Альфред Тарский

О ПОНЯТИИ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ

 Понятие логического следования принадлежит к категории техпонятий, введение которых в область точных, формальных исследований едва ли было актом окончательного решения со стороны того или иногоисследователя: уточняя содержание этого понятия, его старались приспособить к обыденному, "уже существующему" способу употребления. Эту задачу сопровождали обычные в таких ситуациях трудности:среди других понятий естественного языка понятие следования не выделяется более ясным содержанием либо точно отмеченной областью [использования], его способ употребления не постоянен. Задачу схватывания и согласования всевозможных туманных, часто противоречивых интуитивных восприятий, связанных с этим понятием, следует признать apriori невыполнимой и загодя следует согласиться с тем, что всякое точное определение рассматриваемого понятия будет носить вбольшей или меньшей степени черты произвола.

 Еще сравнительно недавно многим логикам казалось, что имудастся при помощи относительно простого понятийного аппаратапочти точно ухватить бытующее содержание понятия следования, или,пожалуй, определить новое понятие, которое с точки зрения своего охвата совпадет с обыденным понятием. Это мнение возникло на основеновейших достижений методологии дедуктивных наук. Благодаря развитиюматематической логики мы научились в течение последнего десяткалет представлять математические науки в виде формализованных дедуктивных теорий. Как известно, в этих теориях доказательствокаждого утверждения сводится к одно- или многократному применениюнескольких простых правил вывода - таких, как правило отделения или подстановки - правил, которые нас учат, каким операциям сугубо структурного характера (т.е. операциям, связанным исключительно с внутренним строением предложений) следуетподвергнуть аксиомы теории или ранее доказанные утверждения стем, чтобы полученные в результате этих операций предложения можно былотакже считать доказанными. Логики начали предполагать,что эти немногочисленные правила вывода полностью исчерпывают содержание понятия следования: поскольку некоторое предложение следует из других, постольку его удастся из них получить - более илименее сложным путем - при помощи указанных в этих правилах операций. В защиту своей позиции перед скептиками, которые выражалисомнение, действительно ли объем таким образом формализованногопонятия следования перекрывается с обыденным понятием, логикимогли выдвинуть только один весомый аргумент: все те точные рассуждения, проводимые с незапамятных времен на основе математики,им удалось представить по существу в виде формализованных доказательств, находящихся полностью в границах построенных дедуктивныхтеорий.

 Тем не менее уже сегодня мы отдаем себе отчет в том, чтоскептицизм здесь был полностью уместен и что обрисованную вышепозицию не удается сохранить. Уже несколько лет тому я привелпример - впрочем совершенно элементарный - дедуктивной теории,которая демонстрирует следующую особенность: среди аксиом или утверждений этой теории имеются предложения вида

А₀       0 обладает свойством W,

А₁       1 обладает свойством W,

А₂       2 обладает свойством W

и т.д., более общо, все частные предложения вида

А_n       n обладает свойством W,

где "n" замещает произвольный символ, обозначающий некоторое натуральное число в какой-то определенной (например, десятичной)системе нумерации, и несмотря на это общее предложение

А.         Каждое натуральное число обладает свойством W

не удается доказать на основании рассматриваемой теории при помощи обычно используемых правил вывода[1]. Этот факт, по моемумнению, сам по себе свидетельствует о том, что формализованноепонятие следования, которым до сих пор повсеместно пользовалисьпри построении дедуктивных теорий, не перекрывается, по крайнеймере, с обычным понятием - ведь с точки зрения обыденной интуициикажется несомненным, что предложение А следует из совокупностипредложений А₀, А₁,...А_n,...: поскольку все эти предложения истинны, постольку и предложение А должно быть истинным.

