Г. Фреге

 

ЛОГИКА В МАТЕМАТИКЕ

 

 

 

Математика более тесно, чем другие науки, связана с логикой, так как почти вся деятельность математика сводится в выводам. Ни в одной другой науке выводы не занимают такого места, хотя иногда они входят также в другие науки. Помимо выводов, к деятельности математика относятся также определения. В большинстве наук последние совершенно не важны и имеют некоторое значение только в науке о праве, которая в некотором отношении близка математике, хотя предмет ее исследования совершенно иной. Она черпает свой материал из исторического и психологического опыта, который занимает в ней большое место. В математике для этого нет аналога. Но выводы и определения подчинены логическим законам. Отсюда следует, что для математики логика имеет еще большее значение, чем для других наук.

Если логику причисляют к философии, то отсюда получается наличие особенно тесной связи между математикой и философией, что подтверждается и историей науки (Платон, Декарт, Лейбниц, Ньютон, Кант).

Но, может быть, математика имеет свои особые способы вывода, которые не входят в компетенцию логики? Причем, можно указать на вывод от n к n + 1 — бернуллиевскую индукцию. И все-таки даже присущий математике способ вывода должен подчиняться некоторому закону. И этот закон, даже если он не является логическим, будет принадлежать математике; его можно присоединить к теоремам или аксиомам этой науки. Бернуллиевская индукция основывается на законе, который может быть выражен так: Если число 1 имеет свойство F и если для каждого положительного целого числа n справедливо, что если оно имеет свойство F, то этим свойством обладает и n + 1, то каждое положительное целое число обладает свойством F. Если этот закон можно доказать, он будет включен в число теорем математики, в противном случае — в число аксиом. Если производят заключение согласно бернуллиевской индукции, то, собственно, применяют эту теорему или аксиому математики, т.е. принимают эту истину в число посылок вывода. Пример: доказательство предложения (а + b) + n = а + (b + n).

Поэтому и присущие математике способы вывода можно свести к общему закону, если не логики, то самой математики. А из этого закона выводят следствия, руководствуясь общими логическими законами. Рассмотрим переходы в математике несколько более точно и, прежде всего, обратим внимание на выводы. Мы можем различить два вида заключений: заключения из двух посылок и заключения из одной посылки. Продвижение в математике происходит так, что мы одну или две уже признанные истины избираем в качестве посылок некоторого вывода. Полученное таким образом заключительное предложение является новой истиной математики. И эта новая истина — одна или в связи с другими истинами — опять может использоваться для дальнейшего вывода. Каждую полученную таким образом истину можно было бы назвать теоремой. Но обычно теоремами называют только такие истины, которые не только получены посредством некоторого вывода, но и сами ; опять используются в качестве посылок не только для одного, но для нескольких выводов в построении науки. Так между истинами образуются цепи выводов; и чем дальше вперед продвигается наука, тем больше удлиняются цепи выводов и тем они многочисленнее, тем больше разнообразие теорем.

 

Возвратное движение выводных цепей.

 

Но эти выводные цепи можно проследить в обратном на правлении, спрашивая для каждой теоремы: из каких истин она выведена. Если при движении вперед в выводной цепи разнообразие теорем увеличивается, то при возвратном движении круг все больше суживается. В то время как возможности продвижения вперед, по-видимому, безграничны, возвратное движение должно однажды закончиться, достигнув истин, которые уже не могут быть выведены из других истин. Так мы наталкиваемся на аксиомы, постулаты и, может быть, также — определения. Одна ко позднее это следует рассмотреть более подробно. Если, исходя из некоторой теоремы, мы следуем по выводной цепи в об ратном направлении и приходим к другим теоремам или аксиомам, постулатам или определениям, то мы находим выводную цепь, которая, исходя из известных теорем, аксиом, постулатов или определений, заканчивается нашей теоремой.

 

Доказательство

 

Вот эта цепь выводов и образует доказательство нашей теоремы. Мы можем сказать, что доказательство, исходя из признанных истин, приводит к теореме посредством выводной цепи. Но возможно также, что доказательство состоит из одного единственного вывода. В большинстве случаев доказательство будет проходить через истины, которые не называются теоремами только потому, что входят лишь в это доказательство и больше не употребляются. Доказательство должно не только убеждать в истинности доказываемого, но должно также раскрывать логическую связь истин друг с другом. Поэтому уже Евклид доказывал истины, которые, кажется, не нуждаются ни в каком доказа тельстве, т. к. ясны и без этого.

 

Первоначальные истины.

 

Наука имеет потребность доказывать то, что как-либо может быть доказано, и не успокаивается до тех пор, пока не натолкнется на нечто недоказуемое. Она должна стремиться к тому, чтобы как можно больше сузить круг недоказуемых первоначальных истин. Тогда в этих первоначальных истинах содержится как в зародыше вся математика. Дело заключается лишь в том, чтобы развить ее из этого зародыша. Существо математики определяется этим зародышем, и вопрос о том, что такое математика, решается уже этими первоначальными истинами. Если мы примем, что нам удалось отыскать эти первоначальные истины, и будем развивать из них математику, то последняя предстанет как система истин, которые связаны друг с другом посредством логических выводов.

 

Определения. Истолкования.

 

Мы подошли к определениям. От собственно определений следует отличать истолкования. Если мы начинаем построение науки, мы не можем избежать употребления слов нашего языка. Но чаще всего эти слова непригодны для научных целей, так как они не являются достаточно определенными и подвержены колебаниям в употреблении. Науке нужны искусственные выражения, имеющие вполне определенные и твердые значения; и для того, чтобы сделать понятными эти значения и исключить возможные недоразумения, используются объяснения. Конечно, при этом можно опять использовать только слова языка, обладающие теми же недостатками как и те, объяснению которых они должны помочь. Поэтому кажутся необходимыми новые объяснения. С теоретической точки зрения, так нельзя достигнуть цели; однако практически все-таки удается добиться понимания значения слов. Конечно, при этом следует рассчитывать на желание понять, на понимание того, что имеется перед глазами. Но все это предшествует построению системы и не принадлежит самой системе. При самом построении нужно предполагать, что слова имеют определенные и известные значения. Поэтому мы можем здесь оставить объяснения вне рассмотрения и обратиться к построению системы.

 

Собственно определения

 

При этом одна и та же группа знаков — будут они звуками, связью звуков или письменными знаками — может повторяться и это побуждает к тому, чтобы для этой группы ввести один простой знак, устанавливая, что этот простой знак должен всегда стоять вместо этой группы. Как предложение, в общем, является некоторым составным знаком, так и мысль, которую выражает предложение, является составной, так что частям мысли соответствуют части предложения. Поэтому также и группа знаков, входящая в некоторое предложение, будет иметь некоторый смысл, который является частью мысли. Если для такой группы знаков введен, как было сказано, один простой знак, то такое установление является определением. Благодаря этому, простой знак обладает некоторым смыслом, а именно, тем, который имеет группа знаков. Отсюда следует, что для системы определения не являются необходимыми. Можно было бы везде оставить группы знаков. Введение простого знака содержательно ничего не добавляет, лишь выражения становятся проще и удобнее в обращении. Таким образом, собственно определение имеет дело только со знаками. Простые знаки мы будет называть объясняемыми, а сложные группы знаков, которые ими заменяются, будем называть объясняющими выражениями. Объясняемый знак должен получать свой смысл только через объясняющее выражение. Он складывается из смысла частей объясняющего выражения. Объяснение строит смысл некоторого знака не из более простых составных частей, но трактует его как нечто простое; оно только уменьшает непонимание для многозначных выражений. После того, как посредством определения некоторый знак получил значение, он его отныне имеет, и определение переходит в предложение, в котором утверждается тождество. Конечно, это предложение содержит только тавтологию, которая не расширяет наше знание. Оно содержит истину, которая является настолько очевидной, что кажется бессодержательной, и, тем не менее, в построении системы она, по-видимому, будет использоваться в качестве предпосылки. Я говорю: по-видимому, так как-то, что при этом представляется в форме некоторого вывода, не может дать никакого нового знания, а приводит, в сущности, только к упрощению выражений, от которого можно было бы и отказаться, если бы упрощение выражений не казалось желательным. Действительно, посредством одних определений нельзя доказать истину, которая без них не была бы доказуема. Если то, что представляется в качестве определения, делает возможным доказательство некоторой истины, то значит, это не является чистым определением, но содержит в себе нечто такое, что или доказываться как теорема, или должно быть признано в качестве аксиомы. Конечно, может показаться, что как будто определение делает возможным некоторое доказательство. Но при этом следует проводить различие между предложением и выражаемой мыслью. Если в некоторое предложение входит объясняющее выражение и мы заменяем его объясненным знаком, то в мысли ничего не изменяется. Хотя при этом мы получаем некоторое другое предложение, но не другую мысль. Если эту мысль мы хотим доказать таким образом, чтобы она явилась в форме второго предложения, то для этого мы, конечно, нуждаемся в определении. Но если эта мысль вообще может быть доказана, она может быть доказана так же и в том случае, когда выступает в форме первого предложения, и определение при этом не нужно. Если в качестве доказываемого принимают предложение, то определение может оказаться существенным, но оно несуществен но, если в качестве доказываемого рассматривают мысль. Согласно этому, кажется, что определение должно быть чем- то весьма несущественным. Действительно, с логической точки зрения определение представляется весьма несущественным и излишним. Конечно, я понимаю, что это вызывает сильное сомнение. Можно, вероятно, сказать: в определении осуществляется логическое разложение. Но так же как мне может быть без различно, разлагаю ли я некоторое тело химически для того, чтобы увидеть, из каких частей оно состоит, так же безразлично мне может быть то, провожу ли я логическое разложение в некоторой логической области для того, чтобы узнать ее составные части, или оставляю неразделенным то, что на самом деле разделено. И все-таки выработку определений нельзя представлять как нечто совершенно неважное перед лицом немалой духовной работы, которая требуется для установления хорошего определения. В этом несомненно есть нечто истинное, но прежде чем я остановлюсь на этом подробнее, я хочу подчеркнуть еще следующее. Логически несущественное никоим образом не является таковым психологически. Если рассматривать нашу духовную деятельность так, как она действительно протекает, то мы найдем, что далеко не всегда некоторая мысль ясна во всех своих составных частях нашему сознанию. Если, например, мы употребляем слово «интеграл», то всегда ли мы осознаем все то, что принадлежит смыслу этого слова? Я думаю, что это происходит в очень редких случаях. В большинстве случаев в нашем сознании будет находиться только слово, связанное, конечно, с более или менее смутным знанием о том, что это слово есть знак, который имеет некоторый смысл, и что мы могли бы вспомнить этот смысл, если бы захотели. Но мы довольствуемся сознанием этой возможности. Если бы мы захотели вспомнить все, относящееся к смыслу этого слова, мы бы не продвинулись вперед. Наше сознание не является столь всеобъемлющим. Часто нам нужен знак, с которым мы связываем очень сложный смысл. Этот знак служит нам, так сказать, в качестве сосуда, в котором мы можем держать этот смысл, всегда осознавая, что мы всегда можем открыть этот сосуд, если нам понадобится его содержимое. Из этого рассмотрения следует, что мысль — в том смысле как я понимаю это слово — никоим образом не совпадает с содержанием моего сознания. Согласно этому, если нам нужен такой знак, в котором мы как в некотором сосуде, так сказать, скрываем очень сложный смысл, то нам нужны также определения, с помощью которых мы этот смысл вводим в сосуд и, с другой стороны, с помощью которых вновь извлекаем его оттуда. Поэтому если с логической точки зрения определения совершенно несущественны, то, тем не менее, для мышления они имеют большое значение, как это и имеет место у людей. Выше было упомянуто возражение, сделанное с той точки зрения, что посредством определений происходит логическое разложение. Действительно, в развитии науки может быть так, что в течение длительного времени некоторое слово, знак, выражение употребляют, рассматривая его смысл как нечто простое, пока не приходят к тому, чтобы разложить его на более простые логические части. Благодаря такому разложению можно надеяться сократить число аксиом; так как истина, содержащая сложную составную часть, возможно не может быть доказана до тех пор, пока эта составная часть остается не разложенной. Но, может быть, ее можно доказать из истин, в которые входят части, полученные разложением. Поэтому кажется, что благодаря определению, поскольку оно способствует разложению, становится возможным доказательство, которое не было возможно без этого разложения. — Это, по-видимому, находится в противоречии к сказанному ранее. То, что до разложения кажется аксиомой, после разложения может оказаться теоремой. Согласно чему судят, является ли логическое разложение правильным? Доказать этого нельзя. Самое большее можно только установить, что после разложения текст предложения остается тем же самым, каким он был прежде. Но что мысль остается той же самой — это спорно. Если смысл некоторого долго употреблявшегося слова или знака предполагается логически разложенным, мы получаем некоторое сложное выражение, части которого известны по их смыслу. Смысл этого сложного выражения должен получаться отсюда. Совпадает ли он со смыслом того длительно употреблявшегося слова? Я думаю, это можно утверждать только тогда, когда он непосредственно очевиден. Тогда здесь имеют дело с аксиомой. Но это совпадение смысла' издавна употреблявшегося простого знака со смыслом образованного сложного выражения есть, собственно, то, что должно устанавливать определение. Таким образом, мы должны различать два совершенно раз личных случая.

1. Мы строим некоторый смысл из его составных частей и вводим совершенно новый простой знак для того, чтобы выразить этот смысл. Это можно назвать «построенным определением», но мы будем называть это просто «определением».

