именно поэтому представлять родо-видовую иерархию, используя отношение включения не совсем корректно], т.к. “множества” выступают как сущности следующего (мета)уровня, причем они являются полноценными (цельными) “объектами”, с которыми можно работать (хотя и по особым правилам) наравне с индивидуальными объектами. Анализ работ Кантора показывает (см. предшествующие статьи автора), что его мысль бьется над экспликацией введенной им исходной интуиции: в частности, позже он выделяет “неконсистентные множественности”, которые собственно множествами, т.е. чем-то “целым”, из-за своей неконсистентности не являются (в этой связи заметим, что понятие расселовского класса — в отличие от канторовского “множества” — является “всеядным”: в расселовские классы мы можем объединять все, что угодно, сущности любого рода).

Судя по всему, полноценная экспликация канторовской интуиции множества, определенный шаг в направлении к которой уже сделан в комментируемой статье, — дело будущего. Здесь же рискну предложить одну аналогию, проясняющую на мой взгляд канторовскую интуицию. На мой взгляд, канторовские множества можно рассматривать как “слитки”, в которых исходные составляющие элементы (т.е. те, из которых образован этот слиток) “исчезли” (например, из ста золотых монет сплавили 100 гр. золота, исходные монеты исчезли и превратились в “цельный” золотой слиток). В этом смысле образование множеств — необратимая операция, т.к. исходные элементы исчезли, “растворились”, в составе образованной целостности: конечно, мы можем снова получить из слитка какое-то количество (“вторичных”) частей-элементов, но это не будет тождественно исходным — “первичным” — элементам. “Мощность” множества может быть соотнесена с “объемом” полученного слитка, а операция взятия подмножества — с последующим разделением слитка на “вторичные” элементы—подмножества. Вводимая же Кантором знаменитая диагональная процедура — попытка демонстрации того, что из слитка можно получить гораздо большее количество “вторичных” элементов (например, 101-ый “элемент”; закавыченность здесь указывает на “вторичный” характер этого элемента). В принципе полученное превосхождение числа исходных элементов неудивительно, т.к. предшествующая история математики показывает, что именно обратные операции (вычитание, деление, взятие радикала) приводят к “выходу” за рамки существующих математических объектов и существенному расширению исходного математического универсума. [Заметим, что при нашей интерпретации понятия “множества” расселовский парадокс невозможен, т.к. полученный слиток просто не сопоставим (по своему онтологическому статусу) с исходными элементами, из которых он образован и которые в нем “растворились”.]

(1) На мой взгляд данная статья (хотя название статьи, особенно первая часть, не совсем точно передает ее основное содержание) содержит мощный — историко-культурологический — аргумент в пользу априорности математического знания, который может быть назван аргументом культурологического априоризма. Суть этого аргумента заключается в невозможности помыслить непосредственное возникновение (теоретического) математического знания из хозяйственно-практических измерительных процедур. В этом смысле появившаяся греческая математика (как следствие и одно из проявлений “греческого чуда”) существенно неэмпирична, т.е. с необходимостью содержит априорный элемент: математика возникает в рамках общего перехода (греческой культуры) от Мифа к Логосу, предполагает и невозможна без этого “логосного” — априорного! — начала. Причем этот априористский компонент начального математического знания является ее общей “родовой” характеристикой и никогда не может быть преодолен никакой последующей презентистско-эмпиристской переинтерпретацией ни ее “природы”, ни феномена ее возникновения. В этой связи уместно привести проницательный анализ М. Хайдеггера, увязывающий сущность математического знания с этимологией греческого слова “Τά μαθήματα” (непосредственное априорное усмотрение — “схватывание” — уже как бы известного заранее): Современная физика называется математической потому, что в подчеркнутом смысле применяет вполне определенную математику. Но она может оперировать так математикой лишь потому, что в более глубоком смысле она с самого начала уже математична. “Τά μαθήματα” означает для греков то, что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее (подчеркнуто мной — К.С.): в телах — их телесность, в растениях — растительность... К этому уже известному, т.е. математическому, относятся, наряду с вышеназванным, и числа. Обнаружив на столе три яблока, мы узнаем (непосредственно, априорно — К.С.), что их там три (М. Хайдеггер Время картины мира //Его же. Время и бытие. — М., Республика, 1993. — стр. 43).

Логическим основанием этого аргумента является восходящий к Дж. Ст. Миллю метод (установления причинных связей) единственного различия (или метод остатков). Сравнительный анализ традиционных культур Древнего Востока и Запада (в статье — Индии и Греции) показывает, что при прочих равных условиях математика (как одна из разновидностей теоретической науки) возникает именно в Греции, а не на Востоке. Значит для этого должно быть свое основание (причина). В качестве единственно возможной причины феномена “греческого чуда” обоснованно указывается на наличие пифагоро-парменидо-платоновского “нового пути”, приведшего, как указывает автор, к открытию “интеллигибельного мира узаконенной парадоксальности, именуемой Истиной”, являющимся априорным основанием теоретических построений. В качестве дополнения к этому аргументу можно указать на два фактора, усиливающих, как мне кажется, аргументацию автора. Во-первых, можно привлечь оригинальную концепцию российского (советского) мыслителя М.К. Петрова (см. ее изложение в работе “Язык. Знак. Культура”), который указывает на уникальность географического местоположения “греческого чуда”: переход от традиционной культуры к феномену “открытого… внеличностного знания [и] поиска всеобщих оснований” (Е. Веденова) связан с особым “перекрестным” — открытым! — географическим положением Греции и, в частности, с процветающим там феноменом пиратства. Во-вторых, существенным “условием формирования теоретического знания (Др. Греции)… [и переходом] от “естественного языка” (Е. Веденова) стал сам греческий — естественный! — язык, а именно особая роль в греческом языке связки “есть” (помимо указанной выше работы М.К. Петрова, об этом пишет такой авторитетный лингвист как Э. Бенвенист (см. его работу “Общая лингвистика”, особенно гл.VIII и XVII) и российский исследователь западноевропейской онтологии А.Л. Доброхотов (см. его работу “Категория бытия в классической западноевропейской философии”)).

