Гильберт Давид

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ  ^<**>

(пер. с англ. А.Г. Барабашева) ^<**>

 

Любое государство развивается успешно, — впрочем, это относится и к жизни любого отдельного человека, — если дела идут хорошо и у его соседей; жизнь наук в этом отношении аналогична жизни государств, и их преуспеяние зависит от порядка как в них самих, так и в их отношениях с другими науками. Ясно понимая это, наиболее известные представители математики всегда высказывали большой интерес к поддержанию закона и порядка в соседних науках и для пользы самой математики развивали отношения с этими соседними науками, в частности с физикой и философией. Сущность этих отношений и основа их плодотворности могут быть показаны более отчетливо, если коротко обрисовать тот общий метод исследования, который занимает все более и более важное место в современной математике, — я имею в виду аксиоматический метод.

Если соединять факты некоторой специфической области более или менее исчерпывающим образом, то мы быстро убедимся, что эти факты могут быть выстроены в определенном порядке. Этот порядок устанавливается неизменно с помощью некоторой понятийной структуры  такой, в которой существует связь между индивидуальными объектами данной области знания и понятиями структуры и между теми же фактами в данной области знания и логическими отношениями среди понятий. Понятийная структура есть нечто иное, как теория данной области знания.

Именно таким образом геометрические факты организуются в геометрию, арифметические факты — теорию чисел, статические, механические, электродинамические факты — в теорию статики, механики, электродинамики, а факты из области физики газов — в теорию газа. То же самое верно для областей знания термодинамики, геометрической оптики, элементарной теории излучения, передачи тепла или даже для теории вероятности и для теории множеств. Также хорошо это подтверждается в таких специфических областях чистой математики, как теория поверхностей, теория уравнений Галуа, теория простых чисел и даже в некоторых областях знания, лишь отдаленно связанных с математикой, таких, как определенные разделы психофизики или экономики.

Если мы рассмотрим имевшиеся теории более тщательно, то во всех случаях увидим, что в основании их понятийной структуры лежат именно те несколько предположений о данной области знания, которые достаточны для построения из них полной структуры знания в этой области в соответствии с логическими принципами.

Утверждение линейности уравнения плоскости, таким образом, является достаточным в геометрии, а то, что ортогональное преобразование координат точек достаточно для получения полноты обширного знания в геометрии евклидова пространства, показывается исключительно посредством анализа. Аналогично законы и правила вычисления для целых чисел достаточны для задания теории чисел. Такая же роль придается закону параллелограмма сил в статике, нечто подобное можно сказать и о дифференциальных уравнениях движения Лагранжа в механике; в свою очередь, уравнения Максвелла в электродинамике учитывают условия поведения электронов. Термодинамика полностью построена посредством задания понятия функции энергии и определения температуры и давления как проистекающих из их измерения, энтропии и объема. В центре элементарной теории излучения находится закон Кирхгоффа об отношении между излучением и поглощением; сходную роль играет закон Гаусса при вычислении вероятности, теорема энтропии как отрицательный логарифм вероятности событий в теории газа, представление элемента дуги квадратичной дифференциальной формой, теорема существования корней в теории уравнений, теорема распределения и частоты нулей дзета-функции Римана, являющаяся фундаментальной теоремой в теории простых чисел.

Рассматриваемые с обозначенных позиций, такие теоремы могут быть рассмотрены как аксиомы отдельных областей знания. Это означает, что успешное развитие отдельных областей знания основывается на значительном возрастании полноты понятийной структуры. Эти исходные позиции выделения теорем и методов как аксиом доминируют в чистой математике, и именно благодаря им столь мощно развились геометрия, арифметика, теория функций и анализ в целом.

В упомянутых случаях проблема построения отдельных областей знания получила свое решение, однако это решение было, так сказать, пробным (приблизительным). Но по мере дальнейшего развития любой науки становится все более необходимым целенаправленное выделение ее основополагающих предположений в чистом виде, осознания их в качестве аксиом и «помещение» их в «фундамент» данной области знания. Так произошло с «доказательствами» линейности уравнения плоскости и ортогональности преобразования, выражающего движение, с законами арифметических вычислений, с параллелограммом сил, с уравнениями движения Лагранжа и с законами Кирхгоффа излучения и поглощения, с принципом энтропии и с теоремой о существовании корней уравнения.

Но критическое рассмотрение этих «доказательств» заставляет прийти к выводу, что это еще не доказательства в собственном смысле слова, а скорее этапы продвижения к более глубинным предположениям (утверждениям), которые, в свою очередь, могут быть рассмотрены как аксиомы более основополагающие, чем те предположения (утверждения), которые имелись первоначально. Таковы, в частности, современные аксиомы геометрии, арифметики, статики, механики, теории излучения и термодинамики. Эти аксиомы есть «более глубоко лежащий пласт» чем предшествующие, непредумышленно найденные (первые) основания отдельных областей знания. Механизм аксиоматического метода приводит к более глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения.

Если теоретическая основа конкретной науки — это представляющая ее понятийная структура, то для упорядочивания и развития исходной области знания ей необходимо соответствовать двум основным требованиям: она должна, во-первых, предлагать общий взгляд на зависимость или независимость утверждений теории и, во-вторых, гарантировать непротиворечивость всех утверждений теории. Эти пункты обязательны для аксиом каждой теории. Рассмотрим вначале первый из них.

Аксиома параллельности в геометрии является классическим примером исследования независимости аксиом. Евклид отрицательно ответил на вопрос о том, является ли утверждение о параллельности зависимым от других аксиом, поскольку он поместил его среди аксиом. Евклидов метод исследования стал типичным для представителей аксиоматического исследования, и со времен Евклида геометрия стала модельным примером аксиоматической науки в целом.