2. Некоторый простой знак уже долго был в употреблении. Его смысл мы представляем как логически разложенный и полу чаем сложное выражение, относительно которого мы считаем, что оно выражает тот же самый смысл, что и первое. В качестве составной части сложного выражения допускается только то, что само имеет признанный смысл. Смысл этого составного выражения должен складываться из смысла его составных частей. То, что он согласуется со смыслом ранее употреблявшегося простого знака, не есть дело произвольного установления, но может быть признано только посредством непосредственной очевидности. Здесь, вероятно, также говорят об определении. В отличие от первого случая здесь можно говорить о «разлагающем определении». Но здесь лучше совсем избегать слова «определение», так как-то, что хотели бы называть определением, в данном случае следует понимать как аксиому. В обоих этих случаях для произвола не остается никакого места, так как простой знак уже имеет смысл. Только тому знаку, который еще не имеет смысла, произвольно можно приписать некоторый смысл. В связи с этим мы хотим сохранить свою первоначальную терминологию и называть определениями только конструирующие определения. Согласно этому, определением является такое произвольное установление, благодаря которому некоторому простому знаку, ранее не имевшему никакого смысла, придается смысл. Этот смысл, конечно, должен быть выражен посредством сложного знака, смысл которого возникает из сложения.

Остается еще рассмотреть затруднение, с которым мы встречаемся при логическом разложении, когда неясно, верно ли это разложение.

Допустим, что А является издавна употреблявшимся простым знаком (выражением), смысл которого мы пытаемся логически разложить так, что образуем сложное составное выражение в качестве представления этого разложения. Поскольку мы не уверены в том, насколько удалось нам разложение, мы не рискуем представлять составное выражение как взаимозаменимое с данным простым знаком А. Если мы хотим установить настоящее определение, мы не можем выбрать знак А, который уже имеет смысл, но должны взять совершенно новый знак, скажем В, которому только с помощью определения придается смысл составного выражения. Встает вопрос, имеют ли А и В один и тот же смысл? Однако мы можем совершенно обойти ответ на этот вопрос за счет того, что построение системы проводим на совершенно новой основе и вместо знака А употребляем только знак В. Для нашего составного выражения мы произвольно ввели знак В и придали ему некоторый смысл. Это есть определение в собственном смысле, а именно, конструирующее определение. Если при построении системы математики удается обойтись без знака А, то мы можем остановиться на этом и на вопрос о том, в каком смысле этот знак употреблялся раньше, вовсе не отвечать. Так можно освободиться от возражений. Но из соображений целесообразности можно рекомендовать пользоваться знаком А вместо знака В. Но тогда мы должны рассматривать его как совершенно новый знак, который до определения не имел никакого смысла. Мы должны также объяснить, что смысл, в котором этот знак использовался до построения системы, нами совершенно не рассматривается, что отныне смысл этого знака заимствуется только из данного нами конструирующего определения. Ничто из того, что происходило в математике до по строения нашей системы, логически не должно приниматься во внимание при этом построении. Все должно делаться заново. Даже то, что мы совершали при разложении, должно рассматриваться только как подготовительная деятельность, которая не проявляется в построении самой системы. Возможно остается еще некоторая неясность. Можно спросить, почему остается сомнительным, имеет ли простой знак тот же самый смысл, что и составное сложное выражение, если известен смысл как этого простого знака, так и смысл этого со ставного выражения? Действительно: если смысл простого знака вполне ясен, то не может быть сомнений в том, совпадает ли он со смыслом составного выражения. Если это спорно, хотя смысл сложного выражения можно точно установить из составления, то причина должна заключаться в том, что неясен смысл самого простого знака. Результат логического разложения будет тогда состоять в том, что вырабатывается четкий смысл этого знака. Это весьма полезная работа, но она не входит в построение системы, а должна ему предшествовать. Прежде чем начинать по строение, следует хорошо обработать строительные кирпичи, имеющиеся в нашем употреблении, т.е. слова, знаки, выражения которые употребляются, должны иметь ясный смысл, если в самой системе им не придается смысл с помощью конструирующих определений. В соответствии с этим мы сохраняем первоначальное определение, согласно которому определение является произвольные установлением, с помощью которого для некоторого составное выражения вводится новый знак, смысл которого вводится определением. Знак, который до этого не имел никакого смысла, посредством определения получает смысл этого составного выражения. Если мы познакомимся со статьями по математике, то иногда встретимся с тем, что то, что выглядит как определение и как таковое обозначается, не будет собственно определением. Такие определения можно сравнить с деталями архитектурных украшений, которые выглядят так, как будто бы они несут некоторую тяжесть, в то время как они могут быть устранены без ущерба для прочности здания. Такие определения можно узнать по тому, что они не используются, что они не применяются ни в одном доказательстве. Но если слово или знак, введенные определением, используются в некоторой теореме, то это может происходить только благодаря применению определения или тождеству, непосредственно следующему из определения. Если совсем никакого такого применения нет, где-то должна быть ошибка. Конечно, такое применение может подразумеваться. Поэтому для ясного понимания положения дел так важно, чтобы для каждого вывода, входящего в доказательство, можно было знать его посылки и закон, согласно которому происходит вывод. Когда доказательство проводится так, как теперь распространено, нельзя с уверенностью знать, что, собственно, используется при доказательстве, на чем оно основывается. И поэтому в этом случае нельзя узнать, является ли некоторое определение только лишь архитектурным украшением, которое используется лишь потому, что однажды стало обычным, или оно действительно имеет глубокое оправдание. Вследствие этого важно проводить доказательство именно так, как мы этого требуем. Другой вид недопустимых определений можно выделить по средством алгебраической картины. Предположим, что три не известные величины х, у, z входят в три равенства. Тогда их можно определить посредством этих равенств. Точнее говоря, они определены только тогда, когда решение возможно. Аналогичным образом, такие слова как «точка», «прямая», «плоскость» могут входить в ряд предложений. Предположим, что эти слова не имеют еще никакого смысла. Предположим, что для каждого из этих слов найден такой смысл, что эти предложения выражают истинные мысли. Но дается ли посредством этого однозначное определение? В общем — нет; и большей частью остается нерешенным, насколько возможно определение. Но если можно доказать, что возможно только одно решение, тогда это решение давало бы определение, так как каждому из объясняемых слов смысл придавался только посредством конструирующего определения. Но та система предложений, в которую для каждого объясняемого слова входит несколько выражений, не может быть признана в качестве определения. Особым случаем является тот, в котором только один знак, еще не имеющий никакого смысла, входит в одно или несколько предложений. Предположим, что остальные составные части предложения известны. Возникает вопрос, какой смысл должны мы придать этому знаку для того, чтобы предложения стали осмысленными и при этом выражаемые мысли были истинными. Этот случай можно сравнить с тем, когда буква х входит в одно или несколько равенств, остальные части которых известны, и задача состоит в следующем: какое значение должны придать мы букве х для того, чтобы эти равенства выражали истинные мыс ли? Если дано несколько равенств, то эта задача большей частью будет неразрешимой. Очевидно, посредством этого никакое число в общем не определяется. То же самое происходит в выше упомянутом случае. Благодаря тому, что некоторый знак употребляется в одном или нескольких предложениях, остальные со ставные части которых известны, этому знаку еще не придается никакого смысла. Алгебра обладает еще тем преимуществом, что можно нечто сказать о разрешимости и числе возможных решений, чего нельзя сделать в общем случае. Но один знак не может быть многозначным. Для знаковой системы, которая должна служить для научного употребления, важнейшим требованием является требование однозначности. Ведь нужно знать, о чем говорят и что говорят, какие мысли выражают. Конечно, имеются люди, воображающие себя логиками и полагающие, что понятийные слова отличаются от собственных имен тем, что они многозначны. Слово «человек», например, означает как Платона, так и Аристотеля, и Карла Великого. Слово «число» обозначает 1, а также 2 и т. д. Это совершенно ошибочно. Конечно, словом «этот человек» я в одном случае могу обозначать одного, в другом — другого. Но в каждом отдельном случае этим словом я буду обозначать одного-единственного человека. Предложения нашего повседневного языка кое-что заставляет угадывать. И правильное угадывание становится возможным благодаря сопровождающим обстоятельствам. Предложение, высказываемое мною, не всегда содержит все требуемое, кое-что должно восполняться из окружающей обстановки, из моего поведения или взгляда. Но язык, предназначенный для научного употребления, ничего не может оставлять догадке. Понятийное слово, связанное с указательным местоимением или определенным артиклем, часто имеет логическое значение собственного имени, так как служит для обозначения одного-единственного определенного предмета. Но в качестве собственного. имени выступает тогда не одно понятийное слово, но некоторое, целое, состоящее из самого понятийного слова, указательного местоимения и окружающих обстоятельств. Понятийное слово в собственном смысле мы имеем там, где оно стоит без определенного артикля, без указательного местоимения, без артикля либо с неопределенным артиклем, или связано со словами «все», «ни один», «некоторые». Не следует думать, что я хочу нечто высказать о некотором совершенно мне неизвестном предводителе какого-нибудь племени из Африки, когда я говорю «Все люди смертны». Я ничего не говорю ни о том, ни о другом человеке, а подчиняю понятие человека понятию смертного. В предложении «Катон смертен» я имею подпадение под категорию (субсумцию), в предложении «Все люди смертны» — субординацию. Здесь идет речь о понятии, а не об отдельной вещи. Также не следует думать, что в предложении «Все люди смертны» содержится смысл предложения «Катон смертен» так, что высказывая первое, я одновременно выражаю мыслимое содержание второго. Напротив, дело обстоит следующим образом. В предложении «Все люди смертны» я высказываю: «Если некто есть человек, то он смертен». Посредством вывода от общего к особенному я получаю отсюда предложение: «Если Катон является человеком, то Катон смертен». Поэтому мне нужна еще одна посылка, а именно «Катон есть человек». Из этих двух посылок я вывожу «Катон смертен».

Так как здесь нужны вывод и вторая посылка, то в предложении «Все люди смертны» мысль о том, что Катон смертен, не выражается. Следовательно, «человек» не есть слово, которое является многозначным и среди своих многих значений имеет также то, которое мы обозначаем собственным именем «Платон», а служит в качестве понятийного слова для обозначения некоторого понятия. Понятие же совершенно отлично от отдельной вещи. Если я говорю «Платон есть человек», я при этом не придаю Платону некоторого нового имени, а именно, имени «человек», но говорю, что Платон подпадает под понятие человека. Также совершенно различны случаи, когда я определяю 2 + 1 = 3 и когда я говорю «2 + 1 есть простое число». В первом случае знаку «З», который еще пуст, я придаю смысл и значение тем, что говорю, что он должен означать то же самое, что и связь знаков «2 +1». Во втором случае значение «2 + 1» я подвожу под понятие простого числа. Тем самым я не даю ему нового имени. Также вследствие того, что различные предметы я подвожу под одно и то же понятие, понятийное слово не становится многозначным. Поэтому слово «простое число» в предложениях

 

«2 есть простое число»

«З есть простое число»

«5 есть простое число»

 

не будет многозначным из-за того, что 2, 3, 5 являются различными числами, так как «простое число» не является именем, которое придается этим числам.

