Катречко С.Л.

Трансцендентальная философия математики (введение) [1]

 

Abstracts. The article contains an original attempt to create a new transcendental mathematics by analogy with the Kant’s transcendental logic. The conceptual basis of the author’s position is the Kant’s transcendentalism and his interpretation of the mathematics as cognition by use of designing notions. The author shows that the Kant’s approach may be understood in the limits of classical Pythagoras-Plato’s tradition when the mathematics was interpreted as an operation of the ideal objects/symbols.

 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

Математика и трансцендентальный метод

Прежде всего, уточним, что мы будем понимать под трансцендентальной философией вообще, и трансцендентальной философией математики в частности. Основной вопрос трансцендентализма звучит так: «Как возможен тот или иной феномен?», а в нашем случае — это вопрос о том, как возможна математика. Уточнение определения трансцендентальной философии можно найти у И. Канта. Во «Введении» к своей «Критике чистого разума» он пишет следующее:

«Я называю трансцендентальным всякое познание, занимающееся не столько предметами, сколько видами нашего познания предметов, поскольку это познание должно быть возможным a priori. Система таких понятий называлась бы трансцендентальной философией» [2, 44][2].

Из первой части определения применительно к нашему случаю следует, что предметом трансцендентальной философии математики выступает анализ такого «вида познания» как математическая деятельность, которая определяется Кантом как «познание посредством конструирования понятий» [2, 423], что предполагает совместную работу рассудка и воображения, т.е. конституирует математику как чувственно–рассудочный вид познания. Вторая часть кантовского определения нацеливает на поиск априорных оснований математического знания, т.е. таких оснований, которые придают математике характер аподиктичности. Как отмечает Кант, «в основе всякой необходимости всегда лежит [система] трансцендентальных условий» [2, 504]. Поэтому нашей задачей выступает выявление связанной системы априорно – трансцендентальных (априорных) условий (понятий) и построение на этой основе категориального базиса математики. Другими словами, речь идет о выявлении онтологических и гносеологических допущений современной математики, что и позволит ответить на вопрос: «Как возможна математика?».

Введенное таким образом общее понимание трансцендентального метода нуждается в некоторых уточнениях. Первое и главное из них связано с общей интенцией кантовского подхода, а именно с его критическим подходом. В нашем случае это преломляется так: необходимо осуществить построение такого онтологического категориального базиса математики, который будет опираться на реальную — гносеологическую — практику математической деятельности, осуществляемую трансцендентальным субъектом. Т.е. это должна быть не какая-то красивая система понятий, а система, соотносимая с реальным опытом математической работы, благодаря чему удастся ограничить разумным образом «выходящую за рамки опыта метафизическую спекуляцию»[3]. При этом Кант существенным образом опирается на понятие трансцендентального субъекта. Это означает, что в нашем анализе мы должны избегать излишнего психологизма (субъективизма) и не ограничивать себя частными случаями описании своего творчества математиками (типа А. Пуанкаре), а выявить универсальную модель математической деятельности.

Второе уточнение связано с кантовским различением априорное vs. трансцендентальное, которое не учитывается многими исследователями, но очень важно для понимания кантовской мысли. Его суть состоит в том, что не любое априорное понятие является трансцендентальным, и поэтому мы должны ограничить область априорно-спекулятивного только теми понятиями, которые получили трансцендентальную проверку. Ключевым здесь является следующее определение трансцендентального, «влияние которого простирается на все дальнейшие рассуждения [Критики чистого разума]»:

«Трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание… а только знание о том, что те или иные представления вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, каким образом они тем не менее могут a priori относиться к предметам опыта» [2, 73].

Существенным для различения априорное vs. трансцендентальное является вторая часть определения, где вводится требование ограничения сферы неэмпирического знания путем ее соотнесения с «предметами опыта», что как раз и осуществляется в ходе познавательного акта. Это можно называть слабым модусом трансцендентального, поскольку на той же странице Кант вводит и более сильный модус трансцендентального как «действий чистого рассудка»[4]. Т.е. трансцендентальным является то, что в процессе познания обеспечивает встречу субъекта и объекта познания, а таковыми могут быть только [познавательные] «действия рассудка». Все остальное, не имеющее прямого отношения к познавательным действиям, должно быть отброшено как нерелевантное.

Третье уточнение связано с тем, что трансцендентальная философия математики должна учитывать, что развитая математика XX в. включает в себя различные типы математических объектов и разнообразные способы «работы» (математические операции) с ними, т.е. является достаточно разнородным образованием. Можно говорить о неоднородности двух типов. С одной стороны, это горизонтальная неоднородность разных областей математики, к которым можно отнести, например, «топологию и абстрактную алгебру как два способа понимания в математике» (название одноименной статьи Г. Вейля [5]). С другой стороны, это вертикальная неоднородность, связанная с использованием в математике абстракций различных типов. Трансцендентальный анализ должен учитывать эту неоднородность математической сферы, поскольку в каждой из них, возможно, будет свой, отличный от других, набор (математических) «действий рассудка», что приведет к выявлению различных трансцендентальных оснований для разных областей математики.