(2) Перейдем теперь к более критической части. На мой взгляд некоторые положения данной статьи не совсем точны и нуждаются в существенной корректировке. Во-первых, не совсем правомерно отождествление “интеллигибельного мира” Платона и мира математической реальности. Математические объекты занимают промежуточный (третий) мир, “материей” которого является “пространство” (см. об этом подробнее, с ссылкой на Прокла, мою статью в наст. сборнике). Это уточнение не противоречит более общему тезису о “многослойной реальности Универсума” (Е. Веденова), который является основой концепции культурологического априоризма, однако позволит более строго задать тип математического априоризма.

В-третьих (в какой-то мере это является продолжением замечания 2.2), мне кажется, что общая логика греческой философско-теоретической мысли скорее следует (отличному от Вашего из § 5) принципу “от (“жесткого”, бинарного) противоречия к (более “мягкой”) противоположности” (к сожалению, формат комментария не позволяет подробно аргументировать этот тезис). Об это свидетельствует (в частности) появление в более поздний период развития греческой метафизики категории “инобытия” у Платона (+ уже упомянутая выше платоновская диалектика), которая занимает как бы промежуточное — в концептуальном плане — положение между (парменидовским) бытием и небытием. Концептуализация же различения между противоречием и противоположностью — собственно различение “противоречие vs. противоположность” — происходит еще позже, только у Аристотеля. Причем Аристотель не только эксплицитно вводит логический принцип исключенного третьего, но и, фактически, указывает его ограниченность в случае рассмотрения не противоречия, а противоположного (это дает право некоторым исследователям, например М.И. Панову, видеть в Аристотеле предтечу интуиционизма). Замечу, что этот ход мысли частично вытекает из начальных глав Вашей статьи, в которой описывается переход от мифологического архетипа бинарной оппозиции к “логосу” греческой метафизики. Хотя, наверное, более точной формулой здесь была бы следующая: “безразличие” к противоречию архаического мышления (ср. с законом партиципации Л. Леви-Брюля) — жесткая бинарная оппозиция позднейшего мифологического мышления (Гомер, Гесиод) и начальных этапов греческой философской мысли (милетцы, Пифагор, Парменид, частично Гераклит) — выявление различных (более “мягких”) степеней противолежания у Платона и Аристотеля (различение “противоречие vs. противоположность” у Аристотеля) и способов “перехода” между ними (платоновская диалектика).

Видимо, главная из них — тщательный анализ “развитой” (в противоположность “примитивной”, “школьной”) современной математической практики, предполагающей использование сложнейших абстракций, при котором задача методолога заключается в предоставлении красивых и эвристически богатых концептуальных схем методологического анализа. При этом наиболее важным являются, отмеченные в комментарии сосредоточение анализа на математическом конструировании как “первичной” математической деятельности (в противовес “вторичной” деятельности строгого формального доказательства; ср. с вейловским противопоставлением конструктивного и аксиоматического подхода в математике) и, кроме того, сопоставление математического конструирования с другими практиками “творческого” конструирования (например, в музыке).

Кроме этого, я не уверен, что выделенная мной — заведомо упрощенная для иллюстрации феномена исторического чередования разных составляющих гетерогенного математического знания — бинарная оппозиция “арифметика vs. геометрия” (“алгебра vs. топология”) является вполне корректной (хотя, как это показано в работах К. Юнга бинарная оппозиция является достаточно устойчивым архетипом человеческого сознания), и, поэтому, должна быть заменена на более развернутую три—, четыре—,… n—кратную оппозицию. Заметим, что в этом случае и число “способов конструирования бесконечности” также должно быть увеличено, например до трех, как это предлагается в работе А. Лосева “Музыка как предмет логики”.

(2) Перейдем теперь к обсуждению первого абзаца текста комментария, в котором развиваемая мной концепция динамического априоризма напрямую увязывается с диалектикой Гегеля. Причем для самого А.И. Белоусова (как это видно из его текстов) фигура (диалектика) Гегеля явно значима. Как правильно замечает автор комментария, процесс познания — это (динамический) процесс, в ходе которого “снимается” абсолютная неподвижность познавательных структур. Собственно, этот общий тезис не нуждается в специальном обосновании, т.к. сам феномен развивающегося знания подтверждает “скачкообразную” динамику человеческого познания, его креативный характер. Нашей заслугой можно считать распространение “динамики” на область априорного.