Понятие по своей сущности является предикативным. Если в предложение входит некоторое пустое имя и остальные части предложения известны, так что предложение получает смысл в случае придания смысла этому собственному имени, то в этом предложении — поскольку собственное имя еще пусто — мы имеем возможное высказывание, но не имеем никакого предме та, о котором высказывается. Поэтому в предложении «х есть простое число» мы имеем возможное высказывание, но поскольку буква «х» не имеет никакого значения, у нас отсутствует предмет, о котором высказывается. Об этом мы можем сказать также так: у нас есть некоторое понятие, но нет никакого пред мета, который под него подпадает. Если мы возьмем еще одно предложение, а именно, «х, умноженный на 2, есть число, делящееся на 4», то здесь мы также имеем некоторое понятие. Оба эти понятия мы можем принять в качестве признаков некоторого нового понятия тем, что предложения «х есть простое число», «х умноженный на 2, есть число, делящееся на 4» рассматриваем как одно целое. Под это понятие подпадает только один предмет, число 2. Но понятие, под которое подпадает только один предмет, все равно остается понятием, а понятийное выражение не становится собственным именем. Мы останавливаемся на следующем: предложения, содержащие некоторый пустой знак, другие составные части которых известны, не могут быть признаны определениями. Но для объяснения такие предложения могут служить, так как они позволяют угадать, что должно подразумеваться под тем или иным знаком или словом. Я читал, что словесные определения осуждаются и якобы представляются в качестве таких, которые не могут вообще использоваться. При этом в качестве примера указывают на одно из данных мною определений. Но не было сказано, чем является словесное определение. Слова или знаки используются в каждом определении. Возможно, под словесным определением имеют в виду такое, которое в объясняющей части содержит слово, не имеющее смысла. Такое слово, конечно, не должно входить в определение; но из того, что читающий не связывает с некоторым словом никакого смысла, еще не следует, что автор определения не связывает с этим словом никакого смысла. Настаивание на некотором смысле оправдано тем и настолько, насколько много математиков стремятся только доказывать предложения, не заботясь о том, имеют ли эти предложения смысл и какой именно. Сколь мало внимания обращают на смысл и на определения, явствует из того, что относительно того, что есть число, математики дают сильно отличающиеся одно от другого объяснения. (Речь идет о положительных целых числах.) Вейерштрасс говорит: «Число есть ряд однородных вещей». Другой говорит, что числами будут определенные искусственные письменные изображения, такие, как 2, 3 и т. д. Третий думает: если я слышу, что часы бьют три, то отсюда я не слышу, что есть три. Таким образом, число не может быть чем-то слышимым. Если я вижу три черточки, то отсюда я не вижу, что есть при этом три. Таким образом, число не может быть чем-то видимым. Одна аксиома не есть нечто видимое, таким образом, если речь идет о трех аксиомах, три при этом также не есть нечто видимое. Число вообще не может быть тем, что воспринимается чувствами. Очевидно, каждый из них со словом «число» связывает иной смысл. Поэтому арифметики этих трех математиков также должны значительно отличаться одна от другой. Предложение первого должно иметь совершенно отличный смысл от одинаково звучащего предложения второго. Это подобно тому, как если бы ботаники не были согласны относительно того, что они хотят понимать под растением, так что один ботаник имел бы под этим в виду органические объекты, другой — искусственно созданные человеком предметы, а третий хотел бы под растением понимать то, что вообще не может быть воспринято с помощью органов чувств. Такое различие в истолкованиях объекта изучения не позволило бы создать единой ботаники. Но почему нельзя остановиться на том, что число должно быть рядом однородных вещей? К сожалению, это вызывает сомнения. А именно, легко обнаружить, что смысл слова «ряд» является недостаточно определенным. Нужно ли при этом подразумевать пространственное упорядочение, или также и временное или, может быть, пространственно-временное? Далее, неясно, что нужно понимать под «однородными». Являются ли, например, звуки некоторой последовательности звуков однородными уже как звуки, или только в том случае, если они имеют одну и ту же высоту тона? Но предположим, что даны такие объяснения, которые устраняют эти сомнения. Железнодорожный поезд есть ряд однородных предметов, движущихся на колесах по рельсам. Вероятно, можно предположить, что локомотив есть вещь некоторого другого рода. Однако это не влечет никакого существенного различия. И такое число вихрем промчится аж до Берлина. Предположим, что наука строится на так понимаемых числах. Без сомнения, она должна совершенно отличаться от той науки, в которой числами называют определенные изображения, наносимые письменными принадлежностями на поверхность бумаги. Так же и в том случае, когда числом считается звучащее слово, выражаемые мысли будут совершенно иными. Удивительно, что предложения этих принципиально различных наук, каждая из которых называется арифметикой, будут вполне согласоваться в звуковой речи. И еще более удивительно, что исследователю в этих науках совсем не приходит в голову мысль о том, что его науки принципиально различны. Все думают, что занимаются арифметикой, одной и той же арифметикой, одним и тем же учением о числе, хотя то, что именует число у одного, не имеет никакого сходства с тем, что оно именует у другого. Как это возможно? Можно подумать, что звуковое слово, форму выражения математики считают существенным, а выражаемые мысли — совершенно несущественным. Может быть, думают так: «Мысленное содержание предложений никак не касается математика, это есть дело философа; а все философское является совершенно неточным, недостоверным и, собственно, ненаучным. Математик, который заботится о своей научной репутации, не занимается этим. Конечно, однажды на уроке у него с языка может сорваться некоторое определение или нечто похожее на него, но он не придает ему никакого значения. На это ему начхать. Существенно только то, чтобы все согласовывалось в речи и в формулах. Математик, не зараженный философией, довольствуется этим».Но в таком случае, что же это за наука, которая доказывает предложения, не зная, что она доказывает? Является ли она действительно тем, в чем согласуются мнения математиков в разговорном языке? Не написаны ли математические статьи на разных языках и только переводятся с одного языка на другой? Разговорный же язык при этом пропадает. Но должно быть нечто та кое, что сохраняется. Чем может быть это другое, кроме смысла? Поэтому мысль, не являющаяся смыслом некоторого предложения, может быть совершенно несущественной. И не таится ли где-то глубоко внутри каждого предчувствие того, что мысленное содержание и есть, собственно, то, о чем идет речь? Но как же получается, что к этому относятся как к чему-то второстепенному? Как можно воображать, что две совершенно различные науки имеют одно и то же содержание? Неужели только потому, что обе называются арифметикой, что в обеих идет речь о числах, хотя то, что в одной называется числами, совершенно отлично от того, что называется числами в другой? Или это следует понимать так, что речь идет действительно об одной и той же науке, что одна со словом число связывает, по сути дела, тот же самый смысл, что и другая, но только никак не удается правильно схватить этот смысл? Может быть, смысл для них представляется столь несущественным именно потому, что как только его допускают, то сразу же и понимают? Один, может быть, понимает справа, другой — слева, поэтому они понимают не одно и то же, хотя стремятся понять одинаково. Каким густым должен быть туман для того, чтобы это получилось! Ведь различие должно стать заметным уже при доказательствах. Во всяком случае, если доказательства проводятся строго логически в последовательности выводов, не содержащей пропусков. Но именно такая строгость отсутствует. Если некоторое определение не употребляется, то оно столь же хорошо, как и несуществующее. Оно вполне может не попасть туда, куда его нацеливали. Другой математик также возможно промахивается с другой стороны, но так как он не делает никакого употребления из своего определения, оно столь же хорошо, как и несуществующее. И поэтому получается, что определения, которые, казалось бы, несовместимы, мирно уживаются друг с другом как животные в райском саду. Быть может, на самом деле так и есть. Можно было бы еще обратить внимание на то, как происходит умножение чисел Вейерштрасса. Рядом с моим окном стоит книжная полка; на ее верхней доске находится ряд однородных вещей, некоторое число. Сегодня во второй половине дня, приблизительно в 5 час. 15 мин., прибывает скорый поезд из Берлина на вокзал, — так же число. Согласно широко распространенному мнению, умножение одного числа на другое снова дает число. Таким образом, посредством умножения того ряда книг со временем прибытия поезда должны снова получить ряд однородных вещей. Но как это сделать? В записи лекции Вейерштрасса я читаю: «Согласно определению, числовая величина возникает благодаря повторной постановке однородных элементов». Вот так, по-видимому, должно происходить применение этого определения. Что оно говорит? «Мы можем представить ряд однородных вещей, если под однородными вещами понимаем такие вещи, которые согласуются в целом комплексе определенных признаков. Именно такой ряд мы понимаем под понятием числовой величины». Здесь говорится о числовой величине вместо числа, но это несущественно. Сначала выдвигается утверждение: «Мы можем представить ряд однородных вещей». Это есть некоторая психологическая истина, которая здесь нас не касается. Но следует ли из этого определения, что числовая величина возникает благодаря повторной постановке однородных элементов? Согласно определению, тот скорый поезд без сомнения является числовой величиной, так как он есть ряд вещей, которые согласуются относительно комплекса признаков. Возникает ли железнодорожный поезд благодаря повторной постановке железнодорожных вагонов? Должен ли я один и тот же вагон ставить повторно? И как я это сделаю? Или я должен один вагон ставить после другого? Тогда я это лучше выразил бы так: «Железнодорожный поезд возникает благодаря тому, что один вагон ставят после другого». Я не думаю, что железнодорожники уже знают этот вид возникновения железнодорожного поезда. И также я усомнился бы в том, что числовая величина возникает благодаря повторной постановке однородных вещей. Из данного определения еще ничего нельзя заключить о способе возникновения. В записи лекций далее стоит: «Понятие "величина" само можно рассматривать как единство и ставить повторно, например, b, b, b, ...». Удивительно! Одно и то же понятие можно ставить повторно! Буква b здесь по-видимому должна быть знаком понятия величины. Повторяю ли я это понятие величины тем, что повторно записываю знак этого понятия? Здесь, кажется, появляется ошибка. По крайней мере мне кажется, что должно было бы повторяться не понятие величины, а отдельная числовая величина. Тогда b можно было бы рассматривать как знак этой число вой величины, например, этого железнодорожного поезда. Но что может повторное написание этого знака сделать с повторной постановкой железнодорожного поезда? Или числовой величиной должен быть не сам железнодорожный поезд, а представление, которое я имею о железнодорожном поезде? Но тем самым вопрос переместился бы в область психологии и субъективного, не становясь от этого яснее. Числовые величины стали бы образами сознания, а арифметика — частью психологии. И все-таки как же мы добиваемся умножения. Запись лекции продолжает: «Имеется некоторая величина, которая содержит все эти b. Если b входит а раз, то с помощью а *b мы обозначаем сумму, состоящую из b, сложенных а раз».

Здесь может вызвать недоумение то, что знак «b» вдруг становится понятийным словом. Первоначально он был собственным именем некоторой числовой величины, например, некоторого железнодорожного поезда, и речь идет обо всех этих b. Поясним это на примере. Допустим, что мы повторяем Президента| Соединенных Штатов Вильсона и благодаря этому получаем ряд президентов Вильсонов. Первоначальное собственное имя становится nomen appelatinium и каждый отдельный экземпляр, полученный повторной постановкой, является президентом Вильсоном. Таким образом, посредством повторения президента Вильсона мы получили ряд президентов Вильсонов; и в этот ряд входит определенный президент Вильсон (здесь мы опять имеем собственное имя, как показывает определенный артикль) — а также в этот ряд президентов Вильсонов несколько раз входит тот самый президент Вильсон. Именно так должны мы представлять дело и здесь. Скорый поезд, прибывающий сегодня после обеда в 5 час. 15 мин., обо значим посредством b. Это b является числовой величиной. Мы несколько раз повторяем данную числовую величину. Благодаря этому мы получаем ряд скорых поездов b. Существует числовая величина, которая содержит все эти скорые поезда b. Так ли? Ведь это опять будет некоторый поезд, но где он находится? Скорый поезд b входит в этот поезд несколько раз. Если он входит а раз, то с помощью а х b мы обозначаем сумму, которая состоит из b, повторенного а раз. Об этой сумме речь идет еще совсем не шла. Вероятно, она представляет собой числовую величину, которая содержит все эти полученные повторением по езда, и эта числовая величина сама, по всей вероятности, будет железнодорожным поездом. Знаем ли мы, чем является а х b также является некоторой числовой величиной; и мы хотели бы знать, как мы умножаем железнодорожный поезд на верхний ряд книг, стоящих у окна на моей книжной полке. Назовем этот ряд книг а. Но что тогда следует понимать под a-раз? Такое умножение — чертовски тяжелая вещь! Но, как утверждает запись лекции, мы получаем одну и ту же величину как посредством повторения bа раз, так и посредством повторения аb раз. Таким образом, у нас есть выбор. Может быть, будет лучше, если мы b раз повторим книжный ряд а? Кажется, это столь же тяжело сделать. Та числовая величина, которую мы обозначаем посредством а х b, состоит из книг или из железнодорожных вагонов? Кто бы мог подумать, что умножение окажется столь трудным! А что должны делать девятилетние дети? Взвесьте еще трудность, связанную с повторением железнодорожного поезда! Можно только умиляться тому, с какой ловкостью — скорость дело нехитрое —исчезают здесь числовые величины и вместо них появляется на свет то, что обыкновенно называют числами. И еще одним другим способом тайком вводятся числа. Так говорят: «Но так как при этом ориентируются не на последовательности, а на множества элементов, то

а +b = b + а».

Если бы некоторая числовая величина действительно была рядом однородных вещей, то ориентировались бы на последовательность; так как изменяя последовательность, мы изменяем ряд. И не является ли, собственно, то, что здесь называется множеством элементов, тем, что называют числом элементов? Точно так же ссылаются не на ряд однородных вещей, а на число: откуда вытекает различность ряда однородных вещей и числа? Как здесь собственно числа протаскиваются в качестве множеств, так в других формулировках они протаскиваются в качестве значения. Мы видели, что в равенстве

a + b = с

а, b и с должны быть числовыми величинами, а далее следует: «Если имеются оба равенства