Классическая механика предоставляет другой пример исследования независимости аксиом. Лагранжево уравнение движения, как оно всегда рассматривается, способно действовать как аксиома механики — до тех пор, пока это бесспорно не делает механику более полной при общей формулировке произвольных сил и произвольных вторичных состояний. Более тщательное рассмотрение показывает, однако, что произвольные силы, как, впрочем, и произвольные вторичные состояния, не необходимы для конструирования механики и что, следовательно, система предположений может быть сокращена. Это понимание ведет, с одной стороны, к аксиоматической системе

Больцмана, который предполагал только силы, а именно центральные силы, а с другой - к аксиоматической системе Герца, который отрицал силы и считал достаточными только вторичные свойства, а именно  фиксированные взаимосвязи. Эти две аксиоматические системы формируются на глубинном уровне аксиоматизации механики.

Сходный случай возникает, если представить как аксиому теорему о нулях дзета-функции Римана в теории простых чисел. Доказательство этой теоремы будет необходимым для движения к более глубинному уровню чисто арифметических аксиом, что будет лучшей гарантией сохранности важнейших следствий.

Специальный интерес для аксиоматического осмысления представляет вопрос о зависимости утверждений в области действия аксиомы непрерывности.

В теории действительных чисел показано, что аксиома измерения, так называемая аксиома Архимеда, независима от всех остальных аксиом арифметики. Как хорошо известно, этот факт существенно значим для геометрии, но мне представляется, что не меньший интерес он представляет и для физики, ибо ведет нас к следующему результату: к рассмотрению измерений и досягаемости небесных тел возможно подходить посредством соединения вместе земных досягаемостей, измерения небесных расстояний земными мерами, и в то же время можно расстояния внутри атомов выражать в терминах метрического измерения. Данное положение можно понять не только как логическое следствие утверждений о конгруэнтности треугольников и геометрических конфигураций, но и как результат реальной деятельности. Действительность аксиомы Архимеда в реальности в том смысле, в каком это было сейчас отмечено, нуждается в экспериментальном подтверждении точно так же, как утверждение о сумме углов треугольника в обычном смысле, в общем, я хотел бы сформулировать аксиому непрерывности в физике следующим образом: «Если данному физическому утверждению предписана некоторая произвольная степень точности, то затем может быть установлен малый диапазон, в пределах которого предположения, предшествующие исходному утверждению, могут свободно изменяться таким образом, что отклонения от утверждения не превысят предписанного уровня точности». Эта аксиома ценна лишь тем, что вытекает из самой сущности эксперимента; и она всегда принималась физиками, хотя никогда и не формулировалась ими прямо

Если кто-то выведет, примерно так же, как Планк, вторую теорему Хита из аксиомы невозможности построения машины перпетуум мобиле второго рода, то эта сформулированная мною аксиома непрерывности будет им необходимо употреблена.

Гамель очень интересным способом показал, что в соответствии с принципом вполне упорядочиваемости континуума аксиома непрерывности необходима для доказательства закона параллельных сил в основаниях статфизики — по крайней мере для удобного выбора других аксиом.

Аксиомы классической механики могут быть сформулированы более глубоко, если предположить непрерывное движение и использовать аксиому непрерывности в последовательном коротком едином прямолинейном разбитом на куски импульсом движении, а затем использовать принцип максимума Бертрана как добавочную механическую аксиому; в соответствии с ней реально совершающееся движение после каждого толчка (удара) происходит таким образом, что кинетическая энергия системы максимально противоположна всем движениям, совместимым с принципом сохранения энергии.

В новейших способах обоснования физики, особенно в электродинамике, появляется не что иное, как теория континуума сама не себе, и соответственно берется непрерывность в широком пространстве, которое я не могу представлять здесь, так как соответствующие исследования еще не завершены.

Теперь займемся анализом второй из названных выше проблем, а именно требованием непротиворечивости аксиом. Это требование огромной значимости, поскольку существование противоречия в теории является проявлением ее нестабильности.

Понимание внутренней непротиворечивости сопряжено с трудностями даже в давно принятых и процветающих теориях. Я подразумеваю «Umkehr» и «Wieder — kehreinwand» [аргументы против больцмановской Н-теоремы, принадлежащие Лошмидту и Цермело — прим. перев.] в кинетической теории газов. Часто случается так, что внутренняя непротиворечивость теории достаточна для ее объяснения до тех пор, пока глубокое математическое развитие Необходимо для доказательств. Например, возьмем проблему из элементарной теории теплообмена, точнее, распределение температуры внутри однородного тела, поверхность которого хорошо сохраняет внутри температуру, варьирующуюся от места к месту. Тогда требование существования температурного равновесия содержится в факте, не противоречащем теории. Для того, однако, чтобы это понять, необходимо доказать, что хорошо известная проблема определения граничных значений в теории потенциала всегда разрешима, ибо эта проблема показывает, что распределение температур, удовлетворяющее уравнению теплообмена, возможно вообще.

Конечно, всего этого для физики вообще недостаточно, однако, если утверждения теории находятся в гармонии друг с другом, то тогда они еще могут встретиться с требованием не противоречить утверждениям соседних областей знания.

Так же как было показано выше, аксиомы элементарной теории излучения добавляют к фундаментальному закону излучения и поглощения Кирхгоффа еще один специальный закон отражения и преломления простых световых лучей, а именно закон того, что если два луча естественного света равной энергии падают со стороны на пространство, разделенное двумя посредниками в таких направлениях, что один луч после испускания, а другой после отражения принимают общее направление, то луч, получившийся после их объединения, опять представляет луч натурального света той же энергии. Этот закон, как фактически ясно, не противоречит оптике, но он может быть выведен как следствие из электромагнитной теории света.

Результаты кинетической теории газов, как хорошо известно, находятся в полном соответствии с термодинамикой.

Таким же образом электромагнитная инерция и эйнштейновская гравитация совместимы с соответствующими понятиями в классической механике постольку, поскольку они предполагаются пограничными случаями в более общих понятиях.

С другой стороны, современная теория кванторов и возникающее знание внутренней  структуры атомов ведут к закону, который решительно противостоит электродинамике в том виде, в котором она была построена с помощью уравнений Максвелла; и необходимо признать, что современная электродинамика требует качественно новых оснований.