Т.е. концепция динамического априоризма может быть вписана в более общий контекст “динамического” рассмотрения исходных оснований человеческого познания. В рамках нашего сборника — это концепции (1) эволюционной эпистемологии А.Н. Кричевца и (2) праксеологического априоризма В.Я. Перминова. В обоих случаях дан механизм развития априорных форм: в (1) — как процесс биологического приспособления человеческого интеллекта с целью выживания человека; в (2) — как детерминация “чистого” (математического) знания a priori “праксисом”. Сходство (1) и (2) проявляется в том, что область чистого a priori обуславливается внешними, по отношению к процессу познания, факторами (хотя в случае (2) это выражено не так явно). Отличительной особенностью же концепции динамического априоризма является нацеленность на выявление “внутренних” (само)детерминант развития априорного, что безусловно роднит ее с (диалектическим) подходом Гегеля. В этом смысле развиваемый А.И. Белоусовым подход (на мой взгляд) однотипен с концепцией динамического априоризма (и отличен, как тип, от концепций (1) и (2)).

Поэтому тем более важно (для уточнения методологических оснований предложенной мной концепции динамического априоризма) показать различие между гегелевской диалектикой (в интерпретации А.И. Белоусова) и используемой мной, восходящий к Ж. Делезу и Фр. Гваттари [см. их совместную работу “Что такое философия?”], методологией, которую я обозначил как концептуальный анализ.

Остановимся на этом подробнее. М. Мамардашвили как-то заметил, что у Гегеля “слишком много мышления, но мало мысли”, т.е. его гипертрофированный “схематизм” (диалектическое снятие, опосредование etc) подчас подменяет собой конкретный анализ (“логика” подчиняет “историю”). Несколько смягчая эту характеристику, можно сказать, что Гегелем представлен самый жесткий — монистический — вариант диалектики, исключающий всякий плюрализм (само)развития понятийных схем. В противовес этому концептуальный анализ, нацеленный на выявление смысловых “составляющих” тех или философских понятий (концептов — у Делеза), никаких изначальных схем их (само)развития не предполагает. Для иллюстрации этого различия возьмем характерный пример гегелевского “моноциклического” схематизма (= “одномерный моноцикл”) из статьи А.И. Белоусова “Бытие à Ничто à Бытие à Ничто à …”, который, в рамках концептуального анализа, можно заменить на ветвящуюся квазицикличную последовательность (бесконечно ветвящееся дерево):

============== ä Бытие_{11 à} Ничто_{110 à} …

====== ä Ничто_{1 à} Бытие_{10 à} Ничто_{100 à} …

Бытие₀ à Ничто_{0 à} Бытие₀₁ à Ничто₀₁₀ à …

====== æ Ничто_{2 à} Бытие_{20 à} Ничто_{200 à} …

============== æ Бытие_{22 à} Ничто_{220 à} …

Я думаю, что дело здесь заключается в том, что так же, как под математикой надо понимать (как это показано в моем тексте) гетерогенный комплекс связанный узами “семейного сходства” различных математических практик, так и под диалектикой в истории мысли понимаются достаточно разнородные мыслительные практики. В качестве общего — “родового” — имени подобных мыслепрактик работы с абстрактными сущностями может быть выбрано название “концептуальный анализ” (ср. с (общим) понятием “игры” у Витгенштейна при обсуждении им концепции “семейного сходства”). Суть этих практик — анализ смыслов, содержащихся в “узлах” той или иной понятийной конструкции; установление “сетки” сходств и различий между ними; и выявление “смысловых траекторий” (или переходов) в сформированном мыслителем понятийно-смысловом универсуме. Вот как об этой специфике философской (методологической) работы — как о различии между “физическим” и “диалектическим” подходами к анализу явлений — говорит Аристотель:

“Однако рассуждающий о природе и диалектик по-разному определили [такое] состояние души [как] гнев. А именно: диалектик определил бы гнев как стремление отомстить за оскорбление или что-нибудь в этом роде; рассуждающий же о природе — как кипение крови или жара около сердца. Последний приводит в объяснение материю, первый — форму и сущность, выраженную в определении (logos). Ведь сущность вещи, выраженная в определении, есть ее форма, и если вещь имеется, то форма необходимо должна находиться в определенной материи; например, сущность дома, выраженная в определении, такова: дом есть укрытие, защищающее от разрушительных действий ветров, дождей и жары; другой же скажет, что дом состоит из камней, кирпичей и бревен… Рассуждающий же о природе изучает все виды деятельности и состояния такого-то тела и такой-то материи…; свойства же, которые хотя и неотделимы от тела, но, поскольку они не состояния определенного тела и берутся отвлеченно от тела, изучает математик; отделенное же от всего телесного как таковое изучает тот, кто занимается первой философией” (“О душе”, 403a25 — 403b15).

