С тех пор как Пилат задал вопрос: "Что есть истина?" (Иоанн XVIII, 38), последующим поискам правильного ответа препятствовала другая проблема, которая, как хорошо известно, также возникает в контексте Нового Завета. Если, как предполагает автор Послания к Титу (Тит I, 12), пророк с острова Крит, "из них же самих один стихотворец" утверждал, что "критяне всегда лжецы", и если "свидетельство это справедливо" среди всех прочих его заявлений, тогда, по-видимому, слова критского пророка будут истинными в том и только в том случае, если они являются ложными. И любая трактовка понятия истины должно тем или иным образом обойти этот парадокс.

Пример с критянином иллюстрирует один способ достижения самореференции. Пусть P(x) и Q(x) будут предикатами предложений. Тогда эмпирическая очевидность устанавливает, что предложение '(x) (P(x) É Q(x))' [или '($ x) (P(x) Ù Q(x))' и им подобные] в некоторых случаях само выполняет предикат P(x); иногда эмпирическая очевидность показывает, что оно единственный объект, выполняющий P(x). В этом последнем случае рассматриваемое предложение "о самом себе говорит", что оно выполняет Q(x). Если Q(x) - предикат⁵⁰ "быть ложным", то в результате возникает парадокс Лжеца. Например, пусть P(x) - сокращение для предиката 'последовательность знаков, напечатанных в экземплярах данного издания стр. ..., строчка ...'. Тогда предложение:

(x) (P(x) É Q(x))

ведёт к парадоксу, если Q(x) интерпретировать как предикат ложности.

1. Большая часть (т.е. большинство) утверждений Никсона

Выше я сконцентрировался на той версии парадокса, которая использует эмпирические свойства предложений, связанных, например, с тем, что они высказаны отдельными людьми. Гёдель, в сущности, показал, что такие эмпирические свойства необязательны, достаточно чисто синтаксических свойств: он продемонстрировал, что для каждого предиката Q(x) может быть подобран такой синтаксический предикат P(x), что предложение (x) (P(x) É Q(x)) с наглядностью является единственным объектом, выполняющим P(x). Он также показал, что элементарный синтаксис может быть интерпретирован в теории чисел. С помощью этого Гёдель отверг все сомнения относительно законности исследования самореферентных предложений, показав, что они законны в той же мере, в которой законна сама арифметика. Но примеры с использованием эмпирических предикатов сохраняют свою важность: они указывают на мораль о степени риска.

Более простая и более намеренная форма самореференции использует указательные местоимения или собственные имена: Пусть 'Джек' будет именем предложения 'Джек - короткий', и мы получаем предложение, которое о самом себе говорит, что оно - короткое. Я не могу увидеть ничего ошибочного в "намеренной" самореференции подобного типа. Если 'Джек' даже не является именем в языке⁵³, почему мы не можем ввести его как имя той сущности, которая нам нравится? (Можно ли назвать эту последовательность знаков 'Гарри', а не 'Джек'? В данном случае запрет на именование, конечно, имеет произвольный характер.) В нашей процедуре нет порочного круга, так как нам не нужно интерпретировать последовательность знаков 'Джек - короткий' до того, как мы их наименовали. Однако если мы дадим этой последовательности имя 'Джек', она тотчас же станет осмысленной и истинной. (Замечу, что я говорю о самореферентных предложениях, а не о самореферентных пропозициях.)⁵⁴

В более пространной версии я предпочёл бы подстраховать вывод предшествующего параграфа не только с помощью более детальной философской экспозиции, но также с помощью математического доказательства того, что простая разновидность самореференции, проиллюстрированная примером с предложением 'Джек - короткий', на самом деле может быть использована для доказательства самой теоремы Гёделя о неполноте (а также теоремы Гёделя-Тарского о неопределимости истины). Подобный вариант доказательства теоремы Гёделя, возможно, был бы более понятным для начинающих, нежели обычный. Он также рассеивает впечатление, что Гёдель стремился заменить преднамеренную самореференцию более многословным приёмом. Этот аргумент должен быть опущен в данном очерке⁵⁵.

которые, хотя и не являются парадоксальными, не поддаются определению условий истинности. Более сложные примеры включают или пару предложений, каждое из которых говорит, что другое является истинным, или бесконечную последовательность предложений {P_i }, где P_i говорит, что P_{i +} 1 является истинным. В общем случае, если предложение, подобное (1), утверждает, что (все, некоторые, большинство и т.д.) предложений определённого класса C являются истинными, его собственное истинностное значение может быть установлено, если установлены истинностные значения предложений, входящих в класс C. Если некоторые из этих предложений сами включают понятие истины, их истинностное значение, в свою очередь, должно устанавливаться при рассмотрении других предложений и т.д.. Когда, наконец, этот процесс заканчивается на предложениях, не упоминающих понятие истины, так, что может быть установлено истинностное значение первоначального предложения, мы называем последнее обоснованным; в противном случае - необоснованным⁵⁶. Как показывает пример с предложением (1), вопрос об обоснованности предложения не относится в общем случае к внутреннему (синтаксическому или семантическому) свойству предложения, но обычно зависит от эмпирических фактов. Мы высказываем некоторые утверждения, которые, как мы надеемся, превратятся в обоснованные. Предложения, подобные (3), хотя и не являются парадоксальными, необоснованны. Предыдущее - лишь приблизительный разговор об обычном понятии обоснованности и не означает того, что построено формальное определение: тот факт, что формальное определение может быть построено, будет принципиальным достоинством формальной теории, предлагаемой ниже⁵⁷.

До сих пор, единственным введением в семантические парадоксы, разработанным довольно подробно, которое я буду называть "ортодоксальным подходом", является подход, ведущий к знаменитой иерархии языков Тарского⁵⁸. Пусть L₀ - формальный язык, построенный с помощью обычных операций исчисления предикатов первого порядка из имеющихся (полностью определённых) примитивных предикатов, подходящих для того, чтобы говорить о своём собственном синтаксисе (возможно, с использованием арифметизации). (Я опускаю точную характеристику.) Такой язык не может содержать своего собственного предиката истинности, поэтому предикат истинности T₁(x) для L₀ (реально выполнимый) содержится в метаязыке L₁. (И действительно, Тарский показывает, как определить такой предикат в языке более высокого порядка.) Процесс может повторяться, приводя к последовательности {L₀, L₁, L₂, L₃ ... } языков, где каждый последующий язык содержит предикат истинности для предыдущего языка.

