Логика

После этого краткого наброска основных идей интуиционистской математики я перейду к ее отношениям с логикой, философией и языком. Слово «логика» используется для обозначения различных понятий; соответственно, логический закон допускает различные интерпретации.

Рассмотрим силлогизм

1. Сократ — человек.
2. Каждый человек смертен.
3. Сократ смертен.

I.

Его можно рассматривать как правило языка

1. $A$ есть $B$
2. Каждое $B$ есть $C$
3. $A$ есть $C$

Если я согласен с (1) и (2), можно ожидать, что я согласен и с (3).

II.

Его можно рассматривать как высказывание о мире: если (1) истинно, и (2) истинно, тогда (3) истинно.

III.

Его можно рассматривать как математическую теорему. Если сущность $A$ принадлежит виду $B$, и $B$ часть $C$, то $A$ принадлежит $C$.

$$\frac{A \in B \quad B \subset C}{A \in C}$$

Ясно, что ни одна из этих интерпретаций не может использоваться для целей оснований математики. Напротив, каждая из них предполагает математику. I и II относятся к прикладной математике, так как теория языка, как и любая теория, говорящая о реальном мире, есть прикладная математика. III, очевидно, теорема теории множеств, каковая сама является весьма продвинутой частью математики.

В более общем плане, логику можно рассматривать как часть лингвистики или как философскую теорию о мире; в обоих случаях она относится к прикладной математике. В чистой математике только третья интерпретация заслуживает обсуждений. Логические теоремы суть математические. Логика не является основанием математики, напротив, она часть математики, концептуально сложная и запутанная.

Если математика состоит в умственных построениях, то каждое математическое суждение должно быть утверждением об умственных построениях. Точнее: каждое математическое суждение имеет вид: «выполнено построение со следующими свойствами: ...» В логике мы имеем дело со случаем, когда конструкция построена из более простых с помощью логических констант. Я уже сказал про интерпретацию логических констант, но будет полезно сделать несколько дополнительных замечаний. С конъюнкцией сложностей не возникает. Что касается дизъюнкции, мы можем утверждать $A \lor B$, если мы выполнили одно из построений $A$ или $B$; но будьте осторожны, бессмысленно говорить, что я выполнил построение $A$ или $B$, не зная, какое именно из двух. Когда я могу утверждать $A \lor B$, я всегда могу или утверждать $A$, или утверждать $B$, или и то и другое. Импликация интерпретируется так: я могу утверждать $A \to B$, если я могу преобразовать любое доказательство $A$ в доказательство $B$. Другими словами, я должен владеть общим методом построения, который, примененный к доказательству $A$, дает доказательство $B$.

Я уже сказал о сведении отрицания к базовому понятию противоречия.

Выполняется ли закон исключенного третьего $A \lor \lnot A$ при такой интерпретации? Когда мы утверждаем его, это означает, что для любого суждения $A$ мы можем или доказать $A$ или вывести противоречие из предполагаемого доказательства $A$. Очевидно, что мы не в состоянии сделать это для каждого суждения $A$, так что закон исключенного третьего не может быть доказан. Если мы не знаем, истинно $A$ или нет, будет лучше, если мы не будем ничего утверждать о нем.

Была предложена более слабая интерпретация $A \lor B$, а именно: $A$ и $B$ не могут быть одновременно ложны. Тогда $A \lor B$ означало бы то же самое, что и $\lnot(\lnot A \land \lnot B)$. Для такой интерпретации закон исключенного третьего принимает вид $\lnot (\lnot A \land \lnot \lnot A)$ — частный случай закона противоречия. Хотя эта интерпретация и разумна, против нее есть серьезные возражения. Я уже упомянул, что отрицания нужно по возможности избегать. Существенно, что для каждого алгебраического числа можно решить, является ли оно рациональным или нет; без сильной дизъюнкции это свойство невозможно выразить. Слабая интерпретация $\lnot (\lnot A \land \lnot \lnot A)$ дает только тот тривиальный результат, что алгебраическое число не может быть одновременно иррациональным и не иррациональным. Интуиционистская логика дает возможность проводить более тонкие различия, которые классическая двузначная логика неспособна выразить.

Интерпретация квантора существования аналогична интерпретации дизъюнкции. Я могу утверждать $\exists x A(x)$, если я построил элемент $x$ и доказал, что для него выполнено $A(x)$. Слабой интерпретацией могло бы быть $\lnot \forall x \lnot A(x)$, но два этих понятия отличаются, и сильное существование намного важнее. У нас уже были пример: цифра $X$ встречается бесконечно много раз в десятичной записи $\pi$. Для этого утверждения $A(x)$ легко доказать $\lnot \forall x \lnot A(x)$, но мы не способны доказать $\exists x A(x)$, так как, если $a$ произвольная цифра, пока возможно $\lnot A(a)$.

Я не буду приводить много примеров такого рода, но я должен сказать несколько слов об их значении, так как существует неправильное представление, что они составляют существенную часть интуиционистской математики. Их роль такова же, как роль сходных примеров в классической математике. Скажем, пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема, полезен для предупреждения ошибок, но он не образует существенную часть анализа.

Ясно, что квантор всеобщности можно использовать только с переменной, пробегающей некоторый вид.

Теорема может выполняться для каждого натурального числа, для каждого действительного числа, для каждого вида натуральных чисел и т. д., но не для всего. Интересен случай переменной, пробегающей поток, так как элемент $x$ потока $S$ является последовательностью выбора, так что, когда $A(x)$ выполняется для каждого элемента $x$ из $S$, это должно стать известным для каждого $x$ после того, как выбран конечный участок $x$. Другими словами, утверждение $\forall x A(x)$, где $x$ пробегает поток, является очень сильным.