С.Л. Катречко

Трансцендентальный конструктивизм

как программа обоснования математики[1]

 

Abstracts. Современная математика работает со сложными абстрактными объектами и поэтому возникает проблема отличения "хороших" математических объектов от "плохих". Одним из подходов для решения этой проблемы является восходящий к Канту трансцендентальный конструктивизм: приемлемыми математическими объектами являются лишь те, которые могут быть сконструированы при помощи некоторых «действий чистого мышления». Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий" и выделяет два типа такого конструирования: остенсивное (геометрическое) и символическое (алгебраическое). В современной математике используются оба типа конструирования, которые в современной математической практики тесно переплетены между собой в рамках единой математической конструкции.

 

1. Под трансцендентальным Кант понимает исследование, «занимающееся не столько предметами, сколько видами [способами] нашего познания предметов, поскольку это [способ познания. — С.К] должно быть возможным a priori [1, 44]. Таким «видом познания» в нашем случае является математическая деятельность, суть которой Кант определяет как «познание посредством конструирования понятий» [1, 423], что предполагает совместную работу рассудка и воображения. При этом Кант ставит перед собой задачу выявить идеализированную модель математической деятельности, осуществляемой Математиком.

Современная математика работает со сложными абстрактными объектами и поэтому возникает проблема различения "хороших" и "плохих" математических объектов. Одним из подходов решения этой проблемы является кантовский трансцендентальный конструктивизм, который заключается в исследовании «действий чистого рассудка» [1, 73], связанной с той или иной сферой деятельности (в нашем случае — с математикой). Соответственно, можно сформулировать трансцендентальный критерий «хороших» математических объектов: приемлемыми математическими объектами являются лишь конструктивные объекты, т.е. такие математические абстракции, которые могут быть сконструированы посредством тех или иных ментальных конструкций.

Тем самым можно сказать, что кантовский трансцендентализм выступает концептуальным (философским) основанием математического интуитивизма и конструктивизма. Вместе с тем, трансцендентальный конструктивизм имеет свою специфику и отличается, например, от эрлангенского конструктивизма [2]. Принципиальным здесь выступает вопрос об онтологическом статусе. В случае эрлангенской программы, математические объекты (процедуры) рассматриваются как аналоги физических объектов (процедур) и, вследствие этого, должны соотноситься с некоторыми физическими действиями. Кантовский же конструктивизм вполне совместим с платоновским пониманием идеальной природы математических абстрактов[2], хотя и требует их не только формального, но и конструктивного задания с помощью «действий чистого рассудка» (конструктивизм vs. формализм).

 

2. Скажем несколько подробнее о кантовской концепции математической деятельности[3]. Ключевым здесь является следующий кантовский фрагмент:

«Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия[4], для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» ([1, 423]; выделено жирным и подчеркиванием нами. — С.К.).

В качестве иллюстрации Кант приводит теорему о равенстве суммы углов треугольника 180° и показывает, что для получения доказательства теоремы необходимо произвести ряд геометрических построений: проведение дополнительной прямой через одну из вершин треугольника и продолжение через ту же вершину двух других его сторон, — которые и являются теми ментальными действиями, при помощи которых осуществляется «конструирование понятия», т.е. доказывается истинность искомой теоремы.

 