Философы с подозрением относились к ортодоксальному подходу как к претензии на анализ нашей интуиции. Несомненно, наш язык содержит только одно слово 'истинный', а не последовательность различных фраз [истинный_n], прилагаемых к предложениям всё более и более высоких порядков. В ответ на это возражение защитник ортодоксального взгляда (если он не отвергает естественный язык в целом, как склонен поступать Тарский) может ответить, что обычное понятие истины систематически двусмысленно: его "уровень" в отдельных обстоятельствах предопределяется контекстом языкового выражения и намерениями говорящего. Понятие различных предикатов истинности, каждый для своего собственного уровня, по-видимому, соответствует следующей интуитивной идее, внутренне присущей вышеупомянутой дискуссии об "обоснованности". Прежде всего, мы высказываем различные предложения, подобные 'снег бел', которые не затрагивают понятия истины. Затем мы приписываем им истинностное значение, используя предикат 'истинный₁'. ('Истинный₁' означает, приблизительно, что "высказывание является истинным, само при этом не включая понятия истинности или родственных ему понятий".) Далее, мы можем образовать предикат 'истинный₂', приложимый к предложениям, включающим предикат 'истинный₁', и т.д. Мы можем предположить, что для каждого случая языкового выражения, когда определённый носитель языка использует слово 'истинный', он придаёт ему имплицитный индекс, который возрастает с помощью продолжающейся рефлексии при переходе к всё более и более высоким порядкам в его собственной иерархии Тарского⁵⁹.

(4) Все, что Никсон говорил об Уотергейте является ложным,

просто выбирая индекс более высокий, чем любой уровень, затронутый в высказываниях Никсона, относящихся к Уотергейту. Обычно, однако, говорящий не владеет методом, позволяющим опознавать "уровни" соответствующих утверждений Никсона. Так, Никсон мог бы сказать "Дин - лжец" или "Холдеман говорит мне истину, когда утверждает, что Дин лжёт" и т.п., и "уровни" этих утверждений могли бы к тому же зависеть от уровней выражений Дина и т.д. Если говорящий вынужден приписать "уровень" выражению (4) заранее [или слову 'ложь' в (4)], он не может быть уверен в том, как высок выбранный уровень; если он выберет слишком низкий уровень, не зная "уровня" выражений Никсона, тогда утверждение (4) не подойдёт для поставленной цели. Идея о том, что высказывания, подобные (4), имеют при нормальном употреблении "уровень", интуитивно убедителен. Однако в той же мере интуитивно ясно, что "уровень" высказывания (4) не зависит только от одной его формы (как было бы в случае, если 'ложности' - или, может быть, 'языковому выражению' - были приписаны эксплицитные индексы) и не может приписываться говорящим заранее; более того, уровень этого высказывания зависит от эмпирических фактов, о которых высказывается Никсон. Чем выше "уровни" утверждений Никсона, тем выше "уровень" (4). Это означает, что в некотором смысле высказыванию было бы позволено искать свой собственный уровень, достаточно высокий для того, чтобы сказать о том, о чём оно намерено сказать. Это высказывание не имело бы заранее фиксированного внутреннего уровня, как в иерархии Тарского.

Дин в утверждении (4) стремится охватить утверждение (5), высказанное Никсоном (как одно из утверждений последнего об Уотергейте, о которых говориться как о ложных); а Никсон в утверждении (5) стремится сделать то же самое с утверждением (4) Дина. Любая теория, которая приписывает внутренние "уровни" подобным высказываниям таким образом, что высказывание данного уровня может говорить только об истинности или ложности высказываний более низкого уровня, просто не в состоянии следовать и за тем и за другим: если два высказывания находятся на одном и том же уровне, ни одно из них не в состоянии говорить об истинности или ложности другого, так как обычно высказывание более высокого уровня может говорить о высказывании более низкого уровня, но не наоборот. Однако интуитивно мы часто приписываем истинностные значения (4) и (5) не двусмысленным образом. Предположим, что Дин сделал по крайней мере одно истинное высказывание об Уотергейте [отличное от (4)]. Тогда вне зависимости от того, какой будет оценка (4), мы можем решить, что утверждение (5) Никсона - ложно. Если все другие утверждения Никсона об Уотергейте также являются ложными, то высказывание (4) Дина - истинно; если одно из них истинно, то (4) - ложно. Заметим, что в последнем случае, мы могли судить о (4) как о ложном без оценивания (5), но в первом случае оценивание (4) как истинного зависит от априорной оценки (5) как ложного. При другом множестве эмпирических допущений о правдивости Никсона и Дина высказывание (5) могло бы быть истинным [а его оценивание как истинного зависело бы от априорного оценивания (4) как ложного]. По-видимому, трудно согласовать эти интуиции в рамках ортодоксального подхода.

К своему удивлению я нашёл, что проблема определения языков трансфинитного уровня представляет существенные технические трудности, которые никогда не были серьёзно исследованы⁶⁰. (Хилари Патнем и его студенты в существенных чертах исследовали - на первый взгляд под видом совершенно отличного описания и математической мотивации - проблему для специального случая, где мы начинаем с низшего уровня, с языка простой теории чисел.) Я получил как позитивные, так и негативные результаты по этой проблеме, которые не могут быть рассмотрены здесь в деталях. Но современное состояние литературы позволяет сказать, что если "теория языковых уровней" подразумевает, что в расчёт приняты и трансфинитные уровни, тогда один из принципиальных недостатков этой теории - просто не существование таковой. Можно сказать, что существующая литература определяет "иерархию Тарского для языков" только на финитных уровнях, а это едва ли адекватно. Мои собственные результаты включают расширение ортодоксальной теории до трансфинитных уровней, но оно тем не менее неполно. Недостаток места не только освобождает меня от необходимости описать эти результаты, он освобождает меня от упоминания математических трудностей, делающих проблему далеко не тривиальной.

Другие проблемы можно лишь упомянуть. Меня удивил один факт, что ортодоксальный подход никоим образом явно не гарантирует обоснованности в интуитивном смысле, упомянутом выше. Понятие истины для S ₁ арифметических высказываний само относится к S ₁, и этот факт может быть использован для конструирования высказываний формы (3). Даже при рассмотрении неуточнённых определений истины стандартные теоремы легко позволяют нам сконструировать спускающуюся цепочку первопорядковых языков L₀, L₁, L₂ ... таких, что L_i предикат истины для L_i + 1. Я не знаю может ли такая цепочка порождать необоснованные предложения, или даже каким образом поставить здесь проблему; некоторые существенные проблемы в этой области ещё должны быть решены.