С учетом сделанных уточнений можно выделить следующие философские основания математического знания: априорные, априорно-трансцендентальные, трансцендентальные и трансцендентально–материальные[5].

 

Априорные основания: теоретико-множественная парадигма математики

Нашей первой задачей выступает выявление онтологических и гносеологических допущений, лежащих в фундаменте современной математики, что соответствует концепту относительного кантовского a priori[6]. Одна из трудностей подобного анализа состоит в том, что сфера современной математики, по сравнению с эпохой Канта, существенно расширилась. В своей программной статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки ставит вопрос о концептуальном единстве математики: едина ли математика или «существуют… несколько математик?»[7]. Принимая тезис о единстве математики, Бурбаки отмечает, что единство математики связано с единым аксиоматическим методом и единым предметом ее исследования как изучением абстрактных математических структур. Бурбаки выделяет три базовые структуры: алгебраические, топологические структуры и структуры порядка[8], которые выступают порождающим базисом для конкретных математических теорий, содержательное разнообразие которых получается путем введения более частных специальных аксиом. В этом состоит бурбакистский проект единой математики, в основании которой лежит теоретико-множественная парадигма [9]. Именно концепт множества является той (прото)структурой, которая цементирует все разделы математики в единое целое[9], а теоретико-множественное отношение принадлежности выступает «в качестве основного строительного блока для проведения математических конструкций» и выражения свойств математических объектов» [10]. С учетом выделения нескольких структурных уровней, каждый из которых связан с повышением выразительных возможностей языка, иерархию математического знания можно представить так:

А. Язык, общая картина мира

В. Логические теории

1.      Исчисление высказываний: введение символов логических связок &, V, ¬, Þ.

2.      Исчисление предикатов первого порядка: введение логических кванторов $, ".

3.      Эгалитарные теории, или исчисления предикатов с равенством.

С. Теоретико-множественный язык математики

4.      Наивная и аксиоматические теории множеств: введение основной теоретико-множественной операции принадлежности элемента множеству (Î)

D. Пред-математика (основные математические структуры)

5.      Алгебраические, топологические структуры, структуры порядка

E. (собственно) МАТЕМАТИКА (математические теории)

6.      Сложные математические структуры: как комбинация основных математических структур.

 

Каждый из уровней А — Е имеет свой набор онтологических допущений (mutatis mutandis это должно учитывать при выявлении других трансцендентальных оснований). Поскольку математика развивалась стихийным образом, то в современной математике сложилось ситуация, когда отдельные основания — как внутри уровней, так и относящиеся к разным уровням — не вполне совместимы друг с другом. Именно это и является глубинной основой для существующих и возникающих в математике парадоксов («кризисов») математики, для преодоления которых необходимо провести не только внутриматематическую работу, но и приложить специальные философско-методологические усилия.

Не развивая эту тему подробно, заметим, что на нижних этажах иерархии (A — B) господствует номиналистический подход, задаваемый критерием У. Куайна: «Существовать — значит быть значением подкванторной переменной», что постулирует существование лишь индивидов. Но, начиная с уровня теории множеств (см., например «наивную теорию множеств» Г. Кантора), номинализм постепенно сменяется реализмом. На наш взгляд именно неявное сочетание реализма и номинализма и привело кризису математики начала XX в. и, более того, не до конца преодолено в современной математике.

По сути, онтология (математики) должна ответить на вопрос, какие типы математических объектов и отношений между ними допустимы, а гносеология — на вопрос о том, какие процедуры с ними являются допустимыми при их преобразовании. Например, к гносеологическим допущениям относится финитная установка Д. Гильберта, запрещающая использовать в рассуждениях любые не-финитные (бесконечные) способы рассуждения, или, как ослабленная версия этого запрета, трансфинитная индукция Г. Генцена [11], что позволило ему доказать непротиворечивость чистой теории чисел. Отметим и наметившееся, начиная с середины ХХ в., изменение онтологического базиса математики, связанное с переходом от теории множеств к теории категорий, которая претендует на роль современной парадигмы математики [10]. В философском плане, это связано с переходом от аристотелевской «вещной онтологии» (resp. в теории множеств исходными объектами являются элементы, из которых строятся более сложные объекты — множества) к «функциональной онтологии» Л. Витгенштейна[10], где вещам отводится роль вторичных сущностям, а первенство принадлежит отношениям (фактам), математическим аналогом которых выступает концепт функции[11].