3. Важнейшим для понимания кантовской концепции математики является проводимое им различие между «эмпирическим созерцанием» — например, вот этим нарисованным треугольником — и «общезначимым созерцанием» как «действием по конструированию понятия [треугольника]»[5]. Математика не может ограничиться единичными созерцаниями, так как это лишило бы ее статуса аподиктичного знания. Однако в ХХ веке с подачи Гильберта кантовский подход был представлен в несколько ином свете. Гильбертовская интерпретация Канта (которая и привела его к созданию формализма как программы обоснования математики) связана с тем, что в ней делается акцент на второе предложение процитированного фрагмента, где говорится о необходимости соотнесения понятийных (абстрактных) конструкций с созерцанием, причем созерцание трактуется Гильбертом как чувственно–наглядное, например как конечная строчка типографских значков (ср. с определением доказательства у Гильберта)[6]. На наш взгляд, такая позитивистская интерпретация Канта значительно обедняет его подход и лишает его эвристической силы, поскольку при этом остается непонятным, каким образом применить этот (якобы кантовский) критерий соотнесения с наглядным созерцанием для абстрактных ненаглядных математических концептов современной математики. Суть нашей интерпретации состоит в том, что данный фрагмент Канта должен быть соотнесен скорее не с его тезисом о наглядности созерцаний, а с его учением о схематизме: при соотнесении понятия с созерцанием, нас интересует не столько наглядность [образа], сколько способ его построения, т.е. кантовская схема. В этом случае кантовский подход вполне применим и к не-геометрическим абстракциям. Вот что, например, пишет Кант по поводу представления понятия числа: «если же я мыслю только число вообще, безразлично, будет ли это пять или сто, то такое мышление есть скорее представление о методе [т.е. схеме. — К.С.] (каким представляют в одном образе множество, например тысячу), чем сам этот образ, который в последнем случае, когда я мыслю тысячу, вряд ли могу обозреть и сравнить с понятием…» [1, 124][7].

 

4. Для понимания кантовской концепции математики надо учесть также то, что вместе с описанным выше остенсивным (от лат. ostentus — показывание, выставление напоказ) конструированием, характерным для геометрии, Кант рассматривает еще один тип символического конструирования, используемого при работе с алгебраическими объектами:

«Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, который должно мыслить согласно такому понятию величины. Она избирает себе при этом определенные обозначения для всех конструирований величин вообще (чисел), каковы сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.; затем, обозначив общее понятие величин в их различных отношениях, она изображает в созерцании соответственно определенным общим правилам все операции, производящие и изменяющие величину, когда одна величина должна быть разделена другой, она соединяет их знаки по обозначающей форме деления и т. п. и таким образом с помощью символической конструкции, так же как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов) достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий никогда не может достигнуть» ([1, 425]; выделено жирным нами. — С.К.).

При анализе алгебры как более сложном (абстрактном) типе математической деятельности хотелось бы обратить внимание на два обстоятельства. Во-первых, одной из конституирующих черт алгебры является использование «языка х–ов и у–ов», или переход к метаязыку переменных, который позволяет исследовать не только свойства определенных величин как это делается в арифметике, например специфику четных чисел, но и свойства величин вообще (resp. общих величин), значение которых произвольно[8]. Во-вторых, не менее важным, хотя на это практически не обращается внимание, является то, что язык алгебры обладает выразительными возможностями для выражения не только абстрактных символов, но и операций («действий»), производимых с ними (см. цит. п. 4 выше). По сути дела, математический [алгебраический] язык является языком особого рода — процедурным, а не декларативным языком, фиксирующим способы работы с математическим объектами, т.е. как надо осуществлять то или иное математическое действие.

Более того, если раньше процедурный характер языка был прерогативой лишь алгебры, то в настоящее время это относится ко всем разделам современной — абстрактной — математики: никакой логико–математический язык без специальных знаков для выражения операций над математическими объектами невозможен. Причем очевидно, что символическое конструирование гораздо прозрачнее остенсивного, поскольку при остенсивном конструировании действия явно не «сказываются», а лишь «показываются» (Витгенштейн) путем их реального осуществления в ходе геометрического построения, хотя и могут эксплицироваться — путем описания способов конструирования — в метаязыках.

Сформулируем наш итоговый тезис. В современной абстрактной математике действуют оба типа кантовского конструирования, которые тесно переплетены между собой в рамках единой математической конструкции. В частности, остенсивные — a la геометрические — конструкции широко используются в логико-математических (квази–алгебраических) теориях. В качестве примера можно указать на использование в силлогистике круговых диаграмм Эйлера, с помощью которых наглядно представимы отношения между понятиями, или теорию графов, а также секвенциальные деревья и субординантные выводы натуральных исчислений, которые являются созерцательными конструкциями выводов в логических исчислениях разного типа.