 В дальнейшем оказалось возможным сформулировать новые правила вывода, правила, которые своим логическим характером не отличаются от давних, которые также безотказны как давние, т.е. всегда ведут от истинных предложений к иным истинным предложениям,и которые при этом не удается свести к прежним правилам, поскольку они позволяют провести доказательство таких предложений, которых при помощи прежних правил не удавалось доказать. Одно из правил подобного свойства остается в тесной связи с описанным вышепримером: это т.н. правило бесконечной индукции, которое говорит,что если оказываются доказанными все предложения А₀,А₁,...А_n,..., то можно также считать доказанным предложение А(символы " А₀", " А₁" и т.д. используются здесь в том же значении,что и ранее). Это правило существенно отличается от прежнихправил еще и своим "нефинитным" характером: его можно применить внекоторой теории лишь тогда, когда удается доказать бесконечномного предложений этой теории, а ведь такая ситуация на практикеникогда не встречается. Однако этот недостаток посредством некоторого преобразования удается устранить; с этой целью примем вовнимание предложение В, которое выражает то, что все предложенияА₀,А₁,...А_n... удается доказать (но не то, что они фактическидоказаны) при помощи ранее принятых правил вывода, и сформулируемследующее правило (которое однако не является полностью эквивалентно предыдущему правилу): поскольку доказанным оказалось предложение В, постольку можно считать доказанным соответствующее емупредложение А. Здесь мы еще можем встретиться с возражением, чтопредложение В вообще не является одним из предложений теории, которую мы строим, что оно принадлежит к области т.н. метатеории(т.е. науки, предметом исследований которой является данная теория), что потом использование на практике вышеприведенного правила всегда требует перехода от теории к метатеории. Чтобы избавиться от этого возражения ограничимся только теми дедуктивнымитеориями, в которых удается построить арифметику натуральных чисел, и обращаем внимание на то, что в каждой такой теории удаетсяинтерпретировать все понятия соответствующей метатеории (в видувозможности установления взаимно однозначного соответствия междувыражениями языка и натуральными числами)[2]. Следовательно, можнозаменить в рассматриваемом правиле предложение В предложением С,являющимся интерпретацией предложения В в арифметике; таким образом мы приходим к правилу, которое ни с точки зрения условий егоприменения, ни с точки зрения характера появляющихся при его формулировании понятий, ни, наконец, с точки зрения степени его интуитивной безотказности существенно не отличается от ранее используемых правил, но лишь является более сложным, чем они. Более того, таких правил можно привести произвольно много. Действительно, достаточно обратить внимание хотя бы на то, что сформулированное выше правило было существенно зависимо от объема понятия"предложение, которое удается доказать при помощи ранее принятых правил"; принимая эти правила, мы тем самым расширяем объем указанного понятия, а для расширенного объема можно построить новоеаналогичное правило, и так далее без конца. Было бы интересноисследовать, занимают ли до сих пор используемые правила по темли иным объективным причинам какое-либо выделенное, привилегированное положение среди всех возможных правил вывода.

Появляется допущение, что обрисованным выше путем - дополняяиспользуемые при построении дедуктивных теорий правила выводапоследующими правилами структурного характера - наконец удалось бы ухватить "существенное" содержание понятия следования, котороепосредством до сих пор используемых правил едва ли было исчерпано. Основываясь на исследованиях К.Геделя[3], можно показать, чтоэто допущение ошибочно: если абстрагироваться от некоторых теорийс весьма элементарной структурой, то всегда, - как только обогатимарсенал правил вывода - мы сможем построить предложения, которыев обыденном смысле следуют из утверждений рассматриваемой дедуктивной теории и при этом их удается, основываясь на принятых правилах, в этой теории доказать[4]. Чтобы получить адекватное [właściwe] понятие следования, существенно близкое к обыденному понятию, нужнопри его определении выбрать совершенно иные методы, применить загодя отличный понятийный аппарат. Возможно, совершенно не лишне сразу отметить, что в сравнении с адекватным понятием следования старое [понятие], используемое до сих пор повсеместно математическими логиками, не утрачивает, по крайней мере, своей значимости:это понятие, расширенное по возможности при помощи новых правилвывода, пожалуй, всегда будет играть решающую роль в практике построения дедуктивных теорий как инструмент, который позволяетобосновать, или опровергнуть отдельные предложения строящихся теорий; тогда как адекватное понятие следования, кажется, должновыйти на передний план в рассмотрениях общего, теоретического характера.[5]