На самом деле, логико-математические формализмы с разными типами онтологии возможны на любом уровне введенной нами иерархии. Например, на уровне исчисления высказываний таковыми выступают паранепротиворечивые и релевантные логики или ситуационные логики Р. Сушко. Представляет интерес и подход Ст. Лесьневского, который в своей последовательности «прототетика — онтология — мереология» предложил отличную логико-математическую иерархию. К сожалению, факт онтологического дрейфа часто не учитывается самими математиками: а ведь это делает невозможным простую замену одного формализма другим без перестройки всей последующей иерархии.

Интерес же самих математиков (что связано с кризисом в основаниях математике начала XX в.) прикован к проблеме нахождения надежного фундамента теории множеств. Для этого предложены различные варианты преодоления выявленных парадоксов: теория типов Рассела, аксиоматики Цермело–Френкеля (ZF) и Неймана–Бернайса–Геделя (NBG), New Foundation Куайна, альтернативная теория множеств П. Вопенки. Но и здесь подчас игнорируется факт, что различные формализации теории множеств основаны на различных онтологиях, что необходимо учитывать при их сравнительном анализе.

В качестве интересной альтернативы теоретико-множественному подходу на «низком» уровне нашей иерархии, на уровне исчисления предикатов, выступает тернарный подход А. Уемова [13], который наряду с индивидуальными и универсальными вводит неопределенные объекты, соответствующие грамматическим конструкциям с неопределенным артиклем. Отличие тернарной онтологии можно показать на примере фразы «Какой-то саксонский король был разгромлен при Гастингсе». В стандартной логике предикатов, это выражение формализуется с помощью квантора существования (т.е. цельное выражение «какой-то король» разлагается на конкретного «короля» — индивидную переменную и «какой-то» (некоторый) — квантор существования), предполагая, согласно критерию Куайна, что в реальности могут существовать только индивидуальные объекты, грамматически выражаемые с помощью определенного артикля. В онтологии Уемова выражение «какой-то саксонский король» понимается более естественным образом как цельное выражение, указывающее на неопределенного короля. Заметим, что интуиция «хорошо определимых и отличимых предметов», положенная в основу теории множеств перестает работать в области микромира, объекты которые уже не так хорошо «различимы» (здесь намечаются параллели с принципом неопределенности В. Гейзенберга). Т.е. область микромира выступает как один из «фальсификаторов» теоретико-множественного подхода. Более того, даже в нашем среднем мире строгая (чистая) математика, построенная на базе теории множеств, реализуется лишь приблизительно — как теория вероятностей.

 

Априорно-трансцендентальные основания. Идея трансцендентальной логики.

Этот тип оснований, с которых начинается собственно трансцендентальная философия математики, соотносится со слабым пониманием трансцендентального. В первом приближении они являются конкретизацией априорных оснований, о которых мы говорили выше. В философии математики анализу априорно-трансцендентальных оснований уделялось незаслуженно мало внимания, но этот недостаток частично компенсировался их разработкой в работах по логической семантике и метаматематике.

По Канту, выявлением этих оснований должна заниматься трансцендентальная логика. В отличие от общей (формальной) логики [allgemeine Logik], которая «отвлекается от всякого содержания познания… [и изучает] одну лишь форму познания в понятиях, суждениях и умозаключениях» [2, 121], т.е. исследует формальные законы универсума рассуждений, «трансцендентальная логика имеет дело с определенным содержанием» ([2, 120]; выделено мной. — К.С.). Чем важно это кантовское различение для математики? По своей сути, математика тяготеет к работе с однородным количественным универсумом, отвлекаясь от качественной неоднородности моделируемой реальности. Математику, в отличие от «физики», не интересует «природа» (фюзис) изучаемых объектов, поскольку она сосредотачивает свое внимание на исследовании количественных форм (абстракций). Например, если мы возьмем аристотелевский «медный шар», то геометр будет исследовать закономерности, связанные с «шарообразностью» этого объекта, отвлекаясь от его «медности»: именно это и позволяет говорить об универсальности выявляемых математикой законов, применимых, в нашем примере, к любому шару вообще.

Кантовская же идея трансцендентальной логики состоит в том, что при разработке синтаксических формализмов необходимо учитывать семантику (онтологию) универсума, в частности его структурную и качественной разнородность, что ведет к необходимости вводить определенные семантические («содержательные») ограничения на формальные (синтаксические) логические выводы путем трансцендентальной разметки объектов и областей математического рассуждения. Достаточно показательным примером такой разметки служит теория типов Б. Рассела, которая за счет этого позволила «заблокировать» возникающие в теории множеств парадоксы (заметим, что подобные ограничения, хотя и более слабые, вводятся во всех последующих аксиоматиках теории множеств). Элементарным примером подобного семантического ограничения является запрет деления на ноль, хотя чисто формально «0» ничем не отличается от других чисел.

Суть кантовской трансцендентальной логики (на примере силлогистики) изложена в «Аналитике понятий» [2, 98]. Анализируя суждение «Все тела делимы», Кант замечает, что формально–логически функции субъекта и предиката в данном суждении не зафиксированы. Это, например, позволяет совершить обращение и построить суждение «Некоторое делимое есть тело». Трансцендентальная же логика, «имея дело с определенным содержанием», маркирует понятие «тела» как субстанцию, что запрещает его использование в качестве предиката. Как отмечается в [14], учет этих соображений приводит к тому, что (1) из четырех возможных суждений допустимы только суждения «Тело есть (не есть) делимое», в которых субстанциональное понятие является субъектом; (2) субстанционально-субъектные суждения не допускают обращения; (3) суждение «Все тела делимы» не может использоваться как большая посылка 1-ой фигуры силлогизма (так как в меньшей посылке понятие «тело» — уже предикат). Из-за подобных трансцендентальных ограничений будет неправомерно следующее, формально правильное, рассуждение «Все тела делимы. Все атомы есть тела. Следовательно, все атомы делимы».

Кантовский подход может быть распространен и на современные логико–математические формализмы, которые еще в большей степени отвлекаются от содержательной семантики естественного языка[12]. Например, суждение «Некоторые S суть P» записывается в логике предикатов формулой $x(S(x) & P(x)), которая в силу коммутативности конъюнкции тождественна формуле $x(P(x) & S(x)), хотя такая перестановка некорректна с точки зрения семантики: мы не имели в виду фразу «Некоторые P суть S». Т.е. потеря в синтаксисе логики предикатов смысловой информации о субъекте и предикате суждения, может привести к нежелательным с семантической точки зрения, результатам из-за введения универсалии P как субъекта суждения в номиналистический универсум логики. При этом введенный семантический запрет не моделируется на уровне синтаксиса, например путем лишением конъюнкции свойства коммутативности.

В частности, за счет учета (сложно–) сочиненности/подчиненности предложений решается парадокс Рассела, поскольку расселовские противоречия типа a & ~a на самом деле являются выражениями типа a & ~f(a), которые формально непротиворечивы из-за отнесения противоречивых свойств к разным онтологическим уровням универсума[13].

Отметим, что в схожем концептуально–семантическом ключе может быть решен и известный парадокс Бурали–Форти, если мы учтем соображение об единственности «множества всех множеств» как «the–объекта» (ср. «самая высокая гора»). Уникальный характер этого максимума не позволяет обращаться с ним как с обычным множеством. Понятно, что после образования из него нового максимального объекта старый максимум исчезает и процедура сравнения мощностей двух максимумов (старого и нового) в общем случае некорректна. В частности, нельзя говорить, что новый объект, полученный из старого, содержится в старом, поскольку старого объекта («множества всех множеств») уже нет, но именно процедура «сравнения» (мощностей) нового и старого объектов и конституирует парадоксальный результат Бурали–Форти[14].

Заметим также, что кантовская идея трансцендентальной логики в определенном смысле является развитием средневековой теории суппозиций, в которой тоже, по сути, различался синтаксический и семантический уровни рассмотрения. С формальной же точки зрения трансцендентальную логику можно рассматривать как металогику с более богатыми выразительными возможностями, благодаря чему можно модифицировать — ограничить или расширить — применение формально–логических правил вывода логики. В свете же обсуждаемой нами проблемы развитие идеи трансцендентальной логики позволяет сформулировать и более радикальный вывод, а именно: можно поставить под сомнение существующий ныне подход образования современных формализмов, последовательно развитый Г. Фреге (1848 – 1925), Д. Гильбертом (1862 – 1943), Б. Расселом (1872 – 1970) и получивший название логик фреге-расселовского типа, который основан на жестком разведении синтаксиса и семантики формальных систем. Хотя такое различение и обеспечивает строгость формализмов, но вместе с тем именно оно приводит к их семантическим неувязкам (парадоксам и известным теоремам об ограниченности формализмов). Кантовская же идея заключается в более «мягком» подходе к формализации, при котором определенное содержание о структуре (онтологии) универсума рассуждений должно быть учтено на синтаксическом уровне. Другими словами, можно по–новому провести разграничение между синтаксической и семантической компонентами формальных систем или вообще перейти к построению формализмов другого типа.

 

Трансцендентальные основания математики: трансцендентальный конструктивизм

В отличие от первых двух типов оснований, которые имели преимущественно «объективный» (онтологический) характер, данный тип оснований связан с тем, что математическое рассуждение осуществляет не рассудок вообще (например, божественный разум), а человеческий рассудок, хотя и взятый в модусе всеобщности, т.е. трансцендентальный субъект. В силу этого любое математическое рассуждение и выполняющая его семантическая модель должны быть соотнесены с познавательным «устройством» (структурой) проводящего это рассуждение трансцендентального субъекта. В сфере математики можно выделить два основных положения подобного (гносеологического) рода.

Прежде всего, любое рассуждение осуществляет конечный субъект, который, в силу этого, не имеет возможности совершать бесконечные «действия чистого мышления» (выше мы уже говорили об этом, когда обсуждали восходящую к Канту финитную установку Гильберта). В этом смысле, математика является «искусством» работы с «прирученной бесконечностью», или, как сказал Хао Ван, математики могут работать с бесконечным, лишь с помощью созданных конечных методов [17]. Понятно, что это требование не ведет к полному изгнанию из математики потенциальной и даже актуальной бесконечности, если найдены средства (способы) ее «приручения». Но любая бесконечная математическая процедура должна быть подвергнута серьезной проверке на совместимость с нашей конечностью и принята только тогда, когда найдена соответствующее «действие чистого мышления» по ее осуществлению. В этом смысле кантовский трансцендентализм предвосхитил развитие конструктивной математики и философской программы эрлагенского конструктивизма [18, 19].

Более трудной задачей, стоящей перед трансцендентальной философии математики, является нахождение познавательной модели (математической) деятельности, которая позволит ответить на вопрос о том, как возможна математика.

Имя Канта связывают, прежде всего, с его концепцией априорных форм, постулирующей непустоту познающего субъекта. В силу этого любое знание, в том числе и математическое, помимо онтологических (объективных), содержит еще и гносеологические (субъективные) характеристики, что необходимо четко различать. Мы смотрим на мир как бы через систему «фильтров» (априорных форм), которые предопределяют наше миро–воззрение. И одной из главных задач трансцендентальной философии как раз и является выявление имеющихся у трансцендентального субъекта набора этих априорных форм (ср. с итоговым кантовским определением трансцендентального, приведенного вначале). Для математики таковыми формами являются пространство, лежащее в основании геометрии, и время, лежащее в основании арифметики. Современная парадигма математического знания кладет в основание математики концепт множества. Однако это не противоречит кантовскому подходу, а скорее является его развитием, т.к. множество в определенном смысле является пространственно-временной сущностью: в нем можно выделить пространственную и временную смысловые «составляющие». С одной стороны, любое множество мыслится как набор со–существующих элементов, т.е. как некоторое объемлющее свои элементы пространство. С другой стороны, элементы множества определенным образом упорядочены и, соответственно, каждое множество обладает своей счетной «мощностью» (ординалом и/или кардиналом), что указывает на концепт времени, лежащем в основе любого пересчета. При этом множество выполняет роль относительной априорной формы, с помощью которого задаются остальные понятия современной математики, что предопределяет как перспективы, так и возможные ограничения ее развития. Соответственно, уточнение концептуального (смыслового) содержания концепта множества — одна из задач трансцендентальной философии математики[15].

Однако кантовский трансцендентальный субъект, являясь активной стороной познавательного акта, не сводится только к набору априорных форм, а представляет собой систему познавательных способностей, «двумя основными стволами» которой являются чувственность и рассудок. Соответственно, каждая развитая познавательная деятельность представляет собой их определенное соотношение. Кантовское определение математики как «познания посредством конструирования понятий» (с чем, разумеется, можно не согласиться, предложив другую модель), означает, что в математической деятельности задействованы как дискурсивный рассудок, ответственный за работу с понятиями, так и «дающие» созерцания интуитивные способности, к которым Кант относит чувственность и воображение. Более того, поскольку наш рассудок не является интуитивным (каков, например, божественный разум), то любая языковая (синтаксическая) конструкция должна опираться на соответствующее «созерцание», т.е. иметь выполняющую ее  (семантическую) модель: каждое понятие должно быть сконструировано, переведено в соответствующее созерцание, без чего оно представляет собой может быть красивую, но пустую фикцию. В этом и заключается специфика гуманитарной (человекоразмерной) математики, а никакой другой математики, по Канту, быть не может.

Вот ключевой фрагмент Канта по этому поводу:

«Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» [1, 423].

В качестве примера Кант приводит теорему о равенстве суммы углов треугольника 180° и показывает, что для получения этого результата необходимы были дополнительные геометрические построения: проведения дополнительной прямой через одну из вершин треугольника и продолжения через эту же вершину двух других его сторон, — которые здесь выполняют сконструированного «созерцания». Рассудочным же образом, т.е. путем анализа понятия треугольника, в отличие от, например, утверждения о том, что у треугольника имеется три угла, этот результат получить невозможно.

Важным для понимания сути кантовской концепции математики является различение между «эмпирическим созерцанием» — например, вот этого нарисованного треугольника — и «общезначимым созерцанием» как «действием по конструированию [данного] понятия [треугольника]». Понятно, что математика не может ограничиться лишь единичными созерцаниями, т.к. это лишило бы ее важнейшего свойства аподиктичности. Математическая теорема о сумме углов треугольника, верна не только для используемого в доказательстве экземпляра треугольника, но для любого треугольника вообще. По сути, здесь Кант разделяет основополагающую характеристику математической деятельности, данную еще Платоном в кн. 6 «Государства», который пишет по этому поводу следующее:

«Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее… [И] когда они пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит [чертеж же является «образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же). — К.С.]. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном…» [510d–e; вставки и выделение сделаны мной. — К.С.].

Платон (Кант) безусловно прав в том, что математик делает свои «выводы» не для какого-то единичного созерцания, каковым, например, является нарисованный на бумаге треугольник. Более того, математическая теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°, для «эмпрического» квази–треугольника вообще не верна (resp. рисунок вообще не является треугольником), поскольку математик «работает» с (идеальным) «треугольником самим по себе», или платоновской «идеей» треугольника. Вопрос, на который должен ответить трансцендентализм, заключается в том, откуда у нас берется «идея» треугольника, т.е. какие «действия чистого мышления» приводят к ее образованию (resp. можно поставить и более общий вопрос о генезисе других математических идей). Платон решает это вопрос просто — идеи существуют сами по себе, а наша душа каким-то образом причастна к «миру идей» и «припоминает» их (концепция анамнезиса). Понятно, что это простое решение не может удовлетворить последующую философию. Это скорее констатация факта (что является безусловной заслугой Платона!), а не ответ на вопрос о генезисе (математических) идей. На этот вопрос попытался ответить Аристотель. Суть его подхода такова. Реально существуют лишь единичные вещи, например единичные конкретные треугольники, а наш ум, посредством отвлечения (абстрагирования), сначала от материальных факторов (образование математических количественных форм; см. выше анализ аристотелевского примера с «медным шаром»), а потом от несущественных характеристик (для треугольника вообще таковым является, например, его размер или величина его углов) может образовать общую идею треугольника. В Новое время концепция генезиса путем абстрагирования получила развитие в работах непосредственного предшественника Канта — Дж. Локка. Но подобная концепция сталкивается с двумя серьезными трудностями. Одна из них состоит в том, что в природе вообще нет никаких треугольников, кругов, прямых линий и других — идеальных — математических предметов. Онтологический статус математических «предметов» отличен от физических: числа, в отличие от камней, на дороге не валяются. Поэтому для объяснения генезиса математических концептов, помимо абстрагирования, необходима также и процедура идеализации. Вторая трудность была впервые выявлена Дж. Беркли, который напрямую полемизирует с Локком по вопросу о возможности абстрактных (общих) представлений. Дело в том, что любое созерцание имеет единичный характер (для Канта это выступает уже как аксиома, с которой он начинает «Критику чистого разума»). Мы не можем созерцать треугольник вообще! Вот что пишет Беркли: «Что может быть легче для каждого, чем немного вникнуть в свои собственные мысли и затем испытать, может ли он достигнуть… общей идеи треугольника, который ни косоуголен, ни прямоуголен, ни равносторонен, ни равнобедрен, но который есть вместе с тем всякий и никакой из них»[16] [20, 159].

Таким образом, Канту предстоит решить следующую дилемму: с одной стороны (вслед за Беркли), любое созерцание имеет единичный характер; с другой стороны (вслед за Платоном), математика работает с «идеями» (общими представлениями), отражением которых выступают единичные эмпирические созерцания (рисунки) или психические образы. Кроме того (это выступает как третья трудность), в математике встречаются концепты типа декартовского хилигиона, которые хотя и представимы единичными созерцаниями, но не представимы наглядно. Развитие же современной математики ставит перед трансцендентализмом еще более сложную задачу, поскольку в ней используются не только психически непредставимые понятия декартовского типа, но и сверхабстрактные и в принципе ненаглядные абстракты. Насколько правомерно их использование в математике и как отличить «хорошие» понятия от спекулятивных фантазий, которые должны быть изгнаны из серьезной науки? Какой тип созерцаний будет им соответствовать?

Кант дает элегантное решение этой дилеммы (трилеммы). Он утверждает, что математика работает не с эмпирическими единичными, а с «общезначимыми созерцаниями», которые он также называет «чувственными понятиями» [2, 125][17]. Тем самым он вводит как бы связующее звено между «стволами познания», некоторые общие интуиции, с которыми соотносятся и рассудочно–дискурсивно–идеальные математические концепты и чувственно–единично–эмпирические созерцания. Чем являются кантовские «общезначимые» представления? И как преодолеть критику Беркли против недопустимости общих созерцаний: ведь мы на самом деле не можем созерцать треугольник вообще? Конечно, мы видим вот этот, нарисованный на доске мелом, конкретный (единичный) треугольник, но вместе с этим «созерцаем» идею «треугольника самого по себе». Как это возможно? Трансцендентализм призывает нас обратить более пристальное внимание на «действия» нашего сознания в ходе акта познания. В частности, мы должны задаться вопросом: каким образом происходит восприятие нарисованного треугольника? А каким образом он обрел статус реального существования (на доске)? Путем рисования! Судя по всему, в нашей душе он возникает аналогичным образом, когда мы начинаем «рисовать» эту фигуру. Эту процедуру Кант называет фигурным синтезом воображения. При этом Кант неявным образом опирается на концепцию познания Платона, который в диалоге «Филеб» проводит различие между писцом, который делает в записи книге (кантовский рассудок), и «другим мастером» — живописцем, «который вслед за писцом чертит в душе образы [είχόνας] названного» [21, 42–43] (кантовский фигурный синтез воображения)[18].

Итак, единичный треугольник образуется в нашей душе путем его рисования. А как же образуется идея треугольника? Какие «действия» нашего сознания порождают эту идею?. Ответ на этот вопрос содержится в кантовском учение о схематизме[19], точнее в его модификации за счет привлечения более позднего кантовского учения о рефлексивной способности суждения из «Критики способности суждения». Одним из существенных «действий чистого рассудка» — сокровенным истоком сознания — является процедура рефлексии, которая позволяет изменять направленность сознания. Здесь она (рефлексия) выступает как процедура рефлексивного переключения, которая «переключает» внимание нашего сознания с результата рисования — единичной [геометрической] фигуры [треугольника] на [общий] способ его построения[20], т.е. алгоритм рисования, который Кант эксплицирует термином «трансцендентальная схема» [2, 123]. В нашем случае построения треугольника это «действие по конструированию понятия» состоит приблизительно[21] в том, что мы совершаем двойной излом с замыканием при проведении прямой линии (для четырехугольника — тройной излом)[22]. А если мы попробуем обобщить алгоритм рисования данного конкретного треугольника, то окажется, что он приложим к построению любого треугольник вообще, поскольку для него «многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, [т.к. они не изменяют общее] понятие треугольника». Вот что Кант говорит в этой связи: «В действительности в основе наших чистых чувственных понятий [математических предметов. — К.С.] лежат не образы предметов, а схемы. Понятию о треугольнике вообще не соответствовал бы никакой образ треугольника. В самом деле, образ [например, остроугольный или тупоугольный прямоугольник] всегда ограничивался бы только частью объема этого понятия и никогда не достиг бы общности понятия, благодаря которой понятие приложимо ко всем треугольникам — прямоугольным, остроугольным и т. п. Схема треугольника не может существовать нигде, кроме как в мысли, и означает правило синтеза воображения в отношении чистых фигур в пространстве» [2, 125]. Т.е. кантовская схема и есть «общезначимое созерцание», приложимое к целому классу единичных созерцаний, или искомая нами (платоновская) «идея»! Но это уже не статичная идея, полученная путем прозрения (Платон, Декарт) или абстрагирования (Аристотель, Локк), а динамичный эйдос как принцип (способ) конструирования треугольника.

 

[Коротко поясним, почему кантовская схема (resp.алгоритм) является созерцанием, хотя и особого типа. В общем виде познавательный процесс по Канту представляет собой иерархию синтезов, каждый из которых является «надстройкой» над результатом предыдущего. Кантовский схематический синтез является «надстройкой» над фигурным синтезом воображения. Понятно, что фигурный синтез воображения — это пространственный синтез. Рефлексивное переключение же на способ рисования этой фигуры является временным метасозерцанием, которое выступает как временная «надстройка» над фигурно-пространственным созерцанием. Точнее, это — временной момент фигурного синтеза, в котором фиксируется способ («как») его осуществления. Понятно, что такого рода временные (мета)созерцания ненаглядны, хотя они «вычитываются» из любой «картинки». Т.е. при этом мы решили и проблему представления ненаглядных математических абстрактов, поскольку здесь способ их построения (конструирования) вполне представим [23].]

 

Заключение. Кантовское понимание математики как дискурсивно-интуитивной деятельности вполне соответствует основным тенденциям развития современной математики и выступает богатым источником концептуальных и методологических эвристик.

Одной из них является представление о математике как двухярусной системы знания, включающей в себя как формально–символическое оперирование на синтаксическом уровне, так и соотнесение этих абстрактных представлений с содержательными семантическими моделями. Тем самым кантовский трансцендентализм (см. «слабое» понимание трансцендентального) предвосхитил развитие теории моделей, которая в настоящее время является необходимым компонентом любой математической теории.

Не менее значимым является и то, что кантовская концепция математики является основной основных программ обоснования математики: логицизма, формализма, интуиционизма, конструктивизма. И хотя каждая из них идентифицирует себя как альтернативная по отношению к другим, но можно показать, что все они базируются на кантовском подходе (подробнее об этом см. [23]). Отстаиваемая Кантом необходимость опоры любых математических рассуждений на созерцания послужила основой для развития математического интуиционизма. Кантовская концепция схематизма, по сути, предвосхитила математический конструктивизм, который признает в качестве полноценных математических объектов, какими бы абстрактными они не были, лишь те, которые могут быть сконструированы. Описанный же Кантом механизм символического конструирования [2, 425] лежит в основании логицизма и формализма.

Очень перспективной представляется концепция трансцендентального конструктивизма, которая постулирует необходимость соотнесения (проверки) вводимых математических абстракций с нашими познавательными действиями. Это позволит предотвратить проникновение в математику красивых метафор, которыми так богат наш язык, но которые нередко выступают источником математических парадоксов и противоречий.

 

Литература:

1.       С.Л. Катречко Как возможна метафизика? //Вопросы философии, 2005, № 9 (см. также расширенную версию статьи: http://www.philosophy.ru/library/katr/how_meta2005.html).

2.       И. Кант Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.

3.       А.Ф. Лосев История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. — М.: Искусство, 1969. с. 162; 199; Его же. История античной эстетики. Аристотель и поздняя классика. — М.: Искусство, 1975, с. 71 – 72.

4.       И. Кант Пролегомены ко всякой будущей метафизики, могущей появиться как наука /Его же. Сочинения в 6 тт. Т. 4(1).

5.       Г. Вейль Математическое мышление //Его же. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.

6.       И. Кант Из рукописного наследия (материалы к «Критике чистого разума», Opus postumum). М.: Прогресс-Традиция, 2000.

7.       С.Л. Катречко К вопросу об "априорности" математического знания //Математика и опыт. М., Изд-во МГУ, 2003.

8.       Н. Бурбаки Архитектура математики //Его же. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Ин. Лит, 1963.

9.       Н. Бурбаки Теория множеств. — М., Мир, 1965.

10.    Р Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики. — М.: Мир, 1983.

11.    Г. Генцен Непротиворечивость чистой теории числе //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. с. 77 – 190.

12.    С.Л. Катречко Функциональная онтология «Логико-философского трактата» //Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия: Материалы Третьего Российского философского конгресса. В 3 т.— Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2002. Т. 1, с. 211 – 212.

13.    А.И. Уемов К проблеме альтернативы теоретико-множественному подходу к построению логических систем //XI Международная конференция: логика, методология и философии науки. — М. – Обнинск, 1995. Т. 2, с. 80 – 85.

14.    В.Н. Брюшинкин Трансцендентальная модель интеллекта: моделирование рассуждений //Гуманитарная наука в России: соросовские лауреаты. М., 1996.

15.    А.С. Есенин – Вольпин Формулы или формулоиды? //XI Международная конференция: логика, методологии и философии науки. М. – Обнинск, 1995. Т. 1, с. 29 – 33 (см. также: А.С. Есенин-Вольпин Об антитрадиционной (ультраинтуиционисткой) программе оснований математике и естественно-научном мышлении /Вопросы семиотики, 1993, Вып.33, с. 13 – 68).

16.    С.Л. Катречко Расселовский парадокс брадобрея и диалектика Платона – Аристотеля //Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке (Материалы VII Международной конференции научной конференции 20 — 22 июня 2002 г.), СПб, 2002.; с. 239 — 242

17.    Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. — М.:Мир, 1965.

18.    Р. Lorenzen Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt, 1974.

19.    С.Л. Катречко Трансцендентальная философия математики //Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15 – 16 июня 2007. — М.: изд. Савин С.А., 2007, с. 31 – 34.

20.    Дж. Беркли Трактат о принципах человеческого знания. — М.: Hаука, 1978.

21.    Платон Филеб //Его же. Собр. соч. в 4тт. Т.3. — М.: Мысль, 1994.

22.    С.Л. Катречко Трансцендентальная (кантовская) модель сознания как новая парадигма «искусственного разума» //Искусственный интеллект: междисциплинарный подход. — М.: ИИнтеЛЛ, 2006, с. 276 – 289.

23.    С.Л. Талкер, С.Л. Катречко Кантовы основания программ обоснования математики //Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15 – 16 июня 2007. — М.: изд. Савин С.А., 2007, с. 69 – 72.