Можно понять, что устранение противоречий в физических теориях всегда осуществляется путем селекции аксиом, и сложность заключается в подборе ситуации, где все известные физические законы должны быть логически выводимы.

Положение, однако, изменяется, когда противоречия имеют место в чисто теоретических областях знания. Теория множеств предоставляет классический пример такого случая, например парадокс множества всех множеств, который восходит к самому Кантору. Этот парадокс столь серьезен, что такие выдающиеся математики, как Кронекер и Пуанкаре, пришли к отрицанию теории множеств в целом (отрицанию одного из наиболее плодотворных и могущественных разделов математики) и любого оправдания ее существования.

Аксиоматический метод тем не менее находит средство для устранения таких опасных обстоятельств. Поскольку он выдвигает подходящие аксиомы, ограничивающие, с одной стороны, произвол в определениях множеств самих по себе и, с другой допустимость использования их элементов специфическим образом, Цермело удалось развить теорию множеств таким образом, что указанный парадокс был устранен и посредством ограничений смысл и приложимость теории множеств остались прежними.

Во всех упомянутых случаях проблема состояла в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Однако, для того чтобы избежать противоречий, недостаточно просто восстановить пошатнувшуюся репутацию математики как наиболее строгой науки. Принципиальное требование аксиоматики должно быть направлено в будущее, а именно на установление того обстоятельства, что противоречия вообще не могут быть возможны в области знания, базирующейся на установленной системе аксиом.

Исходя из этого требования, в «Основаниях геометрии» я доказал совместимость выделенных аксиом, для которых, как показано, каждое противоречие в дедукции из геометрических аксиом необходимо сказывалось бы также и в системе арифметики действительных чисел.

Не вызывает сомнений, что для областей физического знания внутренняя совместимость также редуцируется к совместимости аксиом арифметики. Аналогично совместимость аксиом элементарной теории излучения отражена в конструировании аксиоматической системы для теории с аналитически независимыми частями, где совместимость анализа является одной из предпосылок.

Вполне приемлемо, чтобы такие же допущения принимались при построении математической теории в целом. Если мы примем за аксиому, например, теорему существования корней в теории уравнений Галуа или же теорему о существовании нулевых точек дзета-функции Римана в теории простых чисел, то доказательство непротиворечивости аксиоматической системы состоит только в аналитическом доказательстве теоремы существования корней или теоремы дзета-функции - и на первое время безопасность теории обеспечена.

Таким же образом вопрос непротиворечивости аксиоматической системы действительных чисел сводится путем использования понятий теории множеств к тому же вопросу для целых чисел. Это сведение является заслугой теории иррациональных чисел, созданной Вейерштрассом и Дедекиндом.

Только в двух случаях, а именно в случае аксиоматики целых чисел и в случае оснований теории множеств, эта попытка сведения к другой специфической области знания невыполнима, так как за логикой «не стоит» дисциплины, к которой можно было бы обратиться.

Однако, поскольку доказательство непротиворечивости является задачей, которая не может быть отменена,  становится необходимым аксиоматически построить саму логику, а затем установить, что теория чисел и теория множеств •являются только частями логики.

По этому пути, подготавливаемому долгое время, и не в последнюю очередь глубокими исследованиями Фреге, в конце концов стремительно продвинулся великий математик и логик Рассел, в результате им была создана аксиоматика логики, которая увенчала собой работу по созданию теории аксиоматизации в целом.

Тем не менее ее завершение потребовало многих новых работ. При ближайшем рассмотрении мы в настоящее время видим, что вопросы о непротиворечивости теории целых чисел и теории множеств не являются изолированными, а входят в огромный массив наиболее трудных эпистемологических вопросов, имеющих специальную математическую окраску. Характеризуя состав этого массива, я упомяну проблему принципиальной решаемости каждого математического вопроса, проблему дополнительной проверки результатов математического исследования, вопрос критериев простоты математических доказательств, вопрос взаимоотношений содержания и формализма в математике и логике и, наконец, проблему разрешимости произвольных математических проблем с помощью конечного числа операций.

До тех пор пока все вопросы такого типа не будут поняты и объяснены, невозможно удовлетвориться достигнутым уровнем аксиоматизации логики.

Последний из указанных вопросов, а именно вопрос о разрешимости с помощью конечного числа операций, является наиболее хорошо известным и часто обсуждаемым, ибо он глубоко затрагивает сущность математического мышления. Я хотел бы сейчас обратить на него внимание и рассмотреть несколько частных математических проблем, в которых он играет существенную роль.

В теории алгебраических инвариантов фундаментальная теорема гласит, что существует конечное количество (рациональных) целых инвариантов, с помощью которых могут быть представлены все остальные инварианты. Первое общее доказательство, данное мною, удовлетворяет, я уверен, нашим требованиям и действительно обладает ясностью и простотой. Однако это доказательство невозможно модифицировать таким образом, чтобы получить в точно очерченном и ограниченном процессе конкретный полный набор инвариантов данной системы или даже продвинуться в конкретном его получении. Скорее, здесь нужен совершенно другой вид исследования и новые принципы для того, чтобы понять, что строение полной системы инвариантов требует только тех операций, количество которых конечно и которые допускают конечное нахождение с помощью вычислений.

Аналогичная ситуация наблюдается в теории поверхностей. В геометрии четырехмерных поверхностей фундаментальным вопросом является то, каково максимальное количество попарно пересекающихся выпуклых поверхностей может в них содержаться.

Первое, что тут можно ответить, это сформулировать утверждение, что таких случаев может быть только конечное количество; это может быть легко обосновано с помощью теории функций, например, так: предположим, что таких покрытий бесконечное количество, и тогда выберем момент времени, когда эта часть пространства будет покрыта. Объединение этого бесконечного количества выбранных точек даст точку такую странную, что она не будет принадлежать алгебраической поверхности.