Почти вся обширная современная литература, ищущая альтернативы ортодоксальному подходу, - особо я упомянул бы работы Баса ван Фраассена и Роберта Л. Мартина⁶¹ - сходится на единственной базовой идее: должен быть только один предикат истины, применимый к предложениям, содержащим сам этот предикат; парадоксы следует избегать, допуская истинностно-значные провалы и утверждая, что парадоксальные предложения, в частности, допускают такой провал. Эти работы, как мне кажется, редко страдают незначительными недостатками, но почти всегда содержат недостатки весьма серьёзные. Небольшие дефекты связаны с тем, что некоторые из этих работ критикуют пустячную версию ортодоксального подхода, а не действительный предмет⁶². Главный недостаток заключается в том, что эти работы почти все без исключения остаются простыми предположениями, а не подлинными теориями.

Почти никогда в них нет какой-либо точной семантической формулировки языка, достаточно богатого по крайней мере для того, чтобы говорить о собственном элементарном синтаксисе (непосредственно или через арифметизацию) и содержащем свой собственный предикат истинности. Говорить о представлении семантических парадоксов можно, только если такой язык установлен с формальной точностью. В идеале теория должна показать, что техника может быть приложима к произвольно богатым языкам, не важно, что их "обычные" предикаты иные, чем истинность. И тем не менее есть другой смысл, в котором ортодоксальный подход обеспечивает теорию, в то время как альтернативная литература - нет. Тарский показывает, каким образом для классического первопорядкового языка, чья область квантификации - множества, он может дать математическое определение истины, используя предикаты объектного языка плюс теорию множеств (логику более высокого порядка). Альтернативная литература отказывается от попытки математического определения истины и довольствуется тем, что рассматривает её как интуитивный примитив. Только одна статья в жанре "истинностного провала", которую я читал, - недавняя статья Мартина и Петера Вудруфа⁶³ - где-то приближается к попытке удовлетворить эти пожелания к теории. Тем не менее влияние этой литературы на мои собственные соображения будет очевидным⁶⁴.

Для осуществления этих идей нам нужна семантическая схема для того, чтобы обращаться с предикатами, которые могут быть определены лишь частично. Зададим непустую область D, одноместный предикат Р(х) интерпретируется парой (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D. S₁ есть объём Р(х), а S₂ - его антиобъём. Р(х) должен быть истинным на объектах в S₁, ложным на объектах в S₂, неопределённым в противном случае. Обобщение для случая n-местных предикатов очевидно.

Одна из подходящих схем для обращения со связками - это сильная трёхзначная логика Клини. Предположим, что ~ Р является истинным (ложным), если Р является ложным (истинным), и неопределённым, если Р не определено. Дизъюнкция является истинной, если истинен по крайней мере один дизъюнкт, вне зависимости от того, является ли другой дизъюнкт истинным, ложным или неопределённым⁶⁶. Она является ложной, если оба дизъюнкта ложны, и неопределённой в противном случае. Другие истинностные функции могут быть определены с точки зрения дизъюнкции и отрицания обычным способом. (В частности, тогда конъюнкция будет истинной, если оба конъюнкта истинны, ложной, если по крайней мере один конъюнкт ложен, и неопределённой в противном случае.) ($ х)А(х) является истинным, если А(х) истинно при некотором заданном для х элементе из D, ложным, если А(х) ложно для всех значений х, и неопределенным в противном случае. (х)А(х) может быть определено как ~ ($ х)~ А(х). Оно, следовательно, является истинным, если А(х) истинно для всех значений х, ложным, если А(х) по крайней мере для одного такого значения, и неопределённым в противном случае. Для спокойствия вышеизложенное можно было бы преобразовать в более точное формальное определение, но это не будет нас беспокоить⁶⁷.

(7) Какое-то предложение, напечатанное в New York Daily News

Однако наш субъект, если он хочет утверждать 'Снег бел', будет согласно правилам стремиться утверждать и '(6) является истинным'. Но предположим, что среди утверждений, напечатанных в New York Daily News 7 октября 1971г., имеется само выражение (6). Так как наш субъект хочет утверждать '(6) является истинным', а также утверждать '(6) напечатано в New York Daily News 7 октября 1971г.', он выведет (7) с помощью экзистенциального обобщения. Как только он захочет утверждать (7), он будет также хотеть утверждать (8). Таким образом, субъект в конечном счёте будет способен приписывать истинность всё большему и большему количеству высказываний, включающих само понятие истины. Нет причины предполагать, что все высказывания, включающие 'истинный', будут определены таким способом, но большинство будет. В действительности наше предположение состоит в том, что "обоснованные" предложения могут быть охарактеризованы как те, которые в конечном счёте в результате этого процесса получают истинностное значение.

Рассмотрим, каким образом этим идеям можно дать формальное выражение. Пусть L будет интерпретированным первопорядковым языком классического типа с конечным (или даже счётным) списком примитивных предикатов. Предполагается, что переменные пробегают некоторую непустую область D и что примитивные n-местные предикаты интерпретируются (полностью определёнными) n-местными отношениями в D. Интерпретация предикатов из L сохраняется фиксированной на всём протяжении последующего обсуждения. Предположим также, что язык L достаточно богат для того, чтобы синтаксис L (например, через арифметизацию) мог быть выражен в L и что некоторая кодировочная схема кодирует конечные последовательности элементов из D в элементы из D. Мы не пытаемся сделать эти идеи строгими; это можно было бы осуществить с помощью понятия "приемлемой" структуры Мочавакиса⁶⁸. Подчеркну, что большая часть того, что сделано ниже, проходит и при более слабых гипотезах относительно L.⁶⁹

Предположим, что мы расширили L до языка ℒ добавлением одноместного предиката Т(х), чья интерпретация нуждается только в частичной определённости. Интерпретация Т(х) задана "частным множеством" (S₁, S₂), где, как было сказано выше, S₁ есть объём Т(х), S₂ - антиобъём Т(х), и Т(х) является неопределенным для сущностей, находящихся вне (S₁ È S₂). Пусть ℒ(S₁, S₂) есть интерпретация ℒ, получаемая интерпретацией Т(х) с помощью пары (S₁, S₂), интерпретация других предикатов из L остаётся той же, что и выше⁷⁰. Пусть S_1¢ будет множеством истинных предложений (кодами истинных предложений)⁷¹ ℒ(S₁, S₂) и пусть S_2¢ будет множеством элементов из D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒ(S₁, S₂), либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ(S₁, S₂). S_1¢ и S_2¢ определены единственно выбором (S₁, S₂). Ясно, что если Т(х) должно интерпретироваться как истина для каждого языка L, содержащего само Т(х), необходимо, чтобы S₁ = S_1¢ и S₂ = S_2¢ . [Это означает, что если А есть любое предложение, то А выполняет (фальсифицирует) Т(х), если А является истинным (ложным) в соответствии с правилами оценки.]