Однако (видимо) первый в истории мысли яркий пример концептуального анализа (или “диалектики”) мы находим у Платона, когда в самом начале диалога “Парменид” платоновский Сократ диалектически опровергает рассуждение представителя элейской школы, которые первыми стали “работать” с (философскими) абстракциями высокого уровня (в отличие от натурфилософии милетской школы, которая, согласно гегелевской характеристике, имела дело с не с чистой мыслью (мыслью как таковой), а с чувственно-всеобщим). Речь идет об “изобретении” Платоном кажущейся сегодня тривиальной и само собой разумеющейся грамматической конструкции: “с одной стороны…, с другой стороны…”, составляющей суть любой диалектической мыслепрактики (и в частности, диалектики различия — см. ниже). Например, монета, с одной стороны, — орел, а, с другой стороны, — решка (не-орел) — и в этом нет никакого противоречия (ср. с рассуждением Сократа в “Пармениде”: мир подобен и неподобен, но это не делает его противоречивым-невозможным, т.к. мир подобен с одной стороны (в одном отношении), а неподобен с другой стороны (в другом отношении)). Наш пример — рассуждение о монете — показывает, как философская мысль “сталкивается” с противоречием и “преодолевает” его, поскольку это “противоречие” — мнимое, и связано лишь с неспособностью рассуждающего (об умопостигаемом) четко фиксировать (“держать”!) ракурс текущего анализа, а при необходимости изменять ракурс анализа при переходе к следующему умозрительному рассуждению (заметим, в скобках, что подобная методологическая ошибка совершается в известном парадоксе Б. Рассела, когда в одном рассуждении “смешиваются” разные ракурсы рассмотрения, что и приводит, в конечном итоге, к видимости парадокса; см. об этом подробнее в моем тексте “О парадоксе Рассела” — http://www.philosophy.ru/library/ksl/paradox1.html).

В истории мысли можно выделить несколько подходов к “работе” в области умопостигаемого, или несколько “разновидностей” диалектики (формат данного сообщения не позволяет дать более полную и точную классификацию, поэтому ограничусь грубым и кратким наброском). Во-первых, это диалектика Платона и Аристотеля, которая может быть названа диалектикой различия. Суть этого типа диалектики в выявлении различий и взаимосвязей между различными концептами с целью создания некоторой “непротиворечивой” концептуальной системы, пригодной для описания той или иной области реальности (или (в предельном случае) — мира в целом). Во-вторых, это диалектика тождества, или диалектика совпадения противоположностей, представленная Н. Кузанским (см., например его знаменитое отождествление абсолютного минимума и абсолютного максимума), суть которой заключается в установлении, по возможности, всеобъемлющей системы отождествлений (подобий) , за счет чего предпринимается попытка построить пантеистическую — единообразную — картину мира (сотворенного единым Богом по единому плану и единообразно). В-третьих, это диалектика противоречия Гегеля, в рамках которой — за счет “смысловой конденсации” — общее (обширное) концептуальное поле “преобразуется” в дискретный небольшой набор (противоположных) концептов и вводится “логика” взаимосвязей понятий следующего вида (гегелевская диалектика в узком смысле): выбирается единое основание, а переход от понятия к понятию осуществляется по схеме триадичной спирали (моноцикла — у А. Белоусова) “тезис — антитезис — синтез”. При этом акцент анализа смещается в сторону противоречия, т.к. как именно оно и выступает “механизмом” перехода от одного концепта (как тезиса) к другому (как антитезису). Наконец, это собственно концептуальный анализ Ж. Делеза — Фр. Гваттари — М. Фуко (концептуальный анализ в узком смысле; ср. “логикой смысла” Ж. Делеза и/или “сериальным” подходом М. Фуко), который в определенном смысле является обогащенной диалектикой различия Платона — Аристотеля. В данном случае перед исследователем находится множество разнородных концептов (сформированных в разных философских системах), каждый из которых представляет сложное (смысловое) образование каких-то начальных “смысловых единиц”. Изменяя исходный набор и/или добавляя в него собственные оригинальные компоненты можно осуществлять “диалектический” переход от одного концепта к другому. Тем самым выстраиваются определенные “серии” концептов, которые не обязательно образуют гегелевскую триаду и/или сводимы к одному исходному концепту (в этом случае изображенное на схеме дерево превращается в ризому с начальными Бытие₀₁, Бытие₀₂₁, Бытие₀₃…).

Собственно именно концептуальный анализ этого рода с целью выявления основных “смысловых” составляющих и был применен мной при анализе концепта “a priori” (его результаты представлены во второй части моей статьи).

Что же касается упомянутой в комментарии необходимости разработки (гегелевской) категории противоречия, то в данном случае мне представляется методологически оправданным более “мягкий” аристотелевский подход (диалектика различия vs. диалектика противоречия), при котором выделяются несколько видов противолежания: противоречащее одно другому, соотнесенное, противоположное, лишенность и обладание (здесь противоречие выступает как самый сильный вид противолежания). К сожалению, последующая философская мысль — гегелевская диалектика не является здесь исключением, а скорее служит наиболее ярким примером — свела все это многообразие противолежаний лишь в одну предельную категорию противоречия, тем самым существенно ограничила возможности своего методологического анализа (конечно, в гегелевской диалектике фигурирует промежуточная категория “различие”, но она выполняет явно вспомогательную роль как бы неразвитого противоречия). Эта же редукция проявляется и в кантовской абсолютизации противопоставления априорного — апостеорного, в то время как на самом деле “существует” как бы целый спектр промежуточных концептуально-смысловых “сущностей”, обладающий разной “степенью априорного”, что в своей статье я попытался выразить концептуально как эпистемологический гилеоморфизм. Точно так же нельзя абсолютизировать и категорию противоречия: ее надо заменить целым “спектром” аристотелевских противолежаний. Сошлюсь в этой связи одну интересную мысль—аналогию Ю.А. Ротенфельда: “Ситуацию в философии (Ю. Ротенфельд размышляет о редуцировании разных видов противолежания к противоположности — К.С.) можно сравнить с вымышленной ситуацией в арифметике, если ее понятийный аппарат — натуральный ряд чисел: один, два, три, четыре... заменить одним словом “количество” (см. его сообщение на форуме “Как возможна метафизика?”; http://www.fido7.net/cgi-bin/forumm.fpl?user=philos&num=35).