Это использование теории функций, без сомнения, ведет к заданию ограничений для количества покрытий, однако здесь невозможно найти количество пересечений и в конце концов показать, что количество покрытий не может быть более чем 12.

Второй метод, полностью отличный от- первого, в противоположность ему не является «прикладным» и не может быть модифицирован таким образом, чтобы показать, возможно ли покрытие четырехмерной поверхности 12 различными типами покрытий.

Поскольку четырехмерная четвертичная форма имеет 35 однородных коэффициентов, то мы можем ее представить как специальную четырехмерную поверхность в 34-мерном проективном пространстве. Дискриминант четырехмерной четвертичной фермы в своих собственных коэффициентах обладает степенью 108; если его приравнять нулю, то он представляет поверхность порядка 108 в 34-мерном пространстве. Поскольку коэффициенты дискриминанта сами по себе - специального вида целые числа, то топологический характер поверхности, описываемой дискриминантом, очевидно определяется в соответствии с правилами, которые хорошо известны для двух— и трехмерного пространства, так что мы можем быть точно осведомлены о природе и значении отдельных секций, на которые поверхность дискриминанта разделяет 34-мерное пространство. Итак, все четырехмерные поверхности представлены точками этих секций, которые действительно обладают равным числом покрытий, и теперь возможно определить посредством конечного количества сложных и хлопотных вычислений, где существует и где не существует четырехмерная поверхность с покрытием меньшим или равным 12.

Геометрическое рассмотрение дает нам третий путь поиска ответа на вопрос нахождения максимального количества покрытий четырехмерной поверхности, доказывая возможность разрешения вопроса через конечное количество операций. Аналогичным образом к проблеме такого же ранга .сводится задача определения десятичного выражения числа с точностью до 10 (в 10 в 10) степени — задача, которая может быть, без сомнения, решена, однако решение которой до сих пор неизвестно.

Для того чтобы понять, что 11 покрытий для четырехмерной поверхности невозможны, а 10 покрытий действительно имеют место, вероятно, необходимо проницательное и глубокое исследование в области алгебраической геометрии, произведенное Рохом. Данный (четвертый) метод, возможно, предоставит полное решение проблемы.

Эти специальные исследования показывают, сколь различными могут быть методы доказательства, приложенные к одной и той же проблеме; они также предполагают необходимость изучения сущности математического доказательства самого по себе для последующего решения вопросов вроде того, разрешима ли проблема с помощью конечного количества операций- вообще.

Поставленные вопросы заключают в себе принципы, о которых я говорил выше, и из которых только последний из числа названных был связан с проблемой разрешимости с помощью конечного числа операций. Это свидетельствует о несомненной важности и достижимости для нас нового поля исследований; приступить к освоению данного поля мы должны, по моему мнению сделав концепцию математического доказательства самостоятельным объектом исследования, точно так же как астроном должен принимать в расчет свое местоположение, физик - рассматривать используемый в теории аппарат, а философ — отвергать метафизические представления о причинности в отрыве от реальных причинно-следственных отношений. Осуществление этой программы, конечно, является делом будущего.

В заключение я хотел бы суммировать мое общее понимание аксиоматического метода в нескольких строках. Я уверен: все, что может быть объектом научного «исследования в целом, и постольку, поскольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматическому методу и через него косвенно к математике. Обращаясь вперед, по направлению к более глубокому пласту аксиом, в дополнительном понимании мы достигаем более глубокого проникновения в сущность научного мышления и еще более ясно осознаем единство нашего знания. В свидетельствах аксиоматического метода, как представляется, математика призвана играть лидирующую роль в науке в целом.

 

=================================================================

Демидов С.С.

Комментарий к работе Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление» **

Предлагаемая вниманию читателей работа Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление» представляет собой текст доклада, прочитанного великим, математиком в сентябре 1917 года в Цюрихе собранию Швейцарского математического общества. Уже три года в Европе бушевала война. Здесь же, в нейтральной Швейцарии, все спокойно. И лишь настрой вступительных фраз гильбертовского доклада вносит в мирную обстановку математического заседания ощущение причастности, к событиям военного времени.

Гильберту 55 лет. Он в зените славы. Крупнейший математик мира, выдающийся специалист в ее основаниях.

Еще в 1899 году вышли первые издания «Основания геометрии», составившие эпоху в основаниях математики и истории аксиоматического метода. Предложенная им система аксиом геометрии, естественным образом распределенных по группам, проясняла всю логическую структуру геометрии. Такое распределение позволяло исследовать вопрос о пределах, до которых можно развивать геометрию, основанную на тех или иных группах аксиом. Вопрос о непротиворечивости предложенной системы аксиом был сведен Гильбертом к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.

В 1900 году Гильберт опубликовал работу «О понятии числа», в которой предложил аксиоматику арифметики действительных чисел. В том же году он выступил в Париже на Д Международном конгрессе математиков со знаменитым докладом «Математические проблемы», в котором под номером два сформулировал проблему доказательства непротиворечивости аксиоматики арифметики действительных чисел. «Когда речь идет о том, чтобы исследовать основания какой-нибудь науки, то следует установить систему аксиом, содержащих точное и полное описание тех соотношений, которые существуют между элементарными понятиями этой науки. Эти аксиомы являются одновременно определениями этих элементарных понятий, и мы считаем правильными только такие высказывания в области науки, основания которой мы исследуем, какие получаются из установленных аксиом с помощью конечного числа логических умозаключений» — такими словами [1. С. 25] Гильберт предварил формулировку проблемы. Далее он высказал требования, предъявляемые к системе аксиом математической науки: независимость и непротиворечивость

В том же докладе под номером шесть Гильберт сформулировал задачу «об аксиоматическом построении по этому же образцу (по образцу геометрии — С.Д.) тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика» [1. С. 34].

В том же докладе под номером шесть Гильберт сформулировал задачу «об аксиоматическом построении по этому же образцу (по образцу геометрии — С.Д.) тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика» [1. С.34].