а + b = с

а * b = с,

то при сложении и умножении устанавливается значение с, если даны значения а и b». Здесь значение некоторой числовой величины отличается от самой числовой величины. И это значение тем не менее, будет ничем иным, как числом. Действительно ли при сложении по Вейерштрассу устанавливается значение? Допустим, у нас есть железнодорожный поезд а и железнодорожный поезд b. Мы отделяем друг от друга вагоны b и связываем их с а. Так мы получаем некоторый железнодорожный поезд с; и Вейерштрасс говорит, что он возник посредством сложения b и а. Здесь не видно ничего больше, чем то, что из ряда а и ряда b был образован новый ряд с; но о значении с ничего нельзя от крыть. Не значение с было установлено, а было образовано само с. Поэтому везде мы видим противоречие между данным Вейерштрассом определением и тем, что он говорит дальше. То, что Вейерштрасс здесь называет значением, едва ли может быть чем- то иным, кроме того, что обычно называют числом. Далее в записи лекций стоит: «Числовая величина определена тогда, когда задано, какие элементы и как часто она содержит». Ну, для железнодорожного поезда в качестве элементов мы должны, вероятно, рассматривать вагоны. Таким образом, железнодорожный поезд определен тогда, когда задано, какие вагоны он содержит и как часто. Один из моих университетских преподавателей рассказывал однажды об изобретателе вечного двигателя, который провозглашал: «Да, у меня это есть; не хватает только одного крючка, (| который всегда делает так», при этом указательным пальцем он делал некое выразительное движение. Это «как часто» напоминает мне тот крючок, который всегда делает так. Не в этом ли, , собственно, и состоит вся трудность? Если имеют тот крючок, что имеют вечный двигатель; и если могут объяснить слова «как часто», могут также и определить число. Однако здесь я что-то пропустил. Сначала нужно сказать, как должно быть расширено понятие числовой величины. «Для этой цели числовые величины должны отныне образовываться из различных единств, в то время как до сих пор все вводимые в вычисления числовые величины вытекали из одного единства». Так ли это? Перед этим было сказано: «Каждый отдельный повторяющийся элемент ряда называют единицей числовой вели чины». Единицей"] «Каждый отдельный элемент является некоторой единицей» — это можно услышать; но «каждый элемент является определенной единицей» — есть бессмыслица. Если слово «единица» должно быть равнозначно со словом «элемент», то мы полу чаем единицы, если имеем элементы, но не определенную единицу. Хотя можно несколько вещей подвести под одно понятие, что и делают, когда каждую из этих вещей называют единицей, но каждую из этих вещей нельзя назвать одним и тем же собственным именем. И «единицу» можно рассматривать как собственное имя, так как это выражение, согласно его языковой форме, служит для того, чтобы обозначать один единственный определенный предмет. Если каждый из нескольких предметов называют «единицей», то совершают ошибку. Так возникает своеобразный перелив между единственным числом и множественным числом. Числовые величины состоят из нескольких элементов, но только из одной единицы, так как каждый элемент есть единица. Как можно это представить? Допустим, мы взяли некоторый железнодорожный вагон, скажем, товарный вагон № 1061 железнодорожного управления округа Эрфурта. Мы повторяем этот товарный вагон и таким образом образуем товарный поезд. Этот товарный поезд состоит из нескольких элементов, а именно, из товарных вагонов, но, тем не менее, всего лишь из одной единицы, так как каждый из этих товарных вагонов является единицей, т.е. первоначально избранным нами товарным вагоном № 1061. Этот товарный вагон повторяется. Хотя я еще никогда не видел товарного поезда, в котором повторяется один и тот же товарный вагон, но, согласно Вейерштрассу, такой поезд должен существовать. Поэтому возможно, что некоторая числовая величина или ряд однородных вещей состоят из нескольких элементов, но только из одной единицы. Теперь возвратимся к предложению: «Некоторая числовая величина определена тогда, когда задано, какие элементы в нее входят и как часто». Даже при самом большом усилии различить элемент и единицу неразбериха повторяется вновь. Неспециалист скажет: «Для железнодорожного поезда дело состоит еще в порядке». Совершенно неверно! У нас здесь только один единственный вагон, который повторяется. И при этом о порядке не может быть никакой речи. Порядок существует только для различных вещей, но не для одного единственного элемента, который повторяется. Но Вейерштрасс еще говорит: «Теперь числовые величины должны образовываться из различных единиц». А тут уже нужно задавать порядок! Так мы все больше углубляемся в непроходимую чащу. Очевидно, Вейерштрасс всегда промахивался мимо того, куда хотел попасть; и поэтому он видел необходимость в том, чтобы вводить собственно числа окольным путем. Он постоянно приходит в противоречие со своими собственными представлениями. Если а есть некоторая числовая величина согласно его определению, то а раз не имеет никакого смысла. Собственно число вводится замаскировано, как множество, или как значение, или в обороте «как часто». При этом появляется своеобразный перелив между единственным числом и множественным числом и, сообразно этому, между собственным именем и понятийным словом. Если некто, не размышлявший над этим, будет разбужен вопросом: «Что есть число?», он, вероятно, даст ответ, не слишком далекий от вейерштрассовского. Но здесь-то ведь думали над этим вопросом! Можно спросить, как это возможно, что столь выдающийся математик мог оказаться совершенно несостоятельным в этом вопросе? Если бы он хотя бы немного подумал, он должен был бы придти к большей ясности. Но он об этом совершенно не думал. А почему не думал? Очевидно, он полагал, что здесь не требуется никакого размышления. Он забыл первое требование: познай незнание! Он не видел никаких трудностей, ему все казалось ясным, и он не заметил, что все время заблуждался. У него отсутствовал идеал системы математики. Мы не находим здесь никакого доказательства, никаких аксиом, а только утверждения, которые противоречат друг другу; и там, где нечто кажется выводимым из его определения, получается ошибочный вывод.; Как только он сделал бы попытку построить систему, он должен, был бы заметить непригодность своего определения. Он имел некоторое представление о том, что такое число, но очень неясное; и он постоянно улучшал и дополнял то, что сразу же должно было следовать из его определения. Он утверждает, что порядок не играет роли, в то время как порядок является существенным! для ряда. Он совсем не замечает, что его утверждения вытекают, не из его определения, а из его представления о том, что такое число. К этому добавляется еще следующее. В школе нужно отказываться от полной научной строгости, так как учащийся не обдает духовной зрелостью для того, чтобы испытывать в этой , потребность. Вероятно невозможно в четвертом или третьем классе обсуждать иррациональные соотношения так, как это делал Евклид, может быть, едва ли это возможно даже во втором классе. Вероятно, в большинстве случаев эти вещи обсуждаются очень поверхностно. По дидактическим причинам все острые углы сглаживаются. И это, может быть, даже необходимо; но на этом нельзя останавливаться. Следует добавлять строгость в проведении доказательств так, что возбуждать нужду в ней и затем удовлетворять ее. Но чаще случается так, что учитель в своем стремлении сделать для учеников интересным все, совершенно забывает об этой второй части своей задачи. Математик может полностью развернуть свои творческие силы только тогда, когда он стремится к величайшей логической строгости. И если сначала от нее несколько отказываются, потом следует обязательно восполнять опущенное. Лучше дать несколько меньше материала, но более основательно провести его логическую разработку. Но это часто отсутствует. Позднее на этот усвоенный в школе предмет смотрят как на нечто давно устаревшее и считают, что уделять ему внимание не совместимо с достоинством ученого. Эти вещи рассматриваются почти только с дидактической точки зрения, представляются чем-то совершенно подчиненным, размышления о котором совершенно бесплодны. Возникает вопрос, как же кто-то может успешно работать в науке, в то время как ему совершенно неясно одно из основных понятий этой науки? Действительно, понятие целого положительного числа является основополагающим для всей арифметической части математики. И неясность относительно этого понятия должна распространяться на всю арифметику. Это, очевидно, значительный недостаток и можно думать, что он должен препятствовать успешной работе в этой науке. Неужели ни одно арифметическое предложение не имеет вполне ясного смысла для того, кому не ясно, что такое число? Этот вопрос не является ни арифметическим, ни логическим, а психологическим. Узость нашего сознания вообще не позволяет нам с одной и той же ясностью осознать очень сложную логическую область во всех ее частях. Кто, например, употребляя в некотором доказательстве слово «интеграл», будет всегда ясно удерживать в сознании все, что относится к смыслу данного слова! И, тем не менее, можно делать правильные выводы, хотя при этом всегда часть смысла остается во мраке. Вейерштрасс имеет верное представление о том, что есть число, и, исходя из этого правильного представления, он все время улучшает и дополняет то, что должно было бы следовать из его явных определений. При этом он путается в противоречиях и хотя приходит к истинным мыслям, они им самим осознаются только беспорядочно. Его предложения выражают истинные мысли лишь в том случае, когда их правильно понимают. Но если их хотят понимать согласно его собственному определению, впадают в ошибку. Хотелось бы рассмотреть еще некоторые детали учения Вейерштрасса: «...и определяет ее посредством равенства с = а + в ». Что здесь определяется? Ни знак плюс, ни знак равенства до сих пор еще не появлялись. Определение не может иметь форму некоторого равенства с несколькими неизвестными. Как можно понимать знак равенства? Согласно разговорному языку, можно было бы подумать, что «=» и «+» следует понимать не как особые знаки, каждый из которых имеет смысл сам по себе, а брать их в целом, которое должно означать, что ряд с заданным образом возникает из рядов а и b. Само по себе это было бы вполне возможно, только это не согласуется с принятым способом употребления, так как «=», а также «+» входят в другие связи. И сам Вейерштрасс равным образом употребляет для этого связь знаков

«b + а = а + b»

и замечает к этому, что это пример общего закона, что две не тождественные вещи могут быть равны друг другу согласно точному определению. Хотя он определяет не знак «=», а слово «равно» для числовых величин. Сообразно с этим, слово «равно» не имеет смысла «тот же самый, как». Если мы знак «=» понимаем так, как объяснено слово «равно», то мы должны ожидать, что выражение, стоящее слева от этого знака, обозначает ряд однородных вещей, и точно также — выражение, стоящее справа. Но о «а + b> мы еще не знаем, что оно должно обозначать. Если мы, как обычно, пишем «5 = 3 + 2», то с помощью «5» или с помощью «З + 2» мы не обозначаем некоторого ряда, некоторой числовой величины. же должен быть этот ряд? Из каких членов мог бы он сое Согласно объяснению Вейерштрасса, числовые величины могут быть равны друг другу без того, чтобы согласовываться во а отношениях; например, одна могла бы состоять из железнодорожных вагонов, другая — из книг. Сообразно с этим, для не торой числовой величины задается не только одна следующая за ней, но очень много, может быть, бесконечно много величин которые хотя равны между собой, но все-таки отличаются от друга. Но способ употребления в арифметике с этим не согласуется. То, что мы обозначаем знаками чисел, не является числовыми величинами в смысле Вейерштрасса. Спрашивается, а в арифметике согласно обычному способу написания и произнесения чисел могут ли каким-либо образом быть отличены друг от друга числа, которые равны. Большинство математиков согласится это подтвердить; но не всегда то, что они искренне выдают за свое мнение, согласуется с тем, что находится в глубинах их сознания. Мы видели это у Вейерштрасса, у которого можно предполагать наличие правильного представления, противоречащее его собственным словам. О знаке равенства большинство математиков совсем не вы сказывается, полагая его смысл известным. Но полностью ли ясен им этот смысл, нельзя сказать с уверенностью. Что мы собственно делаем, когда пишем «З + 2»? Ставим ли мы некоторую задачу, которая должна быть решена? Если мы пишем «7 - З», то думаем ли мы что-нибудь вроде: «ищи число, которое при сложении с 3 дает 7»? Легко можно подумать именно так, если эта связь знаков входит только таким образом. Но мы пишем также и «(3 + 2) + 4». Должно ли здесь к задаче добавляться число 4? — Нет, не к задаче, а к числу, которое получается в результате решения этой задачи. То, что стоит перед знаком «+», обозначает, как обычно, число. Также и то, что стоит после знака «+»,обозначает число. Согласно этому, также и в выражении «4 + (3 + 2)» часть «З + 2» должна рассматриваться как знак числа, а именно, как знак того же самого числа, которое обозначается знаком «5». Соответственно, в «З + 2» и «5» мы имеем знак одного и того же числа. И если мы пишем «5 = 3 + 2», то значения знаков слева и справа от знака равенства согласуются не только в тех или иных свойствах или в том или ином отношении, но согласуются во всех отношениях. Обозначенное слева есть то же самое, что и обозначенное справа. Но оба знака все-таки различны; уже с первого взгляда на них видно, что они различны! Мы наталкиваемся здесь на широко распространенную болезнь математиков, которую я хотел бы назвать «morbes mathemeticorum resens». Ее главный симптом состоит в неспособности различать между знаком и обозначаемым. Неужели совершенно невозможно обозначать одно и то же различными знаками? Может ли одно лишь различие знаков быть достаточным основанием для того, чтобы принимать различие обозначаемых? К чему бы мы пришли, если бы 2 + 3 приняли как отличное от 5? На вопрос: «Какое число в ряду целых чисел непосредственно следует после 4?», следовало бы ответить: «Таких бесконечно много. Некоторыми из них являются 5; (1 + 4); (2 + 3); (3 + 2); (7 - 2); (З² - 2²)». У нас получился бы не простой ряд целых чисел, но хаос. Целые числа, непосредственно следующие за 4, следовали бы не только после 4, но также и после 2², 2х2. Хотя все эти числа были бы равны друг другу, но все-таки различны. Это неприемлемо. Поэтому мы останавливаемся на том, что знаки «2 + З», «З + 2», «I + 4», «5» обозначают одно и то же число. Но против этого также можно выдвинуть одно соображение. Не является ли содержание предложений «5 = 5» и «5 = 2 + З» различным? Первое из них является непосредственным следствием общего принципа тождества; но является ли таковым второе? Можно было бы сказать: если знаками «2 + З» и «5» мы обозначаем одно и то же, то это мы должны были бы знать непосредственно и не нуждались бы в вычислениях. Но это не так, что легко увидеть на больших числах. Все-таки непосредственно неясно, что 137 + 469 = 606, знание об этом получается только посредством вычисления. Это предложение говорит гораздо больше, чем предложение «606 = 606». Посредством первого наше знание расширяется, посредством второго — нет. Таким образом, мысленное содержание обоих предложений следует различать. Можно ли одно и то же обозначать двумя различными именами или знаками, не зная, что обозначается одно и то же? Да, это возможно и обыкновенно случается. Например, наблюдали некоторую малую планету и предварительно дали ей обо значение. После длительных наблюдений вычисление показывает, что та же самая планета уже наблюдалась раньше и уже получила некоторое имя. Легко может оказаться, что один астроном употребляет оба имени, не зная, что они обозначают одну и ту же планету. Также и при исследовании некоторой неизвестной страны может оказаться, что два исследователя дают различные имена одной и той же горе, которую они видели с разных сторон, и только впоследствии сравнение карт показывает, что они виде ли одну и ту же гору и по-разному назвали ее. Таким образом, мы должны допустить, что один и тот же предмет можно назвать различными именами, не зная, что это один и тот же предмет. С другой стороны, нельзя не признать, что мысль, выраженная в предложении «5 = 2 + З», отлична от мысли, выражение: предложении «5 = 5»; хотя различие состоит только в том, что втором предложении «2 + З» заменяется на «5», причем оба выражения обозначают одно и то же число. Таким образом, оба эти знака не равнозначны для выражения мысли, хотя обозначают одно и то же число. Поэтому я говорю: знаки «5» и «2 + З» хотя обозначают одно и то же, но выражают не один и тот же смысл. Точно так же выражения «Коперник» и «основатель теоретического воззрения» обозначают одного и того же человек но имеют различный смысл, так как предложения «Коперга есть Коперник» и «Коперник есть основатель. Эффективность языка удивительна. Посредством немногих звуков и их связей он в состоянии выразить чудовищное количество мыслей и даже такие, которые ранее не осознавал и не выражал ни один человек. Благодаря чему становятся возможными? эти результаты? — Благодаря тому, что мысли строятся из отдельных кирпичиков мысли. И эти кирпичики соответствуют звуковым группам, из которых строится предложение, выражающее мысль, так что построение предложения из его частей соответствует построению мысли из частей мысли. И как часть мысли можно назвать смыслом соответствующей части предложения, так и мысль можно понимать как смысл предложения. Рассмотрим предложение «Этна выше, чем Везувий». Слову «Этна» будет соответствовать часть мысли, а именно, смысл этого слова. Но является ли сама гора со всеми утесами и массами частью мысли? Очевидно — нет, так как Этну можно видеть; но мысль о том, что Этна выше Везувия, видеть нельзя. Но о чем нечто высказывается? — Очевидно, о самой горе Этна. А о чем говорит предложение «Сцилла имеет 6 голов»? Здесь предмет совершенно отсутствует, так как слово «Сцилла» ничего не обозначает. Несмотря на это, в данном предложении можно обнаружить выражаемую им мысль и также признать за словом «Сцилла» некоторый смысл. Но эта мысль принадлежит не области истины и науки, а области поэзии и саги. За исключением таких случаев, собственное имя должно нечто обозначать и именно о том, что оно обозначает, о его значении говорится в предложении, в которое оно входит. Вместе с тем собственное имя должно иметь некоторый смысл, представляющий собой мысли того предложения, в которое входит это собственное имя. Согласно этому, мы усматриваем возможность того, что два знака обозначают одно и то же и все-таки не являются взаимозаменимыми относительно мысленного содержания того предложения, в которое они входят, так как они имеют различные смыслы. И невозможность взаимной замены иногда давала повод не признавать, что они обозначают одно и то же число. Но этот повод мы признали неосновательным и остановились на том, что в арифметике знак равенства следует понимать как знак тождества. Некоторое подтверждение этому мы могли вычитать также из конспекта лекций Вейерштрасса. Здесь исследуется, каким образом следует расширить область чисел для того, чтобы задачи на вычитание всегда могли быть решены. При этом говорится: «Тогда также (а - а) должно иметь некоторое значение, а именно, то значение, что добавленное к любому числу оставляет его значение неизменным». Здесь значение числовой величины отличается от нее самой, а именно, это значение после добавления (а - а) должно оставаться тем же самым, каким оно было до сложения. Однако нужно учесть, что то, что Вейерштрасс называет значением числовой величины, является, собственно, числом. Таким образом, число остается тем же самым. Так приходим мы к пониманию того, что согласно Вейерштрассу равные числовые величины имеют одно и то же значение. Переходя от вейерштрассовских числовых величин к их значениям, мы одновременно от вейерштрассовского равенства переходим к тождеству. Если Вейерштрасс под «значением числовой величины» подразумевает то, что обычно называют числом, то при этих числах здесь приходят к тождеству. Итак, положение вещей обстоит следующим образом. Для Вейерштрасса неясно, прежде всего, различие между тем, что он называет числовыми величинами, и числами арифметики. Однако он не может не ввести эти числа в другой одежде в качестве значений числовых величин и вынужден, поэтому, проводить различие между числовой величиной и ее значением. При этом, кроме того, получается, что числовые величины имеют одно и то же значение, если они, согласно Вейерштрассу, равны. Но при внимательном рассмотрении, знаки равенства в арифметике стоят не между именами числовых величин в вейерштрассовском смысле, а между именами собственно чисел, которые Вейерштрасс, тай ком правда, называет значениями числовых величин. Поэтому и понимание числа как ряда однородных вещей, как кучи, груды, как целого, которое состоит из однородных частей, теснейшим образом связано с тем мнением, что знак равенства служит не для обозначения тождества. Но как неизбежно случается, к собственным числам арифметики приходят посредством какого-либо логического трюка и одновременно знак равенства превращают в знак тождества. Поэтому неудивительно, что происходит постоянное изменение понимания. Нечто подобное мы обнаруживаем и для знака плюс. этот знак истолковывается как сложение. В соответствии ли этим, можно предположить, что а + b должно обозначать числовую величину, возникающую благодаря тому, что к единице добавляются все единицы b. Но при умножении это означает: «Обозначают с помощью а единицы b и образуют