С.Л. Катречко: Следует заметить, что историческое сопоставление арифметики (алгебры) как “верхнего” — более априорного — этажа математического знания с метафизикой, а чувственноподобной геометрии, как “нижнего” этажа математического знания, — с физикой проводится мной отнюдь не на базе (онтологического) различения “непрерывность vs. дискретность”, а на (гносеологической) основе различения познавательных способностей. Геометрические объекты существуют “пространственно” и необходимое для оперирования с ними созерцание, осуществляется “незаконорожденным умозаключением” (Платон), или воображением (если воспользоваться кантовским разделением познавательных способностей). В частности, обязательным элементом геометрических доказательств являются чертеж и (пространственные) построения. В то время как арифметико-алгебраические “числа” являются более абстрактными, не обязательно (пространственно)созерцательными, объектами, и постигаются с помощью более интеллигебельной познавательной способности — рассудком (или низшей частью ума — дианойей, если воспользоваться античным (платоновским) анализом). Вполне допустимо, что в современной математике соотношение между арифметикой и геометрией не такое однозначное, т.к. отдельные разделы геометрии (например, топологии) по степени абстрактности (т.е. “степени” априорности в моей интерпретации) ни в чем не уступают арифметике или алгебре. Более того, с появлением теории категорий, именно “геометрический” (топологический) подход становится реальной альтернативой “арифметическому” — теоретико-множественному — подходу, что (в рамках предложенного мной анализа) является не “регрессом” априоризма современной математики, а лишь сменой типа априорности математического знания (видимо, при общем повышении степени ее абстрактности — априорности). Но методологически проводимое мной различение между “нижними” (более эмпиристскими) и “верхними” (более абстрактными) разделами не потеряло свое значение и в настоящее время.

С.Л. Катречко: В рамках своей статьи (предложенного в ней подхода) я выявиk основные концептуальные “составляющие” понятия “априорного”. В частности, налицо очень устойчивая на протяжении истории философии связь между понятиями “априорное” и “абстрактное”. Поэтому “степень априорности” можно трактовать как “степень абстрактности”. И, следовательно, более “верхние” — абстрактные! — этажи математического знания являются (согласно предложенному мной пониманию) более априорными как бы по определению. Но я отчасти согласен со своим оппонентом в том, что “взаимосвязь” между разными этажами и ветвями математического знания не является однозначно-линейной, а осуществляется по многим “осям” методологического анализа. Именно поэтому в своей концепции динамического априоризма — эпистемологического гилеоморфизма, которая является ядром моего подхода, я выделяю разные типы априорного. К сожалению, полной структурной классификации типов априорного пока разработать не удалось (в статье представлена лишь предварительная историческая классификация), однако можно предположить (для меня это очевидно), что в таком разнородном комплексе, каким является математика, сосуществуют разные типы априорности, как впрочем и разные типы эмпиричности.

А.Ф. Кудряшов: “…Следует согласиться с тезисом о мифологизации абсолютного противопоставления априорного и апостериорного, но вот о чем стоит подумать дополнительно: правда ли, что это противопоставление значимо “для анализа простых познавательных практик” и “на начальных этапах анализа”. На самом деле “простое” и “начальное” в данном случае выглядят как “весьма сложное” и даже “итоговое””.

С.Л. Катречко: Не совсем понятна модальность этого отрывка: видимо, это не столько замечание, сколько пожелание и “подсказка” направления дальнейшего развития концепции, из чего я и буду исходить в своем ответе. В своем анализе я не останавливался подробно на анализе “простых познавательных практик”, к которым в области математики можно отнести, например, “чертежные” доказательства в планиметрии. [Заметим, что анализ Канта ограничивается как правило (!) именно такими простейшими практиками.] Здесь очень четко можно выделить “априорную составляющую” в виде пространства, необходимого для построения чертежей. В более сложных случаях такое “черно-белое” различение вряд ли возможно. Интенция моего утверждения о “снятии” мифа абсолютного противопоставления априорного — апостеорного направлена на то, что в ходе реального философско-методологического анализа математической деятельности (чем, собственно Кант не занимался, т.к. он сформулировал общую схему познавательного процесса) надо отказаться от этой упрощенной догмы абсолютного противопоставления и подойти к анализу математической практики более гибко, выявляя (1) разные типы априорности (соответственно, эмпиричности); (2) другие “глубинные “основания” анализируемой теории, например, полуаприорные основания, или так называемые относительное a priori, к которым могут быть отнесены, например, аксиоматика или неявные постулаты соответствующей теории. Собственно именно по этому пути и развивается современная методология науки, которая в лице Т. Куна, И. Лакатоса, В. Степина, М. Розова (ограничусь только наиболее крупными фигурами) подобный анализ осуществляет. Однако здесь есть одно “но”. Разработанная методология хорошо применима к анализу естественнонаучного знания (“физике” — в нашей терминологии), а математика занимает промежуточное — между “физикой” и “метафизикой” — положение (собственно, анализу этой специфике и посвящен наш сборник). Поэтому и методология исследования математической деятельности должна эту специфику учитывать. Мне кажется, что крайне важным здесь является привлечение результатов структуралистской и постструктуралистской мысли (Леви-Строс, (особенно) Фуко, Делез, Деррида), анализ которых был направлен на выявление “структур” гуманитарного знания. В этом смысле безусловно интересна попытка Н. Бурбаки представить математику как работу с “математическими структурами”, которая имеет мощный эвристический методологический потенциал.