Первая попытка формулирования точного определения адекватного понятия следования принадлежит Р.Карнапу; однако эта попытка достаточно существенно связана со специфическими свойствамитого формализованного языка, который оказался выбранным в качестве предметаисследования. Определение, предложенное Карнапом, можно сформулировать следующим образом:

Скажем, что предложение X логически следует из класса предложений К тогда и только тогда, когда класс, состоящий из всех предложений класса К и из отрицания предложения X, является противоречивым (kontradyktorycznym).

 Понятно, что [центр] тяжести вышеприведенного определенияпокоится на понятии контрадикторности (противоречивости);определение этого понятия, данное Карнапом, носит, однако, чересчурспециальный и усложненный характер, чтобы его можно было здесьпривести без длинных и достаточно отягощающих подготовительныхрассмотрений[6].

 Я стремлюсь здесь обрисовать некоторый общий метод, позволяющий, как мне кажется, сконструировать формально правильное ипредметно верное [rzeczowo trafną] определение понятия следования для обширной категории формализованных языков. Отмечу, что концепция следования,которую я собираюсь развить, не выдвигает никаких чрезмерныхпретензий на чрезмерную оригинальность: несомненно,ни один логик, рассматривавший понятие логического следования истаравшийся его более полно охарактеризовать, воспримет содержащуюся в ней интуицию как что-то известное и даже свое. Однако у меня возникает чувство, что лишь методы, развиваемые в последние годы приобосновании научной семантики и понятия, которые при помощи этихметодов удалось уточнить, позволяют выразить эту интуицию в точнойформе и не подлежат упрекам[7].

 Исходным пунктом для нас будут определенные рассуждения интуитивного свойства. Примем во внимание произвольный класс предложений К и произвольное предложение X, которое следует из предложений этого класса. С точки зрения естественной интуиции очевидно, что не может случится так, что все предложения класса Кбыли бы истинны, а предложение X при этом было ложным. Посколькуздесь речь идет об отношении логического, т.е. формального следования, а тем самым об отношении, которое должно быть полностьюопределено формой предложений, между которыми оно имеет место, тоследование не может зависеть от нашего знания о внешнем мире, вчастности от нашего знания о предметах, о которых идет речь впредложениях класса К, либо в предложении X. Отношение следования не может быть утеряно в результате того, что имена этих предметов будут заменены врассматриваемых предложениях именами других предметов. Оба этихобстоятельства, которые кажутся чрезвычайно характерными и существенными для понятия следования, находят свое совместное выражениев следующем условии:

(W)       если постоянные термины, не являющиеся общелогическими терминами, мы заменим соответственно в предложениях класса К и в предложении X иными произвольными постоянными терминами (причем постоянные одной формы будем заменять везде постоянными одной же формы) и таким образом получим новый класс предложений К* и новое предложение X*, то предложение X* должно быть истинно, если только все предложения класса К* будут истинными.

 [Для упрощения рассуждений -здесь и в дальнейшем - мы абстрагируемся от некоторых второразрядных усложнений, природы, скорее,технической, связанных, с одной стороны, с теорией логических типов, с другой, с необходимостью предварительного элиминированияуже определенных терминов.]