b раз

==============

а + а + а + ... + а...»

Здесь знак плюс стоит между знаками единиц; и под единицей следует понимать член ряда однородных вещей. Согласие этому, приходится допустить, что одну единственную вещь Вейерштрасс также хочет понимать как ряд однородных вещей, как числовую величину, а именно, как ряд, который состоит из одного единственного члена. Тогда даже одно бобовое зерно будет рассматриваться как числовая величина в смысле Вейерштрасса. Выберем один боб и обозначим его «f». Выберем другой боб и обозначим его «f». Если боб (5 мы положим рядом с бобом а, то получим новый ряд однородных вещей, и Вейерштрасс, без со мнения, обозначит его с помощью «а + f». Выберем еще один боб, обозначим его «f» и положим рядом с числовой величиной а + f, состоящей из бобов а и f Тогда посредством сложения мы получим новую числовую величину, которую обозначим, со гласно Вейерштрассу, с помощью «(а +f)+ p». Так, согласно Вейерштрассу, мы сможем образовать имя некоторой числовой величины из имен ее элементов или единиц посредством знака плюс. Но что в таком случае может обозначать знак «а +а»)? Мы можем боб р положить рядом с бобом а и так образовать ряд однородных вещей; но как положить боб а рядом с самим собой? Вероятно, удобнее повторить боб а.

Рассмотрим ряд однородных вещей, а именно, планеты Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. Этот ряд можно было бы обо значить так

«* +#+ О +@ ».

Назовем эту числовую величину b. Согласно этому, * есть единица b, так же и # есть единица b. O есть единица b и наконец, @ есть также единица b. К счастью, ни одна из этих единиц не входит в ряд повторно. Мы можем сказать: Если обозначают посредством « *» единицы b и образуют

«* +* +* +* »,

то действительно ли это обозначает то же самое, что и

«* +#+ О +@ ». ?

Недопустимо различные вещи обозначать одними и теми же знаками, так как однозначность является первым требованием, которое мы должны предъявлять к знакам. Знак плюс здесь, очевидно, неприменим, если его хотят употреблять так, как это обычно делают в арифметике. Пишут «1 + 1 + 1 + 1»; но здесь первый знак единицы означает то же самое, что и второй, и третий, и четвертый. Здесь у нас нет различных вещей, которые образуют ряд, группу, совокупность. У нас есть только число один. Отсюда ясно, что знак плюс не может соответствовать слову «и» языка. Если мы говорим «Шиллер и Гете являются поэтами», то с помощью «и» мы связываем не собственные имена, а предложения «Шиллер есть поэт» и «Гете есть поэт», которые сокращаются. Иначе обстоит дело в предложении «Сименс и Хальске построили первые большие телеграфные линии». Здесь у нас нет двух предложений, которые сокращаются в одно, здесь с помощью «Сименс и Хальске» обозначается составной предмет, о котором нечто высказывается, и слово «и» помогает образовать знак этого предмета. Только при таком способе употребления «и» можно сравнить со знаком плюс. Но это сравнение тотчас показывает, что случаи «Сименс и Хальске» и «I + I» или «Земля и Луна» совершенно различны. Здесь мы везде видим грубое, математически неприменимое толкование в борьбе с единственно применимым. Истолкование числа как ряда однородных предметов, как группы, совокупности и т. д. находится в тесной связи с тем истолкованием знака равенства, согласно которому он обозначает только частичное согласование, и с истолкованием знака плюс как равнозначного с «и». Но эти истолкования терпят неудачу при первой же серьезной попытке с их помощью обосновать арифметику. Если такую попытку делают, то всегда оказываются вынужденными протаскивать нечто такое, что противоречит этим истолкованиям. Здесь мы получаем пример того, какими не должны быть определения. И только благодаря тому, что отказываются строить систему арифметики с помощью этих определений, не выявляется их полная неприменимость. Отсюда можно вывести тот принцип, что определение должно оправдываться в построении системы науки.

 

* * *

 

Здесь мы вплотную подошли к определению понятия. Простейшим случаем вхождения понятия является некоторое предложение, грамматическим субъектом которого является собственное имя. Мы можем сказать, что при этом предмет подводится под понятие, а именно, тот предмет, собственное имя которого является грамматическим субъектом. Остальная, предикатная часть предложения означает некоторое понятие. Поэтому а" говорю: понятие имеет предикативный характер, оно нуждается в дополнении так же, как предикативная часть предложения требует языкового субъекта и без такового представляется неполной. Вследствие этой неполноты или потребности в дополнении мы не можем иметь одну предикативную часть на одно из сторон определяющего равенства, но всегда должны эту предикативную часть дополнить тем, что занимает место грамматического субъекта. Примем для этого букву «а». На правой и левой сторонах определяющего равенства мы имеем некоторой выражение, которое содержит букву «а», и тем самым мы хотим установить, что обе стороны равенства всегда должны иметь один и тот же смысл, какое бы осмысленное собственное имя ни было подставлено под а. Эта буква нам нужна для того, чтобы нашему утверждению придать общность. Простейшим случаем при определении некоторого понятия является тот, в котором одно понятие следующим образом соединяется с другим в некоторое новое понятие. Прежде всего, мы можем связать два предложения посредством «и» и это сложное предложение, как и каждое из составляющих его предложений, можем понимать как выражение некоторой мысли, а именно, сложной мысли, ибо мы можем утверждать или отрицать ее именно как нечто целое. Если мы его утверждаем, то вместе с тем мы утверждаем и каждое составляющее предложение; если мы его отрицаем, то оставляем неопределенным: первое составляющее предложение ложно, второе или оба ложны. Рассмотрим предложение «8 является кубом и 8 является положительным». В этом составном предложении нечто высказывается о числе 8. То, что еще входит в это предложение помимо знака числа «8», мы можем истолковать как знак некоторого понятия и посредством некоторого определения ввести для него новый знак, скажем

 

                                a является кубом и а является положительным = а есть

                                положительное число в кубе.

 

Здесь слева дважды появляется буква «а». Ей ничто не противостоит; но с правой стороны, где стоит объясняющее выражение, «а» может входить только однажды. Если бы а входило на различных местах, было бы возможно заполнить эти места разными собственными именами, и благодаря этому возникло бы совершенно непонятное выражение. Но появление некоторого бессмысленного выражения должно быть сделано невозможным. Здесь мы видим некоторое понятие (положительного числа в кубе), составленное из более простых понятий (куб числа и положительное число). Мы называем их признаками этого составного понятия. Случай, в котором собственное имя является грамматическим субъектом некоторого предложения, а предикат этого субъекта обозначает понятие, с языковой точки зрения является простейшим, но не единственно возможным. Всегда, когда собственное имя входит в некоторое утверждение предложения, мы можем остальную часть предложения рассматривать как знак понятия. Знак понятия всегда нуждается в дополнении собственным именем или знаком, представляющим собственное имя, например, буквой. Примером служит определение простого числа. Мы устанавливаем:

 

Если а кратно некоторому целому числу, большему, чем 1, то а есть это число и = а есть простое число. а есть целое число и а больше чем 1.

 

Здесь слева мы имеем объясняющее выражение, справа — объясняемое. Тем самым мы говорим: какое бы имеющее значение собственное имя мы ни подставили везде вместо буквы «и», стоящее справа выражение всегда должно иметь тот же самый смысл, что и выражение, стоящее слева. От понятия мы должны требовать четкого ограничения. Это означает: для каждого предмета должно быть верным или то, что он подпадает под это понятие, или то, что не подпадает под это понятие. Третий случай, скажем, неразрешимость или неопределенность, не должен иметь места. Отсюда вытекает требование к знаку понятия. Этот знак, будучи дополнен некоторым собственным именем, всегда дол жен порождать предложение. И это предложение должно всегда выражать мысль, которая истинна или ложна. Если посредством определения вводится новый знак понятия, то это требование также должно быть выполнено. Это получается само собой, если определяющая сторона равенства состоит из правильно образованных знаков понятий, дополненных буквой, которая представляет собственные имена и служит для того, чтобы придать определяющему равенству необходимую общность. Конечно, определение никак не может быть условным предложением. Утверждение о том, что объясняемая часть вообще должна иметь тот самый смысл, что и объясняющее выражение, нельзя сделать зависимым от некоторого условия, так как тогда для случая, в котором условие не выполнено, ничего не будет определено. Объясняемое выражение в этом случае не будет иметь никакого смысла. Таким образом, если вместо указанной буквы мы подставляем имя некоторого предмета, который не выполняет условия, то на объясняемой стороне определяющего равенства мы получаем не предложение, выражающее некоторую мысль, которая истинна или ложна, а бессмысленную связь знаков В общем, условные определения должны быть отброшены. Во всяком случае, если таковое используется, оно нуждается в особом оправдании.

 Мы переходим к определению отношений. Если в одно предложение входят два собственных имени, то все остальное, что помимо них включено в предложение, можно рассматривать как знак отношения, как, например, в выражении

«З больше, чем 2»,

где знаки чисел «З» и «2» следует рассматривать как собственные имена. При определении отношения нам нужны два указанных знака, представляющие имена предметов, находящихся в данном отношении. Каждая из этих букв в объясняемую часть может входить только один раз по той же причине, о которой мы говорили, обсуждая определение понятий. В качестве примера возьмем определение конгруэнтности чисел.