1. Мне кажется, что проблема статуса математики, поставленная в комментарии П.С. Куслия, является центральной проблемой всей философии математики. Ранее я обосновал тезис о том, что философия является “пограничным” феноменом между Наукой и Искусством, Наукой и Мифом, Наукой и Религией [см. мою статью “Философия как пограничный феномен” — http://www.philosophy.ru/library/ksl/katr_016.html]. Если же мы сузим область методологического анализа до сферы научного знания (= “физики”), то там такое же пограничное положение занимает математика. Об этом свидетельствует, прежде всего, аподиктический характер ее знания (что, собственно, и является посылом и предметом обсуждения данного сборника). В этом смысле она занимает не только промежуточное положение между “физикой” и “метафизикой”, но и между естественными и гуманитарными науками. Поэтому провозглашенный в комментарии гуманитарный подход к анализу математического знания вполне оправдан, так как он является серьезной альтернативой физикалистской методологической парадигме исследования математической деятельности (“физико-математический комплекс” vs. “математико-гуманитарный комплекс”). Однако здесь меня смущает одно “но”, а именно: уже отмеченный аподиктический характер математического знания, который для краткости выражу известным риторическим полувопросом А. Эйнштейна (высказанным им в беседе с Р. Тагором; см.: А. Эйнштейн Природа реальности //Его же. Сочинения, т. 4, с.130—133)): “Теорема Пифагора в геометрии устанавливает нечто приблизительно верное, независимо от существования человека”. Т.е. математическое знания — в отличие от любого другого знания, будь то знание естественнонаучное или гуманитарное — претендует на статус знания сверх-человеческого, знания независимого от существования человеческого разума. А это значит, что замена физикалистской методологии на гуманитарную положения не спасает. На мой взгляд, автор комментария не учитывает одного тонкого (точнее, двух) различия и, вследствие этого, допускает, если не категориальную ошибку, то методологическую неточность. Различие это касается статуса математического знания, которое, с одной стороны, необходимо отличать от истории математики (которая, очевидно, является гуманитарной дисциплиной и может (должна) исследоваться с помощью гуманитарной методологии, но ведь предмет нашего анализа — не история математики, а она сама!), а, с другой стороны, — от математической деятельности (“область математических практик” — П.С. Куслий). Именно это последнее различие (не учитываемое автором комментария) между математическим знанием (как результатом математической деятельности), в которой эта деятельность как бы “угасла”, и математической — человеческой — практикой не позволяет применить к анализу математическому знания методологию гуманитарных дисциплин. Вернее, такой — гуманитарный — анализ, если и возможен, то должен быть ограничен в основном областью математической деятельности (см. подробнее об этом ниже).

Различив математическое знание и математическую практику, можно поставить вопрос о выборе адекватной методологии исследования. Что касается анализа математической деятельности, то, на мой взгляд, вопрос о приемлемости методологии гуманитарных дисциплин требует тщательной проработки. Исходить при этом из тривиального положения о том, что математика является проявлением человеческой — гуманитарной — деятельности, слишком общо и может служит только начальным пунктом анализа специфики математической деятельности в ее отличие от других типов познавательной активности человека. Если же принять во внимание высказанный выше тезис о пограничном статусе математики, то прямой перенос гуманитарной методологии на область математики вообще невозможен. Математика как специфическая деятельность, связанная с особым типом конструирования своих (математических) объектов (несколько подробнее об этом см. в моем ответе на комментарий А.И. Белоусова) и имеющая аподиктический статус своих положений, требует особой методологии, отличной как от методологии естественных, так и от методологии гуманитарных наук. [Видимо, более всего в разработке такой методологии продвинулся И. Лакатос в своей ранней работе “Доказательства и опровержения”, которая, однако, не получила у него дальнейшего развития.]

Главное из них заключается в том, что современное математическое знание является вполне формализованным логико — математико — метаматематическим комплексом. Т.е., с одной стороны, можно говорить о слиянии в ХХ в. в единый комплекс логики и математики, где логика является фундаментом более богатого математического знания [заметим, что еще в конце XIX в. логика (особенно в лице традиционной, аристотелевской, силлогистики) и математика рассматривались как вполне самостоятельные и непересекающиеся дисциплины]. А, с другой стороны, можно говорить, в основном благодаря деятельности Д. Гильберта и его последователей, о появлении в составе математики “верхнего” этажа — метаматематики, что можно рассматривать как верхнее “обрамление” математики логикой. Сам выбор мной такого трехчастного названия для современного математического комплекса указывает на его структурированность (иерархичность). Более того, математическое знание, в отличие от другого знания, является самым структурированным типом знания [мой контр—тезис]. Структурность математического знания хорошо выявлена в работах Н. Бурбаки, которые представили достаточно стройную иерархию математического знания [см. серию их работ под общим названием “Начала математики”; особенно первый том серии “Теория множеств”]. Несколько конкретизируя подход Бурбаки (и не включая сюда метаматематику), эту иерархию (в ее основу положен критерий возрастания выразительных возможностей языка) можно представить следующей схемой:

1. Исчисление высказываний: введение символов логических связок &, V, ¬, Þ
2. Исчисление предикатов первого порядка: введение кванторов $ , "

2.1. Монадическая (предикатная) логика (силлогистика)

=====================================

2.2. Диадическая (предикатная) логика (теорема Черча-Россера)

3. Эгалитарные теории, или исчисления предикатов с равенством (могут строиться, начиная с уровня 2.1)

Х4Х. Исчисление предикатов 2-ого порядка

== B. Математический язык ==

4. Теоретико-множественный язык: введение основной теоретико-множественной операции — операции принадлежности элемента множеству (Î )

== C. Пред-математика (уровень математических теорий) ==

5. Арифметика (может строиться с уровня, следующего за уровнем 2.2.): примитивно-рекурсивные операции (“следование за”, “сложение”, “умножение”), метод математической индукции (теоремы Геделя; теорема Тарского о невыразимости истины)
6. [Аксиоматическая] теория множеств:

6.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

6.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

6.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

7. “Наивная” теория множеств (парадоксы Рассела, Бурали-Форти, Кантора)

Х5Х. Второпорядковая арифметика (математический анализ)

8. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка [см. работу Н. Бурбаки “Архитектура математики”]
9. Сложные математические структуры: как комбинация основных структур

== D. (собственно) МАТЕМАТИКА (Математические теории) ==

Суть математической деятельности составляет работа с ЧИСЛОМ. Однако вопрос об онтологическом статусе ЧИСЛА до сих пор остается открытым. Как правило большинство исследователей ограничиваются, восходящим к пифагоро-платоновской традиции, утверждением о том, что ЧИСЛО есть особый тип абстракции, занимающий промежуточное положение между физическими объектами и метафизическими сущностями, т.е. математика занимается абстракциями второго порядка (в то время как другие науки — как на экспериментальном, так и на теоретическом уровне — “работают” с абстракциями первого порядка; это необходимо для формулировки любой — даже экспериментальной — закономерности). Зародившийся в Новое время и вполне оформившийся к концу XIX в. классический идеал научного знания был основан на очень устойчивом “сцеплении” физики и математики в качестве единого комплекса [заметим, что “отголоски” этого “сцепления” сохранились у нас и сейчас, когда (1) присваиваются научные степени кандидата и доктора физико-математических наук; (2) создаются и существуют не чисто математические, а физико-математические или механико-математические факультеты университетов]. В рамках этого комплекса ЧИСЛО конституируется в своей измерительной функции, т.е. как средство (единица) измерения той или иной физической величины. Это подтверждается тем, что, с одной стороны, в физических законах числа фигурируют как количественные коэффициенты, имеющие ту или иную физическую — “качественную” — размерность; а, с другой стороны, признаются только те числа, которые имеют внятную физическую интерпретацию. Тем самым ЧИСЛО является количественной характеристикой качественных явлений, т.е. мыслится не как чисто количественная характеристика, а в своей физической ипостаси как количественно-качественная характеристика реально существующих (физических) явлений. Таким образом, онтологически ЧИСЛО выступает как бытийная ЕДИНИЦА, это — (из)мерное количество, или измерительное число, имеющая математико-физическую природу. Наиболее характерным проявлением такого понимания числа является натуральный числовой ряд, “обогащенный” промежуточными числовыми сущностями (что принципиально не изменяет данного концепта числа как измерительной сущности).

В работах Кантора — Фреге происходит существенное переосмысление онтологического статуса основных математических концептов и, прежде всего, концепта числа. В основу математики кладется число в своей чистоте (число как таковое), которое полностью освобождается от своей измерительной функции в рамках своей физической — “качественной” — ипостаси, а функционирует как средство счета (пересчета). Конечно, это функция числа не является чем-то принципиально новым, просто раньше счетная составляющая числа занимала подчиненное положение в составе общей измерительно-счетной функции, а теперь она освобождается и конституируется в качестве собственной функции. Теперь (новое) ЧИСЛО^** — средство счета как таковое — выступает как средство пересчета однородно-равных — в силу утраты их качественных различий — абстрактных объектов, т.е. абстракций второго уровня, а не только как средство счета-измерения абстракций первого порядка — качественно различных вещей (измерение является частным случаем пересчета!). У Фреге (Кантора) число^** служит для “измерения” — счета, сравнения, упорядочивания… — сущностей второго порядка: (объемов) понятий (у Фреге) и (мощностей) множеств (у Кантора). Т.е. (новое) канторо-фрегевское число (= “число^**”) полностью освобождается от своей качественной — “физической” — составляющей (зависимости) и выступает как чистое количество. Другими словами, Кантор и Фреге предложили принципиально новый концепт ЧИСЛА — счетное число, которое по отношению к концепту измерительного числа выступает как (мета)число второго порядка.