Пара (S₁, S₂), удовлетворяющая этому условию, называется фиксированной точкой. При заданной выборке (S₁, S₂), интерпретирующей Т(х), множество f ((S₁, S₂)) = (S_1¢ , S_2¢ ). Тогда f является унарной функцией, определённой на всех парах (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D, а "фиксированные точки" (S₁, S₂) являются буквально фиксированными точками f ; т.е. они суть такие пары (S₁, S₂), для которых f ((S₁, S₂)) = (S₁, S₂). Если (S₁, S₂) является фиксированной точкой, то ℒ(S₁, S₂) мы также иногда называем фиксированной точкой. Наша основная цель - доказать существование фиксированных точек и исследовать их свойства.

Сконструируем первую фиксированную точку. При этом мы рассматриваем определённую "иерархию языков". Мы начинаем, определяя интерпретированный язык ℒ₀ как ℒ(Ù ,Ù ), где Ù есть пустое множество; т.е. ℒ₀ есть язык, где Т(х) является полностью неопределённым. (Он никогда не является фиксированной точкой.) Предположим, что мы определили ℒa = ℒ(S₁, S₂) для любого целого числа a . Тогда множество ℒa ₊₁ = ℒ(S_1¢ , S_2¢ ), где, как и выше, S_1¢ является множеством истинных предложений (кодов истинных предложений) ℒa , а S_2¢ есть множество всех элементов D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒa , либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒa .

Только что заданная иерархия языков аналогична иерархии Тарского при ортодоксальном подходе. Т(х) интерпретируется в ℒa ₊₁ как предикат истинности для ℒa . Но при данном подходе возникает интересный феномен, данный в деталях ниже.

Будем говорить, что (S₁⁺, S₂⁺) расширяет (S₁, S₂) [символически (S₁⁺, S₂⁺) ³ (S₁, S₂) или (S₁, S₂) £ (S₁⁺, S₂⁺)], если и только если S_{1 Í} S₁⁺ и S₂ Í S₂⁺. Интуитивно это означает, что если Т(х) интерпретируется как (S₁⁺, S₂⁺), эта интерпретация согласуется с интерпретацией посредством (S₁, S₂) во всех случаях, где (S₁, S₂) определено. Единственное различие состоит в том, что интерпретация посредством (S₁⁺, S₂⁺) может привести к определению Т(х) для некоторых случаев, где он не был определён, когда интерпретировался посредством (S₁, S₂). Итак, основное свойство наших правил приписывания значения следующее: f является монотонной (сохраняющей порядок) операцией на £ ; т.е., если (S₁, S₂) £ (S₁⁺, S₂⁺), то f ((S₁, S₂)) £ f ((S₁⁺, S₂⁺)). Иными словами, если (S₁, S₂) £ (S₁⁺, S₂⁺), тогда любое предложение, которое является истинным (или ложным) в ℒ(S₁, S₂), сохраняет своё истинностное значение в ℒ (S₁⁺, S₂⁺). Это означает, что если интерпретация Т(х) расширяется приданием ему определённых истинностных значений для случаев, которые прежде были неопределенными, первоначально установленное истинностное значение не изменяется и не становится неопределённым; самое большее некоторое первоначально неопределённое истинностное значение становится определённым. Это свойство - выражаясь технически, свойство монотонности f - является решающим для всех наших построений.

Задав монотонность f , мы можем вывести, что для каждого a интерпретация Т(х) в ℒa ₊₁ расширяет интерпретацию Т(х) в ℒa . При a =1 этот факт очевиден; так как в ℒ₀ Т(х) является неопределённым для всех х, любая интерпретация Т(х) расширяет её автоматически. Если это утверждение имеет силу для ℒb , т.е. если интерпретация Т(х) в ℒb ₊₁ расширяет интерпретацию Т(х) в ℒb , тогда любое предложение, истинное или ложное в ℒb остаётся истинным или ложным в ℒb ₊₁. Если мы посмотрим на определения, то они говорят нам, что интерпретация Т(х) в ℒb ₊₂ расширяет интерпретацию Т(х) в ℒb ₊₁. Таким образом, по индукции мы доказываем, что интерпретация Т(х) в ℒa ₊₁ всегда расширяет интерпретацию Т(х) в ℒa для любого конечного a . Из этого следует, что предикат Т(х) увеличивается как по своему объёму, так и по своему антиобъёму. По мере возрастания a всё больше и больше предложений приобретают явную истинность или ложность; но как только предложение объявляется истинным или ложным, оно сохраняет своё истинностное значение на всех более высоких уровнях.

До сих пор мы определяли в нашей иерархии только конечные уровни. Пусть (S_1,a , S_2,a ) будет интерпретацией Т(х) ℒa для конечного a . Как S_1,a , так и S_2,a увеличиваются (как множества) при возрастании a . Тогда есть ясный способ определения первого "трансфинитного" уровня - назовём его "ℒw ". Для простоты определим ℒw = ℒ(S_1,w , S_2,w ), где S_1,w есть единство всех S_1,a для конечного a , а S_2,w есть подобное единство S_2,a для конечного a . Тогда, задав ℒw , мы можем определить ℒw ₊₁, ℒw ₊₂, ℒw ₊₃ и т.д. так же, как делали это для конечных уровней. Достигнув вновь "предельного" уровня, мы берём единство как и ранее.