 Таким образом, мы получили некоторое необходимое условие длятого, чтобы предложение X следовало из предложений класса К; возникает вопрос, является ли одновременно это условие и достаточным.Если бы так было, проблема построения верной [trafnej] дефиниции для понятия следования была бы позитивно решена; единственную трудностьеще мог бы представлять термин "истинный", входящий в условие(W), однако известно, что этот термин удается правильно и верно всемантике определить.[8]

 К сожалению, дело обстоит не так просто. На примерах конкретных формализованных языков нетрудно показать, что несмотря навыполнение условия (W) предложение X не должно следовать, покрайней мере с точки зрения обыденной интуиции, из предложенийкласса К: едва ли это условие может быть не выполнено только вследствие недостаточного запаса постоянных терминов языка, к которому относятся наши рассуждения. Только тогда можно бы считатьусловие (W) достаточным для того, чтобы предложение X формальноследовало из предложений класса К, когда мы предположили бы, чторассматриваемый язык содержит в себе имена всех возможных предметов; однако это фиктивное предположение, его не удается никогдареализовать[9]. Мы вынуждены присмотреться к какому-нибудь способу выражения интенций, содержащихся в условии (W), который не былбы зависим от этого фиктивного предположения.

 Такой способ нам предоставляет семантика. Одним из важнейшихпонятий семантики является понятие выполнения пропозициональной функции отдельными предметами, илиточнее, последовательностью предметов. Было бы излишне выяснять здесь подробнее содержание этого понятия: смысл таких оборотов как <Ян и Петр совместно выполняютусловие: "X и Y суть братья">, либо <тройка чисел 2, 3 и 5 выполняют уравнение "x+y=z"> не вызывает, пожалуй, в ником сомнений.Понятие выполнения - как и прочие семантические понятия - должнобыть всегда релятивизовано к какому-нибудь определенному языку;его точное определение в деталях зависит от строенияязыка, к которому это понятие относится. Однако, существует общийметод, позволяющий конструировать такие определения для обширнойкатегории формализованных языков; к сожалению, обрисовать упомянутый здесь метод хотя бы в самых общих чертах невозможно[10].

 Одним из понятий, которые удается определить при помощи понятия выполнения, является понятие модели. Допустим, что вязыке, который мы рассматриваем, каждой внелогической постояннойсоответствуют некоторые символы переменных и таким образом, чтозаменяя в произвольном предложении постоянную соответствующей переменной, мы преобразуем это предложение в пропозициональнуюфункцию. Далее, примем во внимание класс предложений L и заменимвсе внелогические постоянные, входящие в предложения класса L,соответствующими переменными (постоянные одной формы на переменные одной формы, разных форм на разные формы); мы получимнекоторый класс пропозициональных функций L*. Произвольную последовательность предметов, которые выполняют каждую пропозициональную функцию в классе L*, будем называть моделью класса L (именно вэтом смысле обычно говорится о модели перечня аксиом некой дедуктивной теории); в частности, если класс L состоит только из одногопредложения, то будем просто говорить о модели предложения X.

 Используя понятие модели, сформулируем следующую дефинициюлогического следования:

Скажем, что предложение X логически следует из предложений класса К тогда и только тогда, когда каждая модель класса К является одновременно моделью предложения X.

 У меня складывается впечатление, что каждый, кто поймет содержание вышеприведенного определения, признает, что оно содержитдостаточно интуиции, проявляющейся в обыденном использовании понятия следования. Не менее сильно о верности [trafności] этого определенияговорят различные его следствия. В частности, например, можно доказать на основании принятого определения, что предложение, которое логически следует из истинных предложений, само должно бытьистинным; далее, что отношение логического следования не совсемзависит от смысла внелогических постоянных, входящих в предложения, между которыми это отношение возникает; словом, можно показать, что сформулированное выше условие (W) является необходимымс тем, чтобы предложение X логически следовало из предложенийкласса К. Притом - согласно с позицией, которую мы предварительнозаняли, - это условие вообще-то не является достаточным условием,ибо определенное здесь понятие логического следования независимоот большего или меньшего богатства языка, выбранного предметомисследований.