Наиболее ярким выражением этого переосмысления статуса ЧИСЛА является “включение” в числовой ряд нуля, который до этого воспринимался как некий вспомогательный элемент (“языковая фикция” по Д. Гильберту), служащий для обеспечения функциональной полноты арифметических операций, но собственного (самостоятельного) “физического” статуса (т.е. собственной содержательной “позитивной” интерпретации) не имел. Примечательно что в своей работе [1] Фреге первоначально обсуждает статус “нуля” на чисто философском (онтологическом) уровне. Так он сопоставляет математической “единице” метафизическое “Бытие”, а математическому “нулю” — “Ничто” (небытие, отрицание бытия): “ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицания числа ноль” [1; стр. 80]. Например, фраза “Сократ есть” может быть интерпретирована (переформулирована) по Фреге как “(один) Сократ есть”, а фраза “Сократ не существует (нет)” — как “(ноль) Сократа (есть)”. “Ноль” получает свой онтологический статус в качестве “счетной меры” несуществующих (= небытийных) абстрактных сущностей, например “пустых” понятий типа “круглого квадрата” (или “счетности” пустых множеств у Кантора). А новое ЧИСЛО^** является концептуальным “расширением” прежнего ЧИСЛА (как бытийной “единицы”) за счет включения его состав получившего онтологический статус ничтойного “нуля”.

С точки зрения концептуального анализа “расцепление” измерительной и счетной функции чисел приводит к тому, что (единый) концепт “единицы” распадается на два самостоятельных концепта: “один” и “первый”, — поскольку теперь (измерительная) “единица” (“один” как первый член натурального ряда, который предназначен для измерения-счета качественно-различных существующих — натурально — вещей) не совпадает с (счетной) “единицей”: в счетном ряду чисел первым оказывается ничтойный (не-бытийный) “нуль”, а бытийная “единица” занимает лишь второе место. На грамматическом (языковом) уровне это проявляется в более четком различении функций числительных: количественные числительные “один”, “два”… (которые могут функционировать в качестве существительных, например в немецком языке могут употребляться с определенным артиклем der Eins), служащие для выражения количественных (измерительных) чисел, теперь строго отличены от порядковых числительных “первый”, “второй”…, с помощью которых выражается счетная функцию чисел.

Полноправное введение в (счетный) числовой ряд ничтойного “нуля” резко повышает требования к строгости математического рассуждения, поскольку работать со “смешанным” универсумом, в котором есть не только “бытие”, но и “ничто” гораздо труднее. Так, например, в [2; стр. 271] Фреге замечает, что неправомерным будет замена предложения “Здесь нет ничего, кроме Луны” (в данном случае выражается мысль о наличии ровно одного предмета) на предложение “Здесь есть Луна и НИЧЕГО [= Ничто — “Nichts” (нем.)]” (в данном случае количество называемых “предметов” возрастает до двух), или, если продолжить мысль Фреге, то “1” нельзя без специальных оговорок отождествлять с “суммой” “1 + 0” (или с “суммой” “1 + 0 + 0 +…”, где “единице” приписывается (бесконечный) “нулевой” довесок) . В частности, именно путем такого более тщательного и строгого лингвистического (концептуального) анализа Фреге предлагает разрешить парадокс, обнаруженный им в работах Э. Шредера (заметим, что по своей “структуре” выявленный Фреге шредеровский парадокс является аналогом расселовского парадокса, который Фреге сумел “разрешить”!).

Понятно, что счетный “нуль” заключает в себе (при неточном с ним обращении; при неразличении измерительного “одного” и счетной “единицы”) потенциальную парадоксальность, т.к. “нуль”, с одной стороны, является 0 как “количественная мера” измерительного ряда чисел, а, с другой, стороны, он (уже как “нуль^**”) “равен” 1^**, т.к. является первым элементом в счетном числовом ряду, т.е. появляется якобы “противоречие” 0 = 1^**. Поэтому не случайно эта потенциальная парадоксальность, содержащаяся в концепте “числа” Кантора — Фреге, привела к появлению (реальных) парадоксов, прежде всего парадоксов расселовского типа . Первая реакция математического сообщества на обнаруженные парадоксы (причем, в их числе оказались и сами создатели новой концепции числа) можно трактовать либо как “испуг”, или, если воспользоваться терминологией Лакатоса из уже упомянутой выше работы “Доказательство и опровержения”, как (заведомо избыточное) “отступление в безопасную область” (см. различение консистентных и неконсистентных множеств у Кантора; различение класса и множества и создание теории типов у Рассела), — либо как полное неприятие концепции “чистых чисел”, т.е. “полное отступление назад” (например, у интуиционистов). Позже, к середине ХХ в., ситуация изменилась, т.к. математики преодолели первоначальный “испуг” и научились более аккуратно работать с “новыми числами”: были предложены аксиоматические уточнения “наивной” теории множеств. Теория множеств превратилась в “фундамент” здания математического знания, а теоретико-множественный язык — в базовый язык математических рассуждений. Однако одна из наиболее острых проблем современной математики — проблема (возможной) парадоксальности теории множеств была все же не столько решена, сколько “отодвинута” в сторону. Поэтому дальнейшее уточнение концептуальных основ “новых чисел”, предложенных Г. Кантором и Г. Фреге, (в том числе, и для полноценного разрешения проблемы (не)парадоксальности теории множеств) — одна из насущных задач, стоящих перед математикой и философией математики ХХI в.