(а - в) кратно 7 и а есть целое число = а конгруэнтно в по модулю 7. и в есть целое число

Буквы а и b служат для придания общности. Тем самым мы говорим, что какие бы имеющие значение собственные имена мы ни поставили вместе «а» и «&», выражение, стоящее справа, всегда должно иметь тот же самый смысл, что и стоящее слева. Так, например, подставляя вместо «а» число «16» и вместо «b» — число «2», мы получаем:

(16-2) кратно 7 и 16 есть целое число и

2 есть целое число

- 16 конгруэнтно 2 по модулю 7.

 До тех пор, пока указанные буквы не заменены собственны ми именами, одна левая сторона не имеет никакого смысла так же, как и правая сторона. Но необходимо, чтобы на левой стороне помимо букв все остальное было известно, так что левая сторона всегда получает смысл, если вместо «я» и «и» подставляются имеющие значение имена. Из этого следует, что знак минус должен быть объяснен не только для того случая, когда он стоит между знаками чисел, ибо в противном случае предложение «(а - b) кратно 7» не всегда получало бы смысл, когда вместо «а» и «А» подставлялись бы имеющие значение собственные имена. Поэтому выражение

 «а конгруэнтно b по модулю 7»

 также не всегда получало бы смысл. Объединение знаков «(16 - 2)» есть собственное имя некоторого числа. Согласно этому, знак «(а - 6)» представляет собственное имя. Мы получаем из него собственное имя тем, что за меняем «в» и «и» собственными именами. В предложении

 «(16 - 2) кратно 7»

 знак «(16 - 2)» имеет также значение, а именно, обозначает число 14. Таким образом, знак «(16 - 2)» имеет также некоторый смысл, являющийся частью смысла этого предложения, и этот смысл есть то, что знак «(16 - 2)» вносит в выражение мысли. Отсюда мы можем сказать, что знак «(а - b)» получает некоторый смысл благодаря тому, что каждая из обеих букв заменяется имеющим значение собственным именем. В этом отношении знак «(а - b)» согласуется с

 «(а - b) кратно 7».

 Благодаря тому, что мы здесь «а» заменяем на «16» и «и» — на «2», мы получаем некоторый смысл, а именно, смысл предложения

 «(16-2) кратно 7»,

и этот смысл есть мысль. Также и «(16 - 2)» имеет смысл, но только это не мысль, а лишь часть мысли. Тем не менее, сложный знак «(а - b)» и выражение

 «(а - b) кратно 7»

получают смысл в том случае, если входящие в них буквы заменяются имеющими значение собственными именами. Благодаря этому одновременно получает значение и знак «(а - b)». Если мы заменяем «а» на «16» и «и» — на «2», этим значением является число 14. Теперь можно спросить, имеет ли предложение «(16-2) кратно 7» не только смысл, но также и значение?

 

Возьмем для сравнения предложение «Этна выше, чем Везувий». С этим предложением мы связываем некоторый смысл и мысль. Мы понимаем его, мы можем перевести его на другой 1 язык. В этом предложении мы имеем собственное имя «Этна», которое вносит свой вклад в смысл всего предложения, в мысль.' Этот вклад есть часть мысли, он есть смысл слова «Этна». Но об этом смысле мы ничего не можем высказать. Сказать можно толь-' ко о горе, которая не является частью мысли. Идеалист в теорий познания вероятно сказал бы: «Это — ошибка. Этна является только твоим представлением». Каждый, кто высказывает предложение «Этна выше, чем Везувий» понимает его так, что в нем должно быть высказано нечто о предмете, который совершенно независим от говорящего. Идеалист может сказать: неверно, что имя «Этна» что-то обозначает. Но тогда говорящий погружается в область саги и поэзии, хотя и считает, что находится в области истины. Однако идеалист не вправе так извращать мысль, что как будто бы говорящий хочет именем «Этна» обозначить некоторое свое представление и судить о нем. Или говорящий обозначает именем  — «Этна» то, что хочет обозначить, или он ничего не обозначает этим именем и оно не имеет значения. Существенно также: во-первых, то, что имя «Этна» имеет смысл, ибо в противном случае данное предложение также не имело бы никакого смысла, не выражало бы никакой мысли; и во-вторых, что имя «Этна» имеет значение, так как в противном случае мы бы погрузились в поэзию. Последнее существенно, конечно, только в том случае, если мы хотим двигаться в области науки. Для поэзии безразлично, являются ли люди, о которых она говорит, историческими личностями. Говоря точнее: имеют ли значение собственные имена, используемые в поэзии. Если для нас важен только смысл предложения «Этна выше, чем Везувий», то мы не имеем никаких причин требовать для собственного имени «Этна» также некоторого значения, так как для того, чтобы это предложение имело смысл, от собственного имени «Этна» требуется только, чтобы оно имело смысл, ибо значение ничего не вносит в выражаемую мысль. Если же для нас также важно, чтобы собственное имя «Этна» что-то обозначало, значит, для нас важно также значение всего предложения. Но то, что имя «Этна» что-то обозначает, тогда и только тогда имеет для нас ценность, когда для нас важна истина в научном смысле. Таким образом, наше предложение будет иметь значение тогда и только тогда, когда выраженная в нем мысль истинна или ложна. Значением предложения должно быть то нечто, что сохранятся, когда одна из его частей заменяется равнозначным выражением. Возвратимся к предложению «(16 — 2) кратно 7». Знак «16 — 2» есть собственное имя некоторого числа. «17 — З» обозначает то же самое число, но «17 — З» не имеет того же смысла, что «16 — 2». Сообразно с этим, смысл предложения «(17 — 3) кратно 7» отличается от смысла предложения «(16 — 2) кратно 7»; и точно так же смысл предложения «16 конгруэнтно 2 по модулю 7» отличается от смысла предложения «17 конгруэнтно 3 по модулю 7». Но предложение «(17 — 3) кратно 7» должно иметь то же самое значение, что и предложение «(16 — 2) кратно 7». Истинностным значением я называю именно то, что не изменяется при замене знака «(16 — 2)» на равнозначный знак «(17 — 3)». Данные предложения или оба будут истинными, или оба — ложными. В нашем примере оба предложения истинны. Но легко привести другой пример, в котором оба предложения будут ложными. Для этого нужно вместо числа 7 взять число 3. В соответствии с этим мы говорим, что предложения имеют одно и то же значение, если они оба истинны или оба ложны, и они имеют различные значения, если одно из них истинно, а другое — ложно. Если некоторое предложение истинно, то я говорю, что его значением является Истина. Если предложение ложно, я говорю, что его значением является Ложь. Если предложение ни истинно, ни ложно, оно не имеет никакого значения. При этом оно может все-таки иметь некоторый смысл и в этом случае я говорю: оно относится к области поэзии. Для краткости здесь я называл истинным или ложным предложение, хотя правильнее было бы говорить об истинности или ложности выраженной в предложении мысли. Но здесь выявляется некоторое противоречие. Когда я говорю «Мысль о том, что (16 — 2) кратно 7, является истинной», то истинный понимаю я как свойство мысли, в то время как оказывается, что мысль есть смысл, а Истина — значение предложения. Правда, истолкование Истины как свойства предложений или мыслей соответствует употреблению языковых выражений. Если мы говорим «Предложение "3 > 2" истинно», то согласно языковой форме, мы что-то высказываем о предложении, а именно, что оно обладает определенным свойством, которое мы обозначаем словом «истинно». И когда мы говорим: «Мысль о том, что 3 > 2, истинна», то имеет место соответствующее этой мысли положение вещей. Но предикат истинно все-таки совершенно отличен от других предикатов, таких как зеленый, соленый, рациональный, так как то, что мы хотим высказать предложением «Мысль о том, что 3 > 2, истинна», можно было бы высказать проще в предложении «З больше, чем 2». Таким образом, мы здесь совсем не нуждаемся в слове «истинно». И мы знаем, что посредством этого предиката к смыслу предложения ничего не добавляется. Для того, чтобы нечто утверждать как истинное, нам не нужно никакого особого предиката, а только утверждающая сила, с которой мы высказываем предложение.

 Не всегда, когда мы высказываем некоторое предложение, мы делаем это с утверждающей силой. Актер на сцене, поэт, читающий свое произведение, — оба часто высказывают предложения; но обстоятельства показывают, что это происходит без утверждающей силы. Они только делают вид, что утверждают. Также и в нашем определении:

(а — b) кратно 7 и а есть целое число и b есть целое число

= а конгруэнтно b по модулю 7,

мы высказываем отдельные части, такие как «(а - b) кратно 7», «а есть целое число», «а конгруэнтно b по модулю 7», без утверждающей силы. Это происходит также тогда, когда буквы «а» и «&» мы заменяем собственными именами. Мы могли бы также сказать:

(16-3) кратно 7 и 16 есть целое число и 3 есть целое число

= 16 конгруэнтно 3 по модулю 7,

хотя некоторые из составляющих предложений ложны; в этом случае мы хотим только установить, что выражение, стоящее в левой стороне равенства, имеет тот же самый смысл, что и выражение, стоящее справа, не вынося суждения об истине составляющих предложений. Если кто-то с утверждающей силой высказывает то, о чем он знает, что это ложно, то он лжет. Однако это не относится к актеру на сцене, который высказывает нечто такое, что ложно. Он не лжет, так как отсутствует утверждающая сила. И если актер на сцене говорит: «истинно, что 3 больше, чем 2», он утверждает при этом не в большей степени, чем если бы он сказал: «З больше, чем 2». Таким образом, дело здесь вовсе не касается слова «истинно», а только утверждающей силы, с которой высказывают предложение. Поэтому случай, когда мы о некотором предложении или о некоторой мысли говорим, что она истинна, по сути своей совершенно отличен от того случая, когда мы говорим о морской воде, что она соленая. В последнем случае предикат указывает на нечто существенное, а в первом случае — нет. Это рассмотрение подтверждает, что мысль относится к своему истинностному значению как смысл к значению некоторого знака, и показывает, что истинность не является свойством предложения или мысли. Мы видели, что «(я - и)» и «(а - b) кратно 7» похожи в том отношении, что оба получают некоторый смысл и некоторое значение благодаря тому, что вместо «а» и «&» подставляются имеющие значение собственные имена. Различие между ними состоит лишь в том, что смысл, который получает «(а - b)», есть лишь часть некоторой мысли, в то время как смысл, который получает «(а - b) кратно 7», есть цельная мысль. Если мы сначала заменим только «b» на собственное имя «2», то получим: «а - 2», «(а - 2) кратно 7». То, что имеется в этой второй связи знаков помимо буквы «а», есть знак некоторого понятия. И предложение «(16 - 2) кратно 7» мы могли бы истолковать как состоящее из собственного имени «16» и этого знака понятия, так что в этом предложении мы о числе 16 высказываем данное понятие. Здесь мы имеем подведение некоторого предмета под понятие. Аналогичным образом то, что помимо буквы «а» имеется в «(а - 2)», мы можем рассматривать как знак, так что «16 - 2» представляется как составленное из собственного имени «16» и этого знака, который нуждается в дополнении как знак понятия. То, что он обозначает, должно так же нуждаться в дополнении как понятие. Мы называем это функцией. Знак понятия, дополненный собственным именем, дает предложение. Знак функции, дополненный собственным именем, дает собственное имя. В нашем случае, знак функции, дополненный собственными именами «2», «З», «4», дает ряд собственных имен «2 - 2», «З - 2», «4 - 2». Предметы

2-2;3-2;4-2,

 знаками которых являются эти собственные имена, мы называем значениями нашей функции, а именно, 2-2 есть значение нашей функции для аргумента 2, 3-2 есть значение нашей функции для аргумента 3, 4-2 есть значение нашей функции для аргумента 4.

Но также и то, что получают из «(а - 2) кратно 7»,

когда заменяют «а» на собственное имя, можно истолковать как собственное имя: так как оно тогда обозначает некоторое истинностное значение, а его можно понимать как некоторый предмет Так

есть ложь, а

3-2 кратно 7 *

 16- 2 кратно 7

 есть истина. Существует, таким образом, большая согласованность тех случаев, в которых мы говорим о функциях, с теми случаями, когда мы говорим о понятиях. И кажется целесообразным истолковать понятие как функцию, а именно, как функцию, значениями которой всегда являются истинностные значения. И если мы вышеназванное понятие истолковываем как функцию, то ложь является значением этой функции для аргумента 3, а истина является значением этой функции для аргумента 16. То, что выступает в качестве логического субъекта, представляется здесь как аргумент. Посредством определения невозможно задать, что есть функция, так как речь здесь идет о чем-то простом и неразложимом. Можно только сослаться на общее понимание и сделать неизвестное более ясным посредством его связи с известным. Место определения должно занять объяснение, которое, конечно, предполагает понимание. По-видимому, неясность часто возникает вследствие того, что неизвестно, что представляет собой функция. Для объяснения требуется слово «изменяемое» или «переменная». И тогда получается так, как будто бы имеется два вида чисел: константы, или обычные числа, и переменные. Первые обозначаются известными знаками чисел, а последние — посредством букв «х», «у», «2». Но это не согласуется со способом действий в анализе. Если у нас имеется буква «х» в связи с другими знаками, как, например, в выражении

«х - 2»,

то анализ требует возможности подставлять вместо этого «х» различные знаки чисел, как в

«З - 2», «4 - 2», «5 - 2» и т. д.