Таким образом, уже к 1900 году у Гильберта сложилась, как можно видеть из приведенных его высказываний, обширная программа аксиоматизации математики и, шире, математического естествознания: выделения естественных аксиоматик соответствующих теорий, а также доказательства их независимости и непротиворечивости.

Однако с реализацией этой программы сам Гильберт не торопился. Его собственные исследования по основаниям геометрии, мало-помалу уступали новому увлечению — теории интегральных уравнений, которая стала основным предметом его занятий вплоть до 1912 года. Но чем бы ни занимался Гильберт, проблемы оснований математики оставались объектом его пристального внимания и постоянных размышлений. И когда в основаниях математики разразился скандал, связанный с открытием парадоксов теории множеств, Гильберт отозвался на него большим докладом на Ш Международном конгрессе математиков, проходившем в Гейдельберге в 1904 году

«Я придерживаюсь того мнения, - говорил тогда Гильберт [2], — что все затронутые трудности (связанные с теоретико-множественными парадоксами. - С.Д.) могут быть преодолены и что можно притти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию понятия числа и притом с помощью метода, который я называю аксиоматическим; основную его идею я хотел бы обрисовать в данном докладе; строгое и последовательное проведение и развитие этого метода я оставляю на будущее».

Если до открытия парадоксов теории множеств Гильберт полагал получить доказательство непротиворечивости аксиоматики арифметики на пути усовершенствования методов рассуждений теории действительных чисел, то теперь он видел путь в разработке теории самих доказательств.

Однако для работы по построению такой теории Гильберт был еще не готов. Его увлечение интегральными уравнениями мало-помалу уступало интересам в области физики, которые сосредоточивались на комплексе задач, составляющих содержание шестой его проблемы аксиоматизации физики. Он разрабатывает аксиоматические системы кинетической теории газов и элементарной теории излучения.

Именно на пересечении двух линий интересов Гильберта — распространения аксиоматического подхода на физику и обоснования непротиворечивости аксиоматических систем арифметики теории множеств на пути построения теории доказательств — лежит публикуемый нами его доклад.

В докладе Гильберт так определяет сущность своего понимания аксиоматического метода: «Я верю, что все, что может быть объектом научного исследования и достигшее уровня зрелости, достаточного для включения в некоторую теорию, подвластно аксиоматическому методу и через него косвенно математике. Обращаясь к более глубокому пласту аксиом...  мы достигаем более глубокого проникновения в сущность научного мышления и еще яснее осознаем единство нашего знания. В проявлениях аксиоматическою метода математика, как представляется, призвана играть лидирующую роль в науке в целом».

Главные требования, которые Гильберт ставит перед аксиоматизированной теорией, как мы уже говорили, это независимость ее аксиом и их непротиворечивость. Он обсуждает эти требования применительно к аксиоматикам теоретических областей, таких, как теория множеств, и прикладных вроде отдельных разделов физики. Наибольшие сложности таит в себе проблема непротиворечивости. До сих пор она решалась сведением к аналогичной проблеме для другой области, непротиворечивость которой на интуитивном уровне не вызывала сомнений вроде арифметики. Пример этому дал сам Гильберт, сведя проблему непротиворечивости аксиоматики геометрии к непротиворечивости арифметики действительных чисел. «Только в двух случаях, - пишет Гильберт, - а именно в случае аксиоматики целых чисел, а также в случае оснований теории множеств, эта попытка сведения к другой специфической области знания невыполнима, так как за логикой нет далее дисциплины, к которой можно было бы обратиться». Ссылки на интуицию ввиду открывшихся парадоксов теории множеств выглядели неубедительно. Нужно было изыскивать иные подходы к доказательству непротиворечивости. Такие подходы Гильберт видел в построении аксиоматизации самой логики и в построении теории доказательств.

Проблемы непротиворечивости арифметики целых чисел и теории множеств Гильберт рассматривает как частные в обширной области наиболее трудных эпистемологических проблем, связанных с математикой. Гильберт формулирует пять таких проблем:

1. Проблему принципиальной разрешимости каждой математической задачи.

2. Проблему контролируемости результатов математического исследования.

3. Проблему критериев простоты математических доказательств.

4. Проблему соотношения содержательного и формального в математике и логике.

5. Проблему разрешимости произвольных математических задач с помощью конечной процедуры.

По каждой из этих проблем (проблем Гильберта в философии математики) Гильберт оставил интересные мысли, разбросанные по различным его работам. Особенно много думал он над первой и последней проблемами. Эти размышления во многом определили специфику теории доказательств, к разработке которой он приступил вскоре после произнесения доклада. Доклад «Аксиоматическое мышление» стал первым симптомом начавшейся «болезни» Гильберта основаниями математики. Весной того же года он пригласил к себе в качестве ассистента молодого математика из Цюриха П. Бернайса, с которым приступил к работе по созданию теории доказательств.

И хотя программа, поставленная Гильбертом, в полном объеме оказалась принципиально нереализуемой — результаты К. Геделя 1930 года развеяли надежды на возможность доказательств непротиворечивости арифметики финитными средствами, — эта теория определила дальнейшее направление исследований по основаниям математики вплоть до сегодняшнего дня. Аксиоматическое же мышление, проповеданное Гильбертом, давшим совместно со своими учениками и последователями блестящие его образцы, во многом определило характер математики и его приложений в нынешнем столетии. Достаточно упомянуть деятельность Э. Нётер, Э. Артина и их учеников по аксиоматизации алгебры и созданию «современной алгебры». С их деятельностью были связаны первые шаги будущей школы Н. Бурбаки, предпринятые накануне Второй мировой войны. Таким образом, выделение понятия структуры и понимание математики как теории структур, сам дух бурбакизма, паривший в математике вплоть до недавнего времени, являются ни чем иным, как новой стадией в развитии аксиоматического мышления.