Формально мы определяем языки ℒa для каждого ординала a . Если a есть последующий ординал (a = b +1), пусть ℒa = ℒ(S_1,a , S_2,a ), где S_1,a есть множество предложений (кодов предложений) ℒb , а S_2,a есть множество, содержащее все элементы D, которые или являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒb или не являются предложениями (кодами предложений) ℒb . Если l есть предельный ординал, то ℒl = ℒ(S_1,l , S_2,l ), где S_1,l = ∪b < l S_1,b , S_2,l = ∪b < l S_2,b . Таким образом, на "последующих" уровнях - предикат истинности над предшествующим уровнем, а для предельных (трансфинитных) уровней мы берём единство всех предложений, объявленных истинными или ложными на предыдущих уровнях. То, что объём и антиобъём Т(х) увеличивается с возрастанием a , остаётся истинным даже с включением трансфинитных уровней.

Нужно заметить, что 'увеличивается' не значит "строго увеличивается". Мы утверждали S_i,a Í S_i,a +1 (i = 1,2); а это допускает равенство. Продолжается ли этот процесс бесконечно и всё больше и больше предложений объявляется истинными или ложными или же он в конце концов заканчивается? Иными словами, существует ли такой ординальный уровень s , для которого S_1,s = S_{1,s +1} и S_2,s = S_{2,s +1}, так что новые высказывания не объявляются истинными или ложными на следующем уровне? Ответ должен быть утвердительным. Предложения ℒ образуют множество. Если новые предложения ℒ были определены на каждом уровне, мы должны были бы в конце концов исчерпать ℒ на некотором уровне и были бы неспособны определить что-либо ещё. То, что существует ординальный уровень s такой, что (S_1,s , S_2,s ) = (S_{1,s +1}, S_{2,s +1}), можно легко преобразовать в формальное доказательство (техника элементарна и хорошо известна логикам). Но так как (S_{1,s +1}, S_{2,s +1}) = f ((S_1,s , S_2,s )), это означает, что (S_1,s , S_2,s ) является фиксированной точкой. Можно также доказать, что она является "минимальной" или "наименьшей" фиксированной точкой; любая фиксированная точка расширяет (S_1,s , S_2,s ), т.е. если предложение оценивается как истинное или ложное в ℒs , оно имеет одно и то же истинностное значение в любой фиксированной точке.

Соотнесём только что заданную конструкцию фиксированной точки с нашими предварительными интуитивными идеями. На начальной стадии (в ℒ₀) Т(х) является полностью неопределённым. Это соответствует начальной стадии, в которой субъект не владеет пониманием понятия истины. Задавая характеристику истины с помощью правил оценивания Клини, субъект может легко подняться на уровень ℒ₁, т.е. он может оценить различные предложения как истинные или ложные без какого-либо знания о Т(х) - в частности, он может оценить все те предложения, которые не содержат Т(х). Как только оценивание произведено, он сразу же расширяет Т(х) как в ℒ₁. Затем он может использовать новую интерпретацию Т(х), с тем чтобы большее число предложений оценить как истинные или ложные и расшириться до ℒ₂ и т.д. В конце концов когда процесс "насыщается", субъект достигает фиксированной точки ℒs . (Будучи фиксированной точкой, ℒs является языком, который содержит свой собственный предикат истины.) Таким образом, формальное определение как раз и задаёт непосредственные параллели предварительно установленным интуитивным конструкциям⁷².

Мы говорим о языках, содержащих свой собственный предикат истины. Однако на самом деле более интересным было бы расширение произвольно взятого языка до языка, содержащего свой собственный предикат выполнимости. Если L содержит имя для каждого объекта из D и отношение обозначения определено (это означает, что если D не перечислимо, то и L содержит неперечислимое количество констант), понятие выполнимости может (в большинстве контекстов) эффективно заменяться понятием истины; например, вместо того, чтобы говорить, что А(х) выполняется объектом а, мы можем говорить, что А(х) становится истинным, когда переменная заменяется именем а. Тогда подходит первоначальная конструкция. В противном случае, если L не содержит имени для каждого объекта, мы можем расширить L до ℒ, добавлением бинарного предиката выполнимости Sat(s,x), где s пробегает конечные последовательности элементов из D, а х пробегает формулы. Мы определяем иерархию языков, параллельную первоначальной конструкции, использующей истину, достигая в конце концов неподвижной точки - достигая язык, который содержит свой собственный предикат выполнимости. Если L является неперечислимым, а D - нет, конструкция, использующая только истинность, заканчивается на вычислимых ординалах, а конструкция, использующая выполнимость, - на невычислимых ординалах. Упрощая экспозицию, мы далее будем продолжать, ориентируясь на конструкцию, использующую истинность, но конструкция, использующая выполнимость, является более базовой⁷³.

Пусть задано предложение А из ℒ. Определим А как обоснованное, если оно имеет истинностное значение в наименьшей фиксированной точке ℒs ; в противном случае - как необоснованное. То, что до сих пор, насколько я знаю, было интуитивным понятием без формального определения, становится точно определённым понятием в данной теории. Если А обоснованно, уровень А определяем как наименьший ординал a , такой, что А имеет истинностное значение в ℒa .

Проблем нет, если ℒ содержит теорию чисел или синтаксис, в котором конструируются гёделевские предложения, которые "говорят о самих себе", что они являются ложными (предложения Лжеца) или истинными [как в (3)]; относительно всех них легко показать, что они необоснованны в смысле формального определения. Если использовать гёделевскую форму парадокса Лжеца, то предложение Лжеца, к примеру, может иметь форму

1. (х)(Р(х) É ~ Т(х)),

где Р(х) является синтаксическим (или арифметическим) предикатом, удовлетворяемым единственно самим (9) (Гёделевым номером (9)). Сходным образом (3) получает форму

2. (х)(Q(х) É Т(х)),

где Q(х) удовлетворяется единственно посредством (10) (Гёделевым номером (10)). При этой гипотезе индукцией по a легко доказать, что ни (9), ни (10) не будут иметь истинностного значения ни в каком ℒa , т.е., что они будут необоснованны. Сходным образом получаются другие интуитивные случаи необоснованности.

Черта, выделенная мной относительно обычных высказываний, что нет внутренней гарантии их надёжности (обоснованности) и что их "уровень" зависит от эмпирических фактов, проясняется следующей моделью. Рассмотрим, например, снова (9), за исключением того, что теперь Р(х) является эмпирическим предикатом, чей объём зависит от неизвестных эмпирических фактов. Если Р(х) оказывается истинным только на основании самого (9), то (9) будет необоснованным, как и ранее. Если объём Р(х) содержит полностью обоснованные предложения уровня, скажем, 2, 4 и 13, то (9) будет обоснованным на уровне 14. Если объём Р(х) содержит обоснованные предложения произвольного конечного уровня, то (9) будет обоснованным на уровне w . И так далее.

Рассмотрим теперь случаи (4) и (5). Мы можем формализовать (4) посредством (9), интерпретируя Р(х) как "х есть предложение, которое Никсон утверждает об Уотергейте". [Для простоты забудем, что 'об Уотергейте' вводит в интерпретацию Р(х) семантическую компоненту.] Формализуем (5) как

(11) (х)(Q(х) É ~ Т(х)),

интерпретируя Q(х) обычным способом. Чтобы дополнить параллель с (4) и (5), предположим, что (9) входит в объём Q(х), а (11) входит в объём Р(х). Теперь нет никакой гарантии, что (9) и (11) будут обоснованными. В параллель приведённым выше интуитивным соображениям предположим, однако, что некоторые истинные обоснованные предложения удовлетворяют Q(х). Если наименьший уровень любого такого предложения есть a , тогда (11) будет ложным и обоснованным на уровне a +1. Если в добавок все предложения, отличные от (11), удовлетворяющие Р(х), являются ложными, тогда (9) будет обоснованным и истинным. Из-за уровня (11) уровень (9) будет как минимум a +2. С другой стороны, если некоторое предложение, удовлетворяющее Р(х), является обоснованным и истинным, то (9) будет обоснованным и ложным на уровне b +1, где b есть наименьший уровень любого такого предложения. Для способности данной модели приписать уровень (4) и (5) [(9) и (11)] решающим является то, что этот уровень зависит от эмпирических фактов, а не приписывается заранее.

Мы говорили, что предложения подобные (3), хотя и необоснованны, интуитивно не являются парадоксальными. Рассмотрим это с точки зрения данной модели. Наименьшая фиксированная точка ℒs не является единственной фиксированной точкой. Формализуем (3) посредством (10), где Q(х) является синтаксическим предикатом истины (из L) единственно самого (10). Предположим, что вместо того, чтобы начинать нашу иерархию языков с полностью неопределённого Т(х), мы начали с введения Т(х) как истинного для (10) и неопределённого в противном случае. Тогда мы можем продолжать иерархию языков так же, как и до этого. Легко видеть, что если (10) является истинным в языке данного уровня, оно будет оставаться истинным и на следующем уровне [при использовании того факта, что Q(х) является истинным только для (10) и ложным в противном случае]. Отсюда, как и ранее, можно показать, что интерпретация Т(х) на каждом уровне распространяется на все предыдущие уровни и что на одном и том же уровне конструкция замыкается, чтобы дать фиксированную точку. Различие в том, что (10), у которого отсутствует истинностное значение в наименьшей фиксированной точке, теперь является истинным.

Это предполагает следующее определение: предложение является парадоксальным, если оно не имеет истинностного значения ни в одной фиксированной точке. То есть парадоксальное предложение А является таковым, что если f ((S₁, S₂))= (S₁, S₂), тогда А не является элементом ни S₁, ни S₂.

(3) [или его формальная версия (10)] являются необоснованными, но не парадоксальными. Это означает, что мы можем последовательно использовать предикат 'истинный' с тем, чтобы придать (3) [или (10)] истинностное значение, хотя минимальная процедура для приписывания истинностного значения этого не позволяет. С другой стороны, предположим для (9), что Р(х) является истинным относительно самого (9) и ложным относительно всего другого, так что (9) является предложением Лжеца. Тогда аргумент парадокса Лжеца легко даёт доказательство того, что (9) не может иметь истинностного значения в любой фиксированной точке. Таким образом, (9) является парадоксальным в нашем техническом смысле. Заметим, что если то, что Р(х) является истинным относительно (9) и ложным относительно всего другого, является просто эмпирическим фактом, тот факт, что (9) является парадоксальным, сам будет эмпирическим. (Мы могли бы определить "внутренне парадоксальный", "внутренне обоснованный" и т.д., но здесь этого делать не будем.)

Назовём фиксированную точку внутренней, если и только если она не приписывает предложению истинностного значения, противоречащего его истинностному значению в любой другой фиксированной точке. То есть фиксированная точка (S₁, S₂) является внутренней, если и только если не существуют другая фиксированная точка (S₁⁺, S₂⁺) и предложение А из L¢ , такие что А Î (S₁ Ç S₂⁺) È (S₂ Ç S₁⁺). Мы говорим, что предложение имеет внутреннее истинностное значение, если и только если ему придаёт истинностное значение некоторая внутренняя фиксированная точка; т.е. А имеет внутреннее истинностное значение, если и только если существует внутренняя фиксированная точка (S₁, S₂) такая, что А Î (S₁ È S₂). (12) предоставляет хороший пример.

Существуют непарадоксальные предложения, которые имеют одно и то же истинностное значение во всех фиксированных точках, в которых они имеют истинностное значение, но у которых тем не менее отсутствует внутреннее истинностное значение. Рассмотрим РÚ ~ Р, где Р является любым необоснованным, непарадоксальным предложением. Тогда РÚ ~ Р является истинным в некоторой фиксированной точке (а именно, там, где Р имеет истинностное значение) и ни в одной не является ложной. Предположим, однако, что существуют фиксированные точки, которые делают Р истинным, и фиксированные точки, которые делают Р ложным. [Например, Р есть (3).] Тогда РÚ ~ Р не может иметь истинностное значение в любой внутренней фиксированной точке, поскольку согласно нашим правилам приписывания истинностного значения оно не может иметь истинностного значения, если его не имеет некоторый дизъюнкт⁷⁴.

Не существует "наибольшей" фиксированной точки, расширяющей любую другую; действительно, любые две фиксированные точки, придающие разные истинностные значения одной и той же формуле, не имеют общего расширения. Однако не трудно показать, что существует наибольшая внутренняя фиксированная точка (а в действительности, что внутренние фиксированные точки образуют решётку относительно £ ). Наибольшая внутренняя фиксированная точка является единственной "наибольшей" интерпретацией Т(х), которая соответствует нашей интуитивной идее истины и не создаёт произвольность выборов в приписывании истины. Она, таким образом, как модель является объектом специального теоретического интереса.

Любопытно сравнить "иерархию языков Тарского" с данной моделью. К несчастью, это едва ли может быть сделано без введения трансфинитных уровней, задачи, выведенной за рамки этого очерка. Но мы можем кое-что сказать о конечных уровнях. Интуитивно кажется, что предикат Тарского é истинный_nù во всех специальных случаях является единственным предикатом истины. Например, выше мы говорили, что 'истинный₁' означает "быть истинным предложением, не включающим истину". Проведём эту идею формально. Пусть А₁(х) будет синтаксическим (арифметическим) предикатом истины именно тех формул ℒ, которые не включают Т(х), т.е. всех формул L. А₁(х), будучи синтаксическим, само является формулой L, как и все другие синтаксические формулы, следующие ниже. Определим 'Т₁(х)' как 'Т(х) Ù А₁(х)'. Пусть А₂(х) будет синтаксическим предикатом, приписанным всем тем формулам, чьи атомарные предикаты суть атомарные предикаты из L плюс 'Т₁(х)'. [Более точно класс таких формул может быть определён как наименьший класс, включающий все формулы L и Т(х_i) Ù А₁(х_i) для любой переменной х₁ и замкнутый относительно истинностных функций и квантификации.] Определим затем Т₂(х) как Т(х) Ù А₂(х). В общем виде мы можем определить А_n+1(х) как синтаксический предикат, приписанный точно тем формулам, которые построены из предикатов из L и Т_n(х), а Т_n+1(х) - как Т(х) Ù А_n+1(х). Предположим, что Т(х) интерпретируется посредством наименьшей фиксированной точки (или любой другой). Тогда индукцией легко доказать, что каждый предикат Т_n(х) полностью определён, что расширение Т₀(х) состоит в точности из истинных формул L, в то время как расширение Т_n+1(х) состоит из истинных формул языка, получающего добавление Т_n(х) к L. Это означает, что все предикаты истины конечной иерархии Тарского определимы внутри ℒs , а все языки этой иерархии являются подъязыками ℒs .⁷⁵ Эта разновидность результата могла бы быть расширена до трансфинитного, если бы мы определили трансфинитную иерархию Тарского.

Имеет место и обратный результат, который труднее обосновать в данном очерке. В иерархии Тарского предложения характеризует то, что они являются безопасными (внутренне обоснованными) и что их уровень является внутренним, заданным независимо от эмпирических фактов. Естественно предположить, что любое обоснованное предложение внутреннего уровня n есть в некотором смысле "эквивалент" предложению уровня n в иерархии Тарского. Задав подходящие определения 'внутреннего уровня', 'эквивалентные' и т.п., можно сформулировать и доказать теоремы соответствующего вида и даже распространить их на трансфинитное.

До сих пор мы предполагали, что имеем дело с истинностными провалами согласно методам Клини. Это ни в коем случае не означает необходимость делать так. Применимость истинностнозначных провалов относительно любой схемы как раз обеспечивает то, что сохраняется основное свойство монотонности f ; т.е. обосновывается то, что обеспечивается расширение интерпретации Т(х), которое никогда не изменяет истинностного значения любого предложения из ℒ, но в лучшем случае задаёт истинностные значения ранее неопределённым случаям. Задав любую такую схему, мы можем использовать предшествующие аргументы, чтобы сконструировать минимальную фиксированную точку и другие фиксированные точки, определить уровни предложений и понятия 'обоснованности', 'парадоксальности' и т.д.

Одна из схем, применимая таким способом, есть понятие пресыщенных оценок ван Фраассена⁷⁶. Её легко определить для языка ℒ. Задавая интерпретацию (S₁, S₂) для Т(х) в ℒ, назовём формулу А истинной (ложной), если и только если она становится истинной (ложной) посредством обычного классического оценивания при каждой интерпретации (S₁⁺, S₂⁺), которая расширяет (S₁, S₂) и является полностью определённой, т.е. такой, что S₁⁺ Ç S₂⁺ = D. Теперь мы можем определить иерархию {ℒs } и минимальную фиксированную точку ℒs _, как и ранее. При интерпретации с пресыщенными оценками все формулы, доказуемые в классической квантифицированной теории, становятся истинными в ℒs ; при оценках Клини можно сказать только то, что они будут истинными везде, где будут определены. Благодаря тому, что ℒs содержит свой собственный предикат истины, нам не нужно выражать этот факт с помощью схемы или метаязыковым высказыванием. Если PQT(x) является синтаксическим предикатом истинности именно для предложений ℒ, доказуемых в квантифицированной теории, мы можем утверждать:

(13) (х)(PQT(x) É T(x))

и (13) будет истинным в минимальной фиксированной точке.

Здесь мы использовали пресыщенные оценки, в которых все полные расширения интерпретации Т(х) приняты в расчёт. Естественно рассмотреть ограничения семейства полных расширений, мотивированные интуитивными свойствами истины. Например, мы можем рассмотреть только последовательные интерпретации (S₁⁺, S₂⁺), где (S₁⁺, S₂⁺) является последовательной, если и только если S₁ не содержит предложения вместе со своим отрицанием. Тогда мы можем определить А как истинное (ложное), где Т(х) интерпретировано посредством (S₁, S₂), если и только если А является классически истинным (ложным), когда А интерпретировано посредством любого последовательного полного определённого расширения (S₁, S₂).

(13) (х) ~ (Т(х) Ù Т(neg(х))

(х)(Sent(x) É . T(x)Ú Т(neg(х))

Цель настоящей работы не в том, чтобы дать какие-то отдельные рекомендации, следуя строгому трёхзначному подходу Клини, подходу с пресыщенными оценками ван Фраассена или любой другой схеме (такой, как слабая фрегеанская трёхзначная логика, предложенная Мартином и Вудруфом, хотя фактически я предварительно склоняюсь к тому, чтобы рассматривать последнюю как исключительно громоздкую). Моей настоящей целью не является даже то, чтобы дать какие-либо твёрдые рекомендации об отношении минимальной фиксированной точки отдельной схемы оценивания с различными другими фиксированными точками⁷⁸. В самом деле, если бы не было неминимальной фиксированной точки, мы не могли бы определить интуитивное различие между 'обоснованным' и 'парадоксальным'. Скорее, моя цель - предоставить семейство приспособлений, которые можно было бы изучать одновременно и чью продуктивность и согласие с интуицией можно было бы проверить.

Настоящий подход можно применить к языкам, содержащим модальные операторы. В этом случае мы не просто рассматриваем истину, но даём в обычном стиле модальной теории моделей систему возможных миров и оцениваем истинность и T(x) в каждом возможном мире. Соответственно модифицируется индуктивное определение языка ℒs , приближающегося к минимальной фиксированной точке. Здесь мы не можем вдаваться в детали⁸⁰.