Но при этом ни о каком изменении, собственно, речь не идет; так как если мы говорим, что нечто изменяется, то это изменяющееся должно и в изменении признаваться одним и тем же. Если некоторый государь становится старше, то он изменяется. Но мы можем сказать это только потому, что, несмотря на изменение, он может быть признан одним и тем же лицом. Напротив, если государь умер и трон занимает его наследник, то нельзя сказать, что первый превратился во второго, так как новый государь не является тем же самым, что и старый. С этим случаем сравним тот, в котором вместо «х» в выражение «х - а» подставляются числа ряда «З», «4», «5». Здесь речь идет не об одном и том же, что в ходе времени приобретает различные свойства, а о совершенно различных числах. Если бы буква «х» обозначала одно изменяющееся число, то должна была бы существовать возможность признавать его одним и тем же числом, хотя и с различными свойствами. Но 4 не есть то же самое число, что 3. Таким образом, у нас нет ничего, что было бы можно обозначить именем «х». Если оно обозначает 3, то оно не обозначает 4; если оно обозначает 4, то оно не обозначает 3. В арифметике и анализе буквы служат для того, чтобы придавать предложениям общность содержания, и это происходит даже тогда, когда большая часть доказательств осуществляется в словах. При этом нужно принимать во внимание все, а не только то, что переходит в арифметические формулы. Говорят, например, что «а обозначает то-то и то-то, а b обозначает то-то и то-то», и принимают это в качестве исходного пункта исследования. А ведь здесь мы имеем, собственно говоря, условные предложения

 «если а обозначает то-то и то-то»,

 «если b обозначает то-то и то-то»,

 и эти предложения должны как таковые сохраняться и добавляться к каждому следующему предложению, а все целое благодаря указанным буквам получает общность, связанную с этими буквами. Только если неизвестное, как имеют привычку говорить, обозначается с помощью «х», то получается несколько иной случай. Пусть, например, нужно решить равенство

 «х² - 4 = О».

 В качестве решения получают 2 или -2. Но также и здесь это равенство вместе с его решениями можно представить в форме некоторого общего предложения: «Если х² - 4 = 0, то х = 2 или х = -2». В этом случае следует обращать внимание на то, что написание «± "А» можно совсем отбросить. Здесь слишком неразумно следовать за языком. Слово «или» должно стоять, собственно, между предложениями: «х равен 2 или х равен -2». Эти два предложения сливают в одно и, соответственно этому, пишут «х = ±А»; но «±А» вообще ничего не обозначает, является не имеющим значения знаком. Можно сказать:

 «2 равно +А или 2 равно -А», причем утверждающая сила распространяется на все в целом, в

то время как каждое из составляющих предложений высказывается без утверждающей силы. Так же можно сказать:

 «-2 равно +А или -2 равно -А»,

но «2 равно ±Ане имеет никакого смысла». Можно было бы согласиться с понятием квадратного корня из 4-х. Если «2х2= 4» мы представляем возникшим таким образом, что в выражении «а х а = 4» буква «а заменяется знаком числа «2», то «2х2= 4» предстанет как составленное из имени «2» и некоторого понятийного знака, который нуждается в дополнении. Поэтому «2х2= 4» можно прочитать так: «2 является корнем квадратным из 4-х». Точно так же мы можем «(-2) х (-2) = 4» прочитать так: «(-2) есть корень квадратный из 4-х». Но равенство «2 =а » мы не могли бы прочитать как «2 есть корень квадратный из 4-х». Так как знак «корня» не может быть двузначным. Двузначность или многозначность знака безусловно должна быть исключена. Если я утверждаю «2 есть корень квадратный из 4-х», то предмет 2 я подвожу под некоторое понятие. Мы имеем дело с этим случаем всегда, когда языковый субъект является собственным именем, в то время как предикат состоит из «есть» и существительного с неопределенным артиклем.

 Покончив с этим отступлением, возвратимся к делу. Буквы в арифметике служат для того, чтобы придавать предложениям общность содержания, если они не представляют места неизвестных чисел, но не для обозначения некоторого переменного числа, так как переменных чисел не существует. Каждое изменение происходит во времени. Но законы чисел являются вечными, вневременными. В арифметику и анализ время не входит. Только в приложениях арифметики речь может идти о времени. Число 3 всегда было простым числом и всегда останется таковым. Как могло бы здесь происходить изменение? Чувствуют, что нехорошо говорить о переменном числе, и поэтому говорят о «переменных величинах», как если бы их было много. Конечно, железный стержень удлиняется, если его нагревают, и сокращается при охлаждении. Он изменяется во времени. Если его длину измеряют линейкой, то получают то одно, то другое число. Если говорят о «числе, которым выражается в миллиметрах длина этого стержня во время т», то это выражение содержит неопределенно указывающую букву «т». Поэтому оно становится собственным именем некоторого числа благодаря тому, что вместо «т» подставляется имя момента времени. Это совершенно аналогично тому, что мы имеем для выражения «х - 2». Это выражение также становится собственным именем некоторого числа, когда вместо «т» мы подставляем имя числа. В обоих случаях мы имеем дело с функцией, которая для различных аргументов может давать различные значения. Железный стержень и время, по сути дела, несущественны для арифметики; так как она не занимается ни булыжниками, ни орехами, ни железными стержнями, ни железнодорожными поездами, ни рядами книг, ни временными моментами. Все это — вещи, о которых может идти речь в приложениях, но которые не принадлежат систематическому построению математики. Если мы рассмотрим все это, то увидим, что в арифметике нет места ни переменным числам, ни переменным величинам. Или «величина» есть только стыдливое выражение для числа, и тогда переменные величины существуют столь же мало, сколь и переменные числа, или «величина» понимается так, что действительно можно говорить о переменных величинах; но тогда они не принадлежат к арифметике. Если буквы «х» и «у» обозначают различные переменные, то нужно иметь возможность сказать, чем они отличаются; однако этого не может сделать никто. При этом нужно всегда отдавать себе отчет в том, что речь должна идти о чистой арифметике, а не о приложениях. Может быть, можно обнаружить выход в том, чтобы рассматривать буквы «х», «у» не как знаки переменных, а как сами переменные. Но при этом приходят к противоречию с принятым способом употребления знаков. Для знака равенства, например, всегда предполагается, что стоящий слева от него простой или сложный знак является или имеющим значение собственным именем, или может быть преобразован в такое имя посредством замены входящих в него указывающих букв обозначающими знаками. Согласно этому, невозможно функцию объяснить с помощью переменной. Напротив, если хотят выяснить, чем является переменная, всегда снова возвращаются к тому, что мы называем функцией, и при этом узнают, что переменная никак не является предметом арифметики. (Мы видели, что понятие можно трактовать как особый случай функции. От понятия мы требовали четкого ограничения. В более общем случае функции мы также имеем нечто похожее.) Относительно истолкования функции существует много неясностей. В частности, функцию легко смешать со значением функции, когда пишут

 «fх =f»,

где букву на одной стороне употребляют для того, чтобы указать функцию, а на другой стороне — чтобы указать значение функции. Конечно, имеется трудность, которая виновна в том, что так сложно правильно понять сущность функции. Эта трудность лежит в языковом выражении. Мы говорим «функция» и «понятие». Этих выражений трудно избежать, но они являются нецелесообразными. Определенный артикль придает этим выражениям форму собственных имен в логическом смысле, как будто они должны обозначать предметы, но, тем не менее, они этого как раз не делают. Сущность понятия и функции — их не насыщенность — при этом скрадывается. Язык принуждает нас к употреблению несообразных выражений. Избежать этого недостатка трудно, но его можно обезвредить, если всегда помнить об этой несообразности. Тогда значение функции не будет смешиваться с самой функцией. Иногда говорят о функции, имея в виду такой случай как (1 + х)². Здесь «1 + х» занимает место аргумента квадратичной функции и все выглядит так, как если бы функция 1 + х была аргументом квадратичной функции. Но «1 + х» совсем не обозначает функции, а только неопределенно указывает значение некоторой функции. Если мы в «(1 + х)²» вместо «х» подставим, например, «З», то получим (1 + З)², и значение функции (1 + х) для аргумента 3 здесь является аргументом квадратичной функции. Но этот аргумент есть предмет, некоторое число. Здесь мы имеем случай составления некоторой функции из двух функций так, что значение первой функции для некоторого аргумента принимается в качестве аргумента второй функции. Здесь всегда следует подчеркивать основополагающее различие между предметом и функцией. На том месте, где стоит имя предмета, собственное имя, никогда не может стоять имя функции, и наоборот, там, где стоит имя функции, никак не может стоять имя предмета. Также и в том случае, когда для каждого аргумента функция имеет одно и то же значение, это значение следует отличать от функции. Так функция

 1+а-а отлична от самого числа 1. Нельзя сказать «1+ а- а = 1 и знак равенства является знаком тождества, поэтому функция «1 + а -а есть число 1», так как если мы говорим «функция 1 + а -а», то буква «а» не является частью знака функции, поскольку собственное имя «1 +а-а» составлено из имени функции и собственного имени «а», а буква «в» сюда совсем не входит. Но в предложении «1 + в - в = 1» буква а имеет целью придать этому предложению общность содержания, в то время как буква «в», когда я говорю «функция 1 + а -а », имеет цель выделить те места, на которых должны стоять дополнительные собственные имена. Для того, чтобы образовать дифференциальные собственные имена. Для того, чтобы образовать дифференциальное частное некоторой функции для аргумента 3, мы значение функции для аргумента 3 вычитаем от значения функции для аргумента (3 + к), делим разницу на 1с и т. д. Для функции 1 + а- а это представляется формулой

([1 + (3 + к) - (3 + к)] - [1+ 3 - 3])/к Но в собственном имени «1» мы совсем не имеем никакого места, на которое мы один раз можем подставить «З + к>, а в другой раз «З». Только в случае функции можно действовать согласно этому предписанию. Если хотят определить единицу тем, что говорят «Единица есть вещь», то совершают ошибку, так как вследствие неопределенного артикля «некоторая вещь» должна трактоваться как понятийное слово. Но тогда слово «есть» является связкой и принадлежит предикату. В этом случае мы имеем подведение под некоторое понятие предмета единица. Но это ни в коей мере не является определением. Определение всегда есть установление того, что новый знак или слово должно означать то же самое, что и уже известный составной знак. Если при этом мы употребляем слово «есть», то его следует трактовать как знак тождества, а не как связку. Если слева от этого знака тождества стоит собственное имя, то собственное имя должно стоять и с правой стороны от этого знака, в то время как «некоторая вещь»

 В развитии науки может случиться так, что некоторая система перестает удовлетворять ученых; и не потому, что она частично оказывается ложной, но потому, что возникает оправданное желание рассматривать многие вещи с более широкой точки зрения, с тем, чтобы получить большую обозримость и большую простоту способа выражения. Это приводит к введению более широких, т.е. подчиняющих понятий и отношений. Возникает мысль осуществить то, что называют расширением понятия. Конечно, это не точный способ выражения, так как, в сущности, изменяют не понятие, а связывают с понятийным словом или понятийным знаком некоторое другое понятие, по отношению к которому прежнее понятие, связанное с этим знаком, находится в отношении подчинения. Изменяется не смысл и не знак, а изменяется соотношение знака и смысла. Поэтому может случиться так, что предложение, которое до этого сдвига обозначало истину, после него обозначает ложь. Прежние доказательства теряют свою силу. Все здание начинает шататься. Всех этих недостатков можно избежать, если вместо того, чтобы прежние выражения или знаки снабжать новыми значениями, ввести совершенно новые знаки для вновь введенных понятий. В большинстве случаев этого не происходит, а продолжают пользоваться теми же самыми знаками. Если имеется система с полезными определениями, которые принимаются не только для красоты, но всерьез, тогда такой сдвиг нельзя принять. Это означает, что либо для вновь введенных понятий, отношений, функций нужно вводить совершенно новые обозначения, либо нужно разрушить систему с тем, чтобы построить новую. Действительно, в арифметике нам не хватает системы. Мы только еще подходим к ней. Устанавливаются определения, но их создатели совсем не думают о том, чтобы принимать их всерьез и обеспечить их взаимосвязь. Поэтому у нас нет барьера, который мог бы воспрепятствовать тому, чтобы с некоторым знаком, некоторым словом незаметно связывать другое значение. Знаком сложения мы пользуемся сначала только в тех случаях, когда он стоит между знаками положительных чисел, и мы объясняем его употребление для этих оговоренных нами случаев. Позднее мы дополняем это объяснение для других случаев. Но это происходящее частями определение недопустимо, так как поскольку знак определен неполно, постольку с ним могут быть образованы знаки, которые хотя и истолковываются как знаки понятий, но в качестве таковых недопустимы, так как обозначаемые ими понятия не были бы четко ограничены и не могли бы рассматриваться в качестве понятий. Таким понятийным знаком был бы, например, «З + ^ = 5». Можно сказать, что 2 под это понятие подпадает, так как 3 + 2 = 5. Но подпадают ли под это понятие другие предметы и какие именно, остается совершенно неопределенными, поскольку знак сложения объяснен неполно. Вероятно, невозможно построить систему без постепенного перехода от более простых к более сложным случаям, — точно так же, как это происходило в реальном историческом развитии. Но мы не обязаны совершать ошибку, протаскивая через все эти преобразования один и тот же знак «+». Если речь идет о сложении только целых положительных чисел, мы могли бы, например, употреблять знак «-.», но объяснять его полностью, так, что чтобы ни принималось в качестве, и аргумента функции , значение этой функции было бы определено. Можно было бы, например, установить, что значением этой функции должна быть ложь, если один из двух ее аргументов не является положительным целым числом. Поэтому частичные определения и то, что называют ступенчатым расширением понятия, должны быть отброшены. Определение должно устанавливаться сразу, так как если понятие определено не полностью, оно не является четко ограниченным и не может быть признано понятием. Оглянемся еще раз на пройденный нами путь. Предложение имеет смысл, и смысл утверждающего предложения мы называем мыслью. Предложение высказывается либо с утверждающей силой, либо без нее. Для науки недостаточно того, чтобы предложение имело только смысл. Оно должно иметь также некоторое истинностное значение, которое мы называем значением предложения. Если некоторое предложение имеет только смысл, но не имеет никакого значения, то оно принадлежит поэзии, но не науке. Язык имеет способность выражать необозримую полноту мыслей сравнительно малыми средствами. Это становится возможным благодаря тому, что мысль строится из частей и что эти части мысли соответствуют частям предложения, посредством которых они выражаются. Простейшим случаем является тот, в котором мысль состоит из одной законченной и одной ненасыщенной части. Последнюю мы можем также назвать предикативной частью. Каждая из этих частей равным образом должна иметь некоторое значение, если все предложение имеет истинностное значение. Значение законченной части мы можем назвать предметом; значение нуждающейся в дополнении, ненасыщен ной или предикативной части мы называем понятием. Связь, в которую предмет и понятие ставятся посредством предложения, мы можем назвать подведением этого предмета под понятие. Предмет и понятие принципиально различны. Законченную часть предложения мы называем собственным именем предмета, который оно обозначает. Нуждающуюся в дополнении часть предложения мы называем понятийным словом или понятийным знаком. От понятий мы должны требовать четкого ограничения. Обе части предложения — собственное имя и понятийное слово — в свою очередь могут быть составными. Собственное имя снова может состоять из законченной и требующей дополнения частей. Первая снова является собственным именем и обозначает предмет; вторую мы называем функциональным знаком. Понятийный знак посредством дополнения собственным именем дает предложение, значением которого является истинностное значение. Функциональный знак посредством дополнения собственным именем дает собственное имя, значением которого является предмет. Мы рассматриваем их с одной точки зрения благодаря тому, что понятие мы считаем функцией, а именно, функцией, значением которой всегда является некоторое истинностное значение, а истинностное значение мы рассматриваем как предмет. Тогда понятие является функцией, значением которой всегда является истинностное значение.