Сегодня математика вступила в новую фазу своего развития. Дух бурбакизма утрачивает свое былое влияние и сам аксиоматический метод уже не является доминантой в математике, уступая лидерство генетическим конструкциям порождения нового знания, истоки которого вновь обнаруживаются в физике и механике [Выражение крайней оппозиции к принципам аксиоматического мышления читатель найдет в рецензии В.И. Арнольда на книгу И.Р. Шафаревича «Основные понятия алгебры». М.: ВИНИТИ, 1986]. Но сколько бы ни длилось это положение вещей, можно быть уверенным в том, что придет время, когда найденные новые результаты и построенные эффективные теории потребуют своего осмысления, которое возможно лишь на базе аксиоматического мышления - такова диалектика развития математического знания.

Литература:

1. Проблемы Гильберта. Сборник /Под ред. П.С. Александрова. М., 1969.

2. Гильберт Д. Основания геометрии. М.— Л., 1948.

3. Арнольд В.И. Математика с человеческим лицом //Природа. 1988. № 3. С. 117—119.

 

=====================================================================

Гильберт Д.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ ^<**>

(пер. с нем. Ю.А. Данилова)

 

Подобно тому как в жизни народов отдельный народ может процветать только в том случае, если и у соседних народов дела идут хорошо, и интересы государств требуют не только поддержания порядка внутри каждого отдельного государства, но и надлежащего упорядочения связей между государствами, так же обстоит дело и в жизни науки. Понимая это, наиболее выдающиеся представители математического мышления проявляли большой интерес к законам и порядкам в смежных науках и — в первую очередь на благо самой математики — стремились к установлению связей со смежными науками, в особенности с обширными царствами физики и теории познания. Я полагаю, что сущность этих связей и причина их плодотворности предстанут перед нами наиболее отчетливо, если я попытаюсь охарактеризовать тот общий метод исследования, который, насколько можно судить, играет все более важную роль в математике последнего времени: я имею в виду аксиоматический метод.

Стоит нам собрать воедино факты любой более или менее обширной области знания, как мы сразу замечаем, что эти факты могут быть упорядочены. Такое упорядочение достигается всякий раз с помощью своего рода каркаса понятий, возведенного с таким расчетом, чтобы отдельному объекту данной области знания соответствовало понятие из этого каркаса, а каждому факту из этой области знания соответствовала некоторая логическая связь между понятиями. Такой каркас понятий есть не что иное, как теория данной области знания.

Например, геометрические факты при упорядочении выстраиваются в геометрию, арифметические факты — в теорию чисел, факты, касающиеся статических, механических, электродинамических явлений — в такие теории, как статика, механика, электродинамика, а факты из физики газов — в теорию газов. Аналогичным образом обстоит дело с такими областями знания, как термодинамика, геометрическая оптика, элементарная теория излучения, теория теплопроводности, а также теория вероятностей и теория множеств. Сказанное относится и к таким специальным чисто математическим областям знания, как теория поверхностей, теория Галуа разрешимости уравнений, теория простых чисел, ничуть не в меньшей степени, чем ко многим областям знания, лежащим далеко от математики, например, к некоторым разделам психофизики или теории денег.

Рассматривая ту или иную теорию более подробно, мы всякий раз обнаруживаем, что в основании каркаса лежит небольшое число утверждений из данной области науки, которых достаточно, чтобы из них с помощью логических законов построить весь каркас.

Так в геометрии теорем о линейности уравнения плоскости и об ортогональном преобразовании координат точки достаточно для того, чтобы средствами анализа полностью построить всю обширную науку геометрии евклидова пространства. Для построения, скажем, теории чисел достаточно законов, которым подчиняются арифметические действия над целыми числами. В статике такую же роль играет утверждение о параллелограмме сил, в механике — лагранжевы дифференциальные уравнения движения и в электродинамике — уравнения Максвелла, дополненные предположением, что электрон представляет собой твердую заряженную частицу. Термодинамику можно полностью построить на понятии функции энергии и определении температуры и давления как производных по аргументам этой функции—энтропии и объему. В центре элементарной теории излучения находится теорема Кирхгофа о взаимосвязи между испусканием и поглощением; в теории вероятностей основополагающей является теорема о гауссовом законе распределения, в теории газов — теорема об энтропии как взятом со знаком минус логарифме вероятности состояний, в теории поверхностей — представление элемента дуги в виде квадратичной дифференциальной формы, в теории уравнений — теорема о существовании корней, в теории простых чисел — теорема о вещественности и распределении нулей дзета-функции Римана.

Такие основополагающие теоремы с определенной точки зрения можно рассматривать как аксиомы данной отдельной области знания: последующее развитие этой области знания сводится исключительно к логическим построениям на базе уже имеющегося каркаса понятий. В особенности в чистой математике такая точка зрения стала господствующей, и именно этому мы обязаны мощным развитием геометрии, арифметики, теории чисел и всего анализа.

Тем самым в названных случаях проблема обоснования отдельной области знания обрела свое решение; но это решение носило лишь предварительный характер. Действительно, в отдельных областях знания возникла потребность в обосновании самих упомянутых выше теорем, принятых в качестве аксиом и положенных в основу. Так были получены «доказательства» линейности уравнения плоскости и ортогональности преобразования, выражающего движение, законов арифметики, параллелограмма сил, лагранжевых уравнений движения и закона Кирхгофа, устанавливающего взаимосвязь между испусканием и поглощением, теоремы об энтропии и теоремы о существовании корней уравнения.

Но как показывает критическая проверка такого рода «доказательств», они сами по себе не являются доказательствами, а лишь позволяют осуществить сведение к некоторым лежащим более глубоко теоремам, которые в свою очередь могут быть приняты в качестве новых аксиом вместо доказываемых теорем. Так возникает то, что ныне принято называть собственно аксиомами геометрии, арифметики, статики, механики, теории излучения или термодинамики. Эти аксиомы образуют слой аксиом, лежащий более глубоко, чем тот слой, который характеризуется упоминавшимися выше теоремами, первоначально принятыми за основополагающие в отдельных областях знания. Тем самым использование аксиоматического метода в том  виде, как он здесь изложен оказывается эквивалентным углублению фундамента данной области знания, столь необходимому любому зданию по мере того, как его надстраивают, увеличивают его высоту, не переставая при этом заботиться о его надежности.