 

5. В качестве примера, подтверждающим наш тезис о тесном переплетении в современных математических доказательствах остенсивного и символического конструирования, рассмотрим интуиционистское задание континуума (действительного числа)[9].

Пусть нам дано некоторое действительное число, которое символически представимо как бесконечная десятичная дробь, например 0, 534…. Следуя Канту, мы должны соотнести этот «символ», или синтаксическое «понятие», с некоторым созерцанием, например с некоторой точкой на отрезке [0, 1]. Точнее, собственно остенсивная конструкция задания подобной алгебраической дроби состоит в последовательном разбиении отрезка пополам (1 шаг). При осуществлении подобных делений искомое число оказывается либо в правой, либо в левой части полуотрезка: в нашем случае после первого деления 0, 534… окажется в правой половине отрезка, т.к. оно начинается с цифры 5, после второго деления — в левой правой четверти правой половины, т.к. вторая цифра нашей дроби 0, 53… меньше 5 и т.д. Тем самым итеративное осуществлении данной процедуры будет все точнее и точнее задавать месторасположение искомого числа. Однако современная математика на этом не останавливается и предлагает заменить «приблизительную» геометрическую конструкцию более строгой алгебраической. Описанную выше процедуру деления отрезка пополам она представляет с помощью точного [алгебраического] алгоритма, т.е. надстраивает над первоначальной остенсивной конструкцией другую — символическую — конструкцию (2 шаг). При этом существенным образом используются интуиционистское понятия потока и свободно становящейся последовательности. Дадим точное описание алгоритма:

Определение. Поток M — это совокупность из закона потока ΔM и дополнительного закона ΩM.

Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты. Закон потока должен удовлетворять следующим условиям:

1. Пустой кортеж <…> является допустимым;

2. Для любого допустимого кортежа <a₁, ..., a_n> найдётся по меньшей мере одно натуральное число k, для которого кортеж <a₁, ..., a_n, k> также будет допустимым;

3. Для любого допустимого кортежа <a₁, ..., a_n, k> кортеж <a₁, ..., a_n> также является допустимым.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел {a_k}, для которых при любом n кортеж <a₁, ..., a_n> является допустимым по закону потока M, называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности {Ω (a_k)} называются элементами потока M.

Теперь определим отрезок [0, 1] как следующий поток рациональных отрезков:

1. Закон потока: Допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны 1 или 2;

2. Дополнительный закон: Пустому кортежу ставится в соответствие отрезок [0, 1]. Далее, если кортежу <a₁, ..., a_n> поставлен в соответствие отрезок [a, b], то кортежу <a₁, ..., a_n, 1> ставится в соответствие отрезок [a, (a + b)/2], а кортежу <a₁, ..., a_n, 2> — отрезок [(a + b)/2, b].

Элементы этого потока (точнее: последовательности вложенных рациональных отрезков) называются действительными числами.

Приведенный алгоритм максимально точно задает понятие действительного числа, но для того чтобы сделать понятнее и нагляднее предложенный алгебраический алгоритм потока должен быть соотнесен с созерцанием, т.е. с вторичной остенсивной конструкцией. Это делается в завершающем описании алгоритма следующим образом (шаг 3), поскольку поток может быть представлен двоичным деревом, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого навешен тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел, т.е. бесконечные десятичные дроби, с помощью которых представляются действительные числа, можно представить в виде бесконечных путей в таком дереве.

 

Литература:

1.        Кант И. Критика чистого разума (серия «Философское наследие»). — М.: Мысль, 1994.

2.        Lorenzen P. Konstruktive Wissenschaftstheorie. — Frankfurt, 1974.

3.        Катречко С. Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход //Модели рассуждений – 1: Логика и аргументация. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. — с. 63 – 90.

4.        Катречко С.Л. Трансцендентальная философия математики //Вестник Московского университета. Серия 7 «Философия», № 2, 2008. — М: Изд–во МГУ им. М.В.Ломоносова, 2008. — с. 88 – 106.

5.        Гильберт Д. О бесконечном //Его же. Основания геометрии. — М.–Л.: 1948.