 Функциональный знак также может быть составным, а именно, он может состоять из одной законченной части, которая опять является собственным именем, и части, требующей двойного дополнения, — имени или знака функции от двух аргументов. Функцию от двух аргументов, значением которой всегда является истинностное значение, мы называем отношением. Требованию четкого ограничения понятия соответствует более общее требование: имя функции с одним аргументом при дополнении собственным именем должно снова давать имеющее значение собственное имя. То же самое имеет место для функций от двух аргументов. Посмотрим еще немного дальше. Мы признаем необходимость строить математику как систему, причем, нельзя исключать возможность различных систем. Основаниями некоторой системы оказываются:

 

1. аксиомы и
2. определения.

 

Аксиомы служат в системе посылками выводов, посредством которых строится система, но они не являются открытыми истинами. Поскольку они выступают в качестве посылок, они должны быть истинны. Неистинная аксиома есть противоречие. В выражение аксиомы не может входить ничего незнакомого. Совершенно иной характер носят определения. Посредством определений некоторым знакам или словам, до этого не имевшим никакого значения, оно придается. Таким образом, как по средством определения этому знаку придано значение, данное определение превращается в самостоятельное предложение, которое при построении системы может использоваться в качестве посылки вывода. Как происходят такие выводы? Допустим, мы имеем предложение формы «Если А, то В». Если к этому мы добавим еще предложение «А»то из этих двух посылок можно вывести «В» Но для того, чтобы вывод был возможен, обе посылки должны быть истинными. Поэтому и аксиомы, если они служат в качестве посылок, должны быть истинны, ибо из чего-то ложного ничего нельзя выводить. Однако могли бы спросить, а нельзя ли выводить следствия из некоторого предложения, которое, может быть, ложно, для того, чтобы посмотреть, что получилось бы в том случае, если бы это предложение было истинным?

И так можно выводить дальнейшие следствия, не зная, истинно G или ложно. Но следует обратить внимание на определенное отличие. В предыдущем примере посылка «А» совершенно устраняется из заключительного предложения. Здесь же мы всегда сохраняем условие «Если G». От этого условия мы могли бы освободиться только в том случае, если бы узнали, что оно выполнено. В этом случае «В можно было бы совсем не рас сматривать в качестве посылки. Посылкой является

 Если G то А,

 где «G» является только частью. Вся эта посылка, конечно, должна быть истинной, но это возможно без того, чтобы условие было выполнено, без того, чтобы G имело место. Таким образом, если быть точным, то нельзя сказать, что здесь выводятся следствия из ложных или сомнительных мыслей, так как эти мысли выступают не самостоятельно в качестве посылок, но являются только частью посылки, которая в качестве таковой должна быть истинной. Но она может быть истинной без того, чтобы была истинной та часть мысли, которая входит в нее в качестве условия. Такие мнимые следствия из чего-то ложного мы имеем при косвенном доказательстве. Пусть, к примеру, нужно доказать, что в треугольнике больший угол лежит против большей стороны.

При исследовании оснований геометрии также порой возникает впечатление, будто делают вывод из чего-то ложного или сомнительного. Нельзя ставить вопрос так: что было бы, если бы аксиома о параллельных не имела места? Существует лишь одна из двух возможностей: или никак не употребляют аксиому о параллельных, а только спрашивают, насколько далеко можно было бы пойти с остальными аксиомами, или принимают нечто такое, что противоречит аксиоме о параллельных. Здесь можно рассматривать только этот последний случай. Но следует опять всегда помнить о том, что то, что ложно, никогда не может быть аксиомой, во всяком случае, если слово «аксиома» употребляется в издавна принятом смысле. Как же тогда поступать? Можно ли признавать аксиому о параллельных в качестве таковой? Будет ли прямая, которая пересекает одну из параллельных прямых, пересекать также и другую прямую? Собственно, на каждый из этих вопросов можно ответить только для себя. Я же могу толь ко сказать: поскольку слова «прямая», «параллельная» и «пересекать» я понимаю так, как я их понимаю, постольку я должен признать аксиому о параллельных. Если некто не признает этой аксиомы, то я должен принять, что он эти слова понимает иначе. Смысл этих слов неразрывно связан с аксиомой о параллельных. В соответствии с этим, мысль, которая противоречит аксиоме о параллельных, не может быть принята в качестве посылки вывода. Но истинная гипотетическая мысль, условие которой противоречит аксиоме о параллельных, могла бы использоваться в качестве посылки. Тогда это условие мы должны сохранять во всех суждениях, которые получены нами в цепочке выводов. Если бы однажды мы достигли некоторого гипотетического суждения, следствие которого противоречило бы известной аксиоме, то отсюда мы могли бы заключить, что условие, противоречащее аксиоме о параллельных, ложно. Тем самым мы доказали бы аксиому о параллельных с помощью другой аксиомы. Но тогда она была лишена статуса аксиомы, так как была бы доказана. В этом случае мы провели бы косвенное доказательство. Но если бы мы, все дальше и дальше расширяя последовательность выводов, нигде не натолкнулись на противоречие, недоказуемость нашей аксиомы казалась бы все более приемлемой для нас, хотя, тем не менее, не была бы доказанной. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» занимается вопросами о том, не противоречат ли аксиомы друг другу и являются ли они независимыми одна от другой. Но при этом у него изменяется смысл слова «аксиома». Если аксиома должна быть необходимо истинной, то невозможно, чтобы аксиомы противоречили одна другой. Относительно этого не стоит тратить слов. Но хотя это очевидно, г-н Гильберт однако никак не осознает, что если он затрагивает непротиворечивость и независимость аксиом, то он говорит совсем не об аксиомах в смысле Евклида. Можно сказать, что слово «аксиома» переливается у него раз личными значениями, однако он этого не замечает. Если по смотреть на точный текст одной из его аксиом, то сначала кажется, что это аксиома типа евклидовской; но текст обманывает, так как все слова употребляются иначе, нежели у Евклида. Мы читаем, например, в § 3: «Объяснение. Точки некоторой прямой находятся в определенном отношении друг к другу, для описания которого нам служит, в частности, слово "между"». И тут вводятся 4 аксиомы, которые только дополняют это объяснение. 11.1. Если А, В, С являются точками некоторой прямой и В лежит между Л и С, то В лежит также между С и А. 11.2. Если Л и С являются точками некоторой прямой, то всегда существует по крайней мере одна точка В, которая лежит между А и С, и по крайней мере одна точка ^, такая, что С лежит между А и Л 11.3. Среди любых трех точек некоторой прямой всегда найдется одна и только одна, которая лежит между двумя другими. 11.4. Любые четыре точки А, В, С, О некоторой прямой все гда могут быть упорядочены так, что В лежит между А и С, а также — между Л и О, и, далее, С лежит между А и Л, а также — между В и В. Эти аксиомы должны быть частью некоторого определения. Следовательно, в эти предложения должен входить некоторый знак, который до сих пор не имел никакого значения и который получает значение через посредство совокупности этих предложений. Кажется, этим знаком здесь должно быть слово «между». Но предложение, выражающее некоторую аксиому, не может содержать никакого нового знака. В нем должно быть все известно. До тех пор, пока слово «между» еще не имеет никакого смысла, предложение «Если А, В, С являются точками некоторой прямой и В лежит между А и С, то В лежит между С и А» не выражает никакой мысли. Но аксиома всегда является истинной мыслью. То, что не выражает никакой мысли, не может также выражать никакой аксиомы. Тем не менее, при чтении первого из этих предложений создается впечатление, что оно как будто бы является аксиомой. Но это впечатление создается только благодаря тому, что со словом «между» мы уже привыкли связывать некоторый смысл. Но если вместо

                            «В лежит между А и С»

мы скажем

                                      «В пат А нам С»,

 

то с этим не будет связано никакого смысла. Вместо так называемой аксиомы 11.1 мы бы имели предложение

                                           «Если В пат А нам С, то В пат С нам А».

Никто из тех, для кого эти слоги «пат» и «нам» являются новыми, не будет связывать мысли с этим мнимым предложением. То же самое относится и к другим трем псевдоаксиомам. Спрашивается, приобретает ли по крайней мере впоследствии выражение формы

                                                      «В пат А нам С»

некоторый смысл благодаря совокупности этих мнимых предложений, если под А, В, С понимать точки некоторой прямой. Я думаю, нет. Может быть, можно угадать, что оно означает то же, что и

«В лежит между А и С»,

но только угадать. А не может ли эта загадка иметь несколько решений? Но может ли тогда определение быть однозначным? Не является ли при известных условиях определенная свобода действий вполне желательной? Посредством а² = 4 двусмысленно определяется, чем должно быть а; но плохо ли это? Ну, если а должно быть собственным именем, значение которого должно быть установлено, то эта цель, очевидно, не будет достигнута. Напротив, здесь можно обнаружить понятие, под которое подпадают числа 2 и -2.

 

«Существует некоторое положительное число»,

«Существует корень кубический из 1».

 

В обоих мы понимаем нечто общее. Здесь нечто высказывается, но не о предмете, а о понятии. В первом предложении — о понятии положительного числа, во втором предложении — о понятии кубического корня из 1. И в каждом случае о понятии говорится, что оно не пусто, а выполнено. Конечно, неправильно говорить «Понятие положительного числа выполнено», так как при этом я, по-видимому, свожу понятие к некоторому предмету, на что указывает определенный артикль. Дело представляется таким образом, как будто бы «понятие положительного числа» является собственным именем, обозначающим предмет, и об этом предмете высказывается, что он выполнен. Но в действительности здесь мы совсем не имеем предмета. Язык заставляет нас здесь прибегать к неадекватному выражению, хотя действительно имеется некоторая аналогия. То, что мы обозначаем с помощью «положительное число», относится к тому, что мы обозначаем с помощью «существует», так же как предмет (напр., Земля) относится к понятию (напр., планета).

Я различаю понятия, под которые подводятся предметы, как понятия первой ступени, и понятия второй ступени, под которые, как я говорю, подводятся понятия первой ступени. Правда, все эти выражения следует понимать только обратно, так как будучи выражены точно, они стали бы неадекватными. Понятиями второй ступени можно признать также те, в которые включаются отношения.

Если, например, говорят:

«Относительно А, В, С должно иметь место, что В = С, если А находится в р—отношении к В и если А находится в р— отношении к С»,

то обозначают при этом понятие второй ступени, под которое подводятся отношения, а «находиться в р—отношении к...» представляет здесь знак аргумента, т.е. обозначение отношения, которое является аргументом. Если мы подставим, например, отношение равенства, то получим

«Относительно А, В, С имеет место, что В = С, если А = В и если А = С».

—Это истинно и, таким образом, отношение равенства подводится под понятие второй ступени.

Подобно тому, как функцию от одного аргумента, значением которой всегда является истинностное значение, мы назвали понятием, а функцию от двух аргументов, значением которой всегда является истинностное значение, назвали отношением, так же и для функции от трех аргументов, значением которой всегда является истинностное значение, мы могли бы ввести особое наименование. Предварительно такую функцию можно было бы назвать отношением с тремя фундаментами. Такого рода функция обозначалась бы словами «лежит между... и...», если бы эти слова понимались так, как они понимаются согласно употреблению языка, когда речь идет об евклидовских точках на евклидовской прямой. Однако в наших псевдо-аксиомах эти слова используются не как обозначающие знаки, а только как указывающие, подобно буквам в арифметике. Таким образом, здесь они не обозначают такое отношение с тремя фундаментами, а только указывают некоторое такое отношение. Если к тому же здесь мы хотим слова «точка» и «прямая» понимать в евклидовском смысле, то слова «лежать между... и...» следует рассматривать не как слова, имеющие некоторый смысл, а как представителей некоторого аргумента, подобно букве «а» в «а²». Но функция, аргумент которой они представляют, является понятием второй ступени, в которое могут входить только отношения с тремя фундаментами.