 Наконец, нетрудно предложенное определение сблизить с ужеизвестным нам определением Карнапа. В сущности условимся называть класспредложений L контрадикторным, если он не обладает ниодной моделью; аналогично класс предложений можно назвать аналитическим, если каждая последовательность является ее моделью,причем оба этих понятия можно применять не только к целым классампредложений, но и к отдельным предложениям. Примем далее, что вязыке, к которому относятся наши рассуждения, для каждого предложения Xсуществует отрицание этого предложения, т.е. такое предложение Y,моделями которого являются все последовательности предметов, неявляющиеся моделями предложения X, и только такие последовательности. На основании этих условий и предположений уже легко установить, что оба приведенных определения следования эквивалентны.Легко также показать, что согласно с интенциями Карнапа аналитическими являются те и только те предложения, которые логически следуют из каждого класса предложений (и, в частности, из пустого класса), тогда как контрадикторными являются те и только тепредложения, из которых логически следуют все предложения данногоязыка[11].

 И все же я не считаю, что благодаря вышеприведенным замечаниям, задача построения правильного и верного определения понятияследования оказалась окончательно решенной; наоборот, по моемумнению, целый ряд проблем остается открытым. На одну из них, возможно наиболее важную, я хочу здесь еще обратить внимание.

 В основе всей нашей конструкции лежит разделение выраженийязыка на логические и внелогические. Это разделение, определенно,не является совершенно произвольным: если бы мы к логическим терминам не относили, например, знаки импликации или квантификаторы,приведенное определение следования могло бы привести к последствиям, явно противоречащим обыденной интуиции. Однако, с другойстороны, я не знаю никаких объективных точек зрения, которые быпозволили провести точную границу между обоими категориями терминов. Наоборот, у меня складывается впечатление, что - не нарушаяявно обыденной интуиции - к логическим терминам можно причислитьи такие термины, которых логики к этой категории обычно не причисляют. Этот случай был бы крайним, когда мы все выражения языкастали бы трактовать как логические: понятие формального следования тотчас перекрылось бы понятием материального следования - предложение X следовало бы из предложений класса К тогда и толькотогда, когда или предложение X было бы истинным, или хотя бы однопредложение класса К было ложным[12].

 Чтобы осознать важность рассматриваемого вопроса с точкизрения определенных философских концепций, следует обратить внимание на то, что разделение терминов на логические и внелогические оказывает существенное влияние на определения и таких терминов как "аналитический" либо "контрадикторный"; а ведь понятиеаналитического предложения в интенции некоторых современных логиков должно быть точным формальным соответствием понятия тавтологии как предложения, "ничего не говорящего о действительноммире", понятия, которое лично мне кажется достаточно туманным икоторое сыграло и играет до сих пор заметную роль в философскихспекуляциях Л.Виттгенштейна и без малого всего Венского кружка[13].

 Очевидно, дальнейшие исследования могут многое прояснить ввопросе, который нас интересует; возможно удастся при помощи каких-нибудь весомых аргументов объективного характера объяснитьначертанную традицией границу между логическими и внелогическимитерминами. Однако лично я не удивился бы и тогда, когда результат этих исследований оказался бы решительно негативным, когда, и что за этим следует, возникла бы необходимость трактовкитаких понятий как логическое следование, аналитическое предложение или тавтология как относительных понятий, которые должны бытьотнесены к какому-то очерченному, но в большей или в меньшей степени произвольному разделению выражений языка на логические ивнелогические; произвольность этого разделения была бы в определенной мере естественным отражением упомянутого непостоянства,которое можно наблюдать при использовании понятия следования вестественном языке.

ЗАМЕЧАНИЯ

 Настоящий реферат был прочитан 16.IX 1935 на заседании Первого Международного Конгресса Научной Философии, который состоялся в Париже в днях 15.IX-23.IX 1935 года.

 Переведено по изданию A.Tarski O pojeciu wynikania logicznego, Przeglad filozoficzny, r.XXXIX (1936) z.I, Warszawa 1936, S.58-68.

 Перевод с польского Б.Т.Домбровского