По иронии применение данного подхода к языкам с модальными операторами может вызвать некоторый интерес тех, кто не расположен к интенсиональным операторам и возможным мирам и предпочитает рассматривать модальности и пропозициональные установки как предикаты истинности предложений (или знаков предложений). Монтегю и Каплан указывали, используя элементарные приложения техники Гёделя, что такие подходы, вероятно, приводят к семантическим парадоксам, аналогичным Лжецу⁸¹. Хотя эта проблема известна достаточно давно, обширная литература, защищающая такую трактовку, обычно просто игнорирует эту проблему, а не показывает, как она должна быть разрешена (скажем, с помощью иерархии языков?). Теперь, если принять оператор необходимости и предикат истинности, мы можем определить предикат необходимости Nec(x), применённый к предложениям либо посредством ÿ Т(х), либо посредством Т(nec(x))⁸², кому как нравится, и трактовать его в соответствии со схематикой возможных миров, о которой говорилось в предыдущем параграфе. (Я думаю, что любой предикат необходимости предложений интуитивно должен рассматриваться как производный, определённый с точки зрения оператора и предиката истинности. Также я думаю, что то же самое имеет силу для пропозициональных установок.) Мы можем даже "отбросить лестницу" и рассматривать Nec(x) как примитивный, трактуя его в схематике возможных миров так, как если бы он определялся посредством оператора плюс предикат истинности. Сходное замечание применимо к пропозициональным установкам, если мы хотим трактовать их как модальные операторы, используя возможные миры. (Сам я думаю, что такая трактовка затрагивает значительные философские затруднения.) Возможно, что данный подход может быть применён к предполагаемым предикатам предложений, рассматриваемым нами, без использования интенсиональных операторов или возможных миров, но в настоящий момент у меня нет идеи, как это сделать.

Кажется вероятным, что многие из тех, кто разрабатывал подход к семантическим парадоксам, основанный на истинностных провалах, уповали на универсальный язык, язык, в котором всё, что вообще может быть установлено, может быть выражено. (Доказательство Гёделем и Тарским, что язык не может содержать свою собственную семантику, применимо только к языкам без истинностных провалов.) Языки данного подхода содержат свои собственные предикаты истинности и даже свои собственные предикаты выполнимости и, таким образом, в некоторой степени надежда была реализована. Тем не менее данный подход, конечно, не претендует на то, что задал универсальный язык, и я сомневаюсь, что такая цель когда-либо может быть достигнута. Во-первых, индуктивное определение минимальной фиксированной точки выполнено в теоретико-множественном языке, а не в самом объектном языке. Во-вторых, существуют утверждения, которые мы можем сделать об объектном языке, но которые не можем сделать в объектном языке. Например, предложение Лжеца не является истинным в объектном языке в том смысле, что индуктивный процесс никогда не делает его истинным; но наша интерпретация отрицания и предиката истинности препятствует нам сказать об этом в объектном языке. Если мы рассматриваем минимальную фиксированную точку, скажем, используя оценивание Клини как модель естественного языка, тогда смысл, в котором мы можем говорить в естественном языке, что предложение Лжеца не является истинным, должен мыслиться как привязанный к некоторой более поздней стадии в развитии естественного языка, к стадии, на которой говорящий рефлексирует над процессом порождения, ведущим к минимальной фиксированной точке. Сама она не является частью этого процесса. Необходимость подняться к метаязыку может быть одним из уязвимых мест данной теории. Дух иерархии Тарского всё ещё с нами.⁸³

Адаптированный здесь подход предполагал следующую версию "Конвенции Т" Тарского, приспособленной к трёхзначному подходу: Если 'k' использовать как сокращённое имя предложения А, то Т(k) должно быть истинным или ложным, если А является истинным или ложным соответственно. Интуицию пленяет то, что Т(k) должно иметь те же самые истинностные условия, как и само А; отсюда следует, что Т(k) допускает истинностнозначный провал, если его допускает А. Альтернативная интуиция⁸⁴ утверждала бы, что, если А является либо ложным, либо неопределённым, то А не является истинным, Т(k) должно быть ложным, а его отрицание - истинным. С этой точки зрения Т(х) будет полностью определённым предикатом, а истинностнозначных провалов не существует. Вероятно, Конвенция Т Тарского должна быть каким-то способом ограничена.

Не трудно модифицировать данный подход с тем, чтобы приспособить такую альтернативную интуицию. Возьмём любую фиксированную точку L¢ (S₁, S₂). Модифицируем интерпретацию Т(х) так, чтобы сделать его ложным для любого предложения вне S. [Это мы называем "замыканием" Т(х).] Модифицированная версия Конвенции Т Тарского имеет силу в смысле условия Т(k) Ú Т(neg(k) . É . A º Т(k). В частности, если А является парадоксальным предложением, мы теперь можем утверждать ~ Т(k). Равносильно если А имеет истинностное значение до замыкания Т(х), то А º Т(k) является истинным.

Поскольку объектный язык, полученный замыканием Т(х) является классическим языком, где полностью определён каждый предикат, то предикат истины для этого языка можно определить в обычной манере Тарского. Этот предикат не будет совпадать по объёму с предикатом Т(х) объектного языка, и, конечно, разумно предположить, что он является действительно метаязыковым предикатом, который выражает "подлинное" понятие истинности для замкнутого объектного языка. Т(х) замкнутого языка определяет истинность для фиксированной точки до того, как она замкнётся. Поэтому мы всё-таки не можем избежать необходимости в метаязыке.

Есть математические приложения и чисто технические проблемы, которые я не упомянул в этом очерке; они выходят за рамки статьи для философского журнала. Так, есть вопрос, на который можно ответить в значительно более общей форме и охарактеризовать ординал s , на котором замыкается конструкция минимальной фиксированной точки. Если L есть язык первопорядковой арифметики, оказывается, что s есть w ₁, первый нерекурсивный ординал. Множество является расширением формулы с одной свободной переменной в ℒs , если оно есть П¹₁, и оно есть расширение полностью определённой формулы, если является гиперарифметическим. Язык ℒs , приближающийся к минимальной фиксированной точке, даёт интересную, "со свободным обозначением" версию гиперарифметической иерархии. Более общо, если L есть язык приемлемой структуры в смысле Мочавакиса и используется оценивание Клини, множество является расширением одноместной формулы в минимальной фиксированной точке, если является индуктивным в смысле Мочавакиса⁸⁵.