Поскольку теория некоторой области знания (т.е. представляющий эту область каркас понятий) должна соответствовать своему предназначению, а именно служить целям ориентации и упорядочения,  она должна прежде всего удовлетворять двум требованиям: во-первых, давать возможность судить о зависимости или независимости теорем теорий и, во-вторых, гарантировать непротиворечивость всех теорем теории. Аксиомы каждой теории подлежат тщательной проверке с этих двух точек зрения.

Начнем с зависимости или независимости аксиом. Классическим примером проверки независимости аксиомы может служить аксиома о параллельных в геометрии. На вопрос о том, не следует ли утверждение о параллельных из других аксиом, Евклид ответил отрицательно, включив его в число аксиом. Избранный Евклидом метод изучения предмета стал образцом аксиоматического исследования, и со времен Евклида геометрию вообще принято считать эталоном аксиоматизированной науки.

Другой пример исследования зависимости или независимости аксиом дает классическая механика. На первых порах в качестве аксиом механики можно, как я уже упоминал, взять уравнения движения в форме Лагранжа, т. е. эти уравнения в своей общей формулировке, для любых сил и любых дополнительных условий, вполне могут служить надежным фундаментом для обоснования механики. Но при более подробном анализе оказывается, что при построении механики нет необходимости предполагать наличие как любых сил, так и любых дополнительных условий, что позволяет сузить множество предположений. Осознание этого факта приводит, с одной стороны, к системе аксиом Больцмана, предполагающего наличие одних лишь сил, причем сил особого рода — центральных, но не вводящего никаких дополнительных условий, и к системе аксиом Герца, отвергающего силы и исходящего из дополнительных условий, а именно из предположения о жестких связях. Обе эти системы аксиом представляют собой более глубокий слой продолжающейся аксиоматизации механики.

Если при обосновании теории Галуа разрешимости уравнений мы примем в качестве аксиомы существование корней уравнения, то такая аксиома заведомо будет зависимой: теорема о существовании корней уравнения, как впервые показал Гаусс, может быть доказана, исходя из арифметических аксиом.

Аналогичным образом обстоит дело и в том случае, если мы примем, например, за аксиому в теории простых чисел теорему о вещественности нулей дзета-функции Римана : при переходе на более глубокий уровень чисто арифметических аксиом доказательство этой теоремы стало бы необходимым; только оно гарантировало бы нам сохранение важных следствий, которые мы установили, постулировав вещественность нулей дзета-функции.

Особый интерес для аксиоматического подхода представляет вопрос о зависимости теорем той или иной области знания от аксиомы непрерывности.

В теории вещественных чисел доказывается, что аксиома измерения (так называемая аксиома Архимеда) не зависит от всех остальных арифметических аксиом.

Как известно, знание этого обстоятельства имеет существенное значение для геометрии, но, как мне кажется, оно представляет принципиальный интерес и для физики, ибо приводит к следующему результату: то, что мы путем сложения земных расстояний достигаем размеров космических тел и расстояний между ними, т. е. можем измерять земными мерами небесные длины, равно как и то,  что расстояния внутри атома могут быть выражены в метрических мерах, отнюдь не является чисто логическим следствием теорем о конгруэнтности треугольников и геометрических конфигурациях, а представляет собой результат исследования эмпирии. Выполнимость аксиомы Архимеда в природе требует в этом смысле такого же экспериментального подтверждения, как, например, теорема о сумме углов треугольника.

В общем виде я мог бы сформулировать аксиому непрерывности в физике следующим образом: «Если некоторое физическое утверждение должно выполняться с любой, сколь угодно высокой степенью точности, то должно быть возможно указать малые области, свободное варьирование внутри которых предположений, сделанных при формулировке утверждения, не приведет к выходу за пределы предписанной точности». По существу эта аксиома лишь явно выражает то, что составляет самую сущность эксперимента; физики всегда принимали ее, но до сих пор не формулировали.

Например, аксиома непрерывности с необходимостью используется, когда, следуя Планку, из аксиомы невозможности вечного двигателя второго рода выводят второе начало термодинамики.

То что аксиома непрерывности необходима при обосновании статики для доказательства теоремы о параллелограмме сил (по крайней мере при том выборе остальных аксиом, который первым приходит в голову), показал Гамель — весьма интересным способом, используя теорему о полной упорядочиваемости континуума.

Аксиомы классической механики можно перевести на более глубокий уровень, если с помощью аксиомы непрерывности мысленно разложить непрерывное движение на короткие следующие один за другим участки равномерного прямолинейного движения под действием импульсов и использовать в качестве существенной аксиомы механики принцип максимума Бертрана, согласно которому движение, реально возникающее после каждого толчка, всегда есть то движение, кинетическая энергия которого максимальна по сравнению со всеми движениями, совместимыми с законом сохранения энергии.

Мне не хотелось бы вдаваться здесь в подробное изложение новейших работ по обоснованию физики, в частности электродинамики, которые целиком и полностью представляют собой континуальные теории и поэтому широчайшим образом используют требование непрерывности, поскольку эти исследования пока не доведены до конца.

Переходим теперь ко второму из названных выше требований, а именно к вопросу о непротиворечивости аксиом; ясно, что этот вопрос еще более важен, поскольку наличие противоречия в любой теории грозит опрокинуть ее всю.

Установление внутренней непротиворечивости даже давно признанных и доказавших свою плодотворность теорий сопряжено с немалыми трудностями; вспомним хотя бы возражения, связанные с обращением скоростей и возвращаемостью в кинетической теории газов.

Внутренняя непротиворечивость теории часто считается самоочевидной, в то время как в действительности для ее доказательства требуются глубокие математические соображения. В качестве примера рассмотрим задачу из элементарной теории теплопроводности, а именно задачу о распределении температуры внутри однородного тела, поверхность которого поддерживается при данной температуре, изменяющейся от точки к точке; в этом случае предположение о существовании состояния температурного равновесия не приводит к внутренним противоречиям в теории. Для установления же этого обстоятельства необходимо доказать, что соответствующая краевая задача теории потенциала всегда разрешима, ибо только решение этой краевой задачи показывает, что удовлетворяющее уравнению теплопроводности распределение температуры вообще невозможно.

Но в физике недостаточно еще, чтобы теоремы той или иной теории были самосогласованы; требуется также, чтобы они не противоречили теоремам из смежных областей.

Так, аксиомы элементарной теории излучения, как я недавно показал, позволяют не только обосновать теорему Кирхгофа об испускании и поглощении, но и приводят к одному специальному утверждению об отражении и преломлении лучей света, а именно к теореме: «Если два луча естественного света с одинаковой энергией падают в одно и то же место на поверхности раздела двух сред по таким направлениям, что один луч после прохождения через поверхность раздела, а другой — после отражения от нее идут в одном и том же направлении, то при их объединении снова возникает луч естественного света, причем с такой же энергией». Эта теорема (как оказалось в действительности) не противоречит оптике и может быть выведена как следствие из электромагнитной теории света.

Результаты кинетической теории газов, как известно, наилучшим образом согласуются с термодинамикой.

Аналогично, инерция электромагнитного излучения и эйнштейновская гравитация согласуются с соответствующими понятиями классических теорий, поскольку эти понятия можно рассматривать как предельные случаи более общих понятий новых теорий.

Наоборот, современная квантовая теория и успехи в познании строения атома привели к законам, прямо противоречащим всей предшествующей электродинамике, по существу построенной на уравнениях Максвелла;

поэтому современная электродинамика, как всем известно, нуждается в новом обосновании и существенной переработке.

Как следует из всего сказанного, устранение установленных противоречий в физических теориях всегда должно происходить с помощью иного выбора аксиом, и проблема заключается в том, чтобы в результате такого выбора все наблюдаемые физические законы стали логическими следствиями выбранных аксиом.

С иной ситуацией их сталкиваемся, когда противоречия встречаются в чисто теоретических областях знаний. Классическим примером такого рода может служить теория множеств, в частности восходящий еще к Кантору парадокс множества всех множеств. Этот парадокс настолько существен, что побудил некоторых весьма уважаемых математиков, например Кронекера и Пуанкаре, вообще отказать всей теории множеств — одной из самых плодотворных и жизнеспособных областей математики — в праве на существование. Но и из столь затруднительной ситуации удалось найти выход с помощью аксиоматического метода. Это сделал Цермело, который, введя подходящую аксиому, с одной стороны ограничил произвол в определениях множеств, а с другой стороны, в строго определенном смысле сузил круг допустимых утверждений об элементах множеств и развил теорию множеств таким образом, что отпали противоречия, о которых я упоминал, но значимость и применимость теории, несмотря на наложенные ограничения, сохранились.

До сих пор речь во всех случаях шла о противоречиях, которые были обнаружены в ходе развития теории и для устранения которых возникала необходимость внести изменения в систему аксиом. Но чтобы восстановить репутацию математики как эталона строгой науки, недостаточно просто избавляться от имеющихся противоречий: принципиальное требование аксиоматической теории должно простираться дальше, а именно надо знать, что внутри данной области знания, построенной на основе принятой системы аксиом, никакие противоречия  вообще невозможны.

Следуя этому требованию, я доказал в «Основаниях геометрии» непротиворечивость принятых там аксиом, продемонстрировав, что любое противоречие в следствиях из геометрических аксиом с необходимостью должно было бы означать некоторое противоречие в арифметике системы вещественных чисел.

И в физике, понятно, всегда достаточно свести вопрос о внутренней непротиворечивости к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. Так, я доказал непротиворечивость аксиом элементарной теории излучения, построив для этой теории систему аксиом, состоящую из аналитически независимых фрагментов (непротиворечивость математического анализа при этом предполагается).

Аналогичным образом можно и должно поступать, сообразуясь с обстоятельствами, и при построении математической теории. Например, если в теории групп Галуа мы примем за аксиому теорему о существовании корней или в теории простых чисел — теорему о вещественности нулей римановой дзета-функции, то и в том, и в другом случае доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к тому, чтобы доказать средствами анализа теорему о существовании корней или теорему Римана о дзета-функции, — и лишь этим обеспечивается завершенность теории.

Вопрос о непротиворечивости системы аксиом для вещественных чисел можно, используя теоретико-множественные понятия, свести к такому же вопросу для целых чисел; это — заслуга теорий иррациональных чисел Вейерштрасса и Дедекинда.

Лишь в двух случаях, а именно когда речь идет об аксиомах самих целых чисел и обосновании теории множеств, этот прием, состоящий в сведении к другой, более узкой области знания, становится явно неприменимым, ибо помимо логики нет уже ни одной дисциплины, которую при этом можно было бы привлечь.

Но поскольку доказательство непротиворечивости — вещь совершенно обязательная, представляется необходимым аксиоматизировать саму логику и показать, что теория чисел, равно как и теория множеств, составляют лишь часть логики.

Этот путь, подготавливавшийся уже давно (не в последнюю очередь глубокими исследованиями Фреге), наконец, был проложен с величайшим успехом тонким математиком и логиком Расселом. Завершение намеченной Расселом грандиозной программы по аксиоматизации логики можно было бы рассматривать как венец всех усилий но аксиоматизации науки.

Но пока завершение этой программы все еще требует новых и разносторонних усилий. По зрелом размышлении нетрудно понять, что вопрос о непротиворечивости теории целых чисел и теории множеств существует не сам по себе, а принадлежит к обширной области труднейших теоретико-познавательных вопросов со специфической математической окраской; чтобы кратко охарактеризовать эту область вопросов, назову проблему принципиальной разрешимости любой математической задачи, проблему контролируемости результатов математического исследования, вопрос o критерии простоты математического доказательства, проблему отношения содержательности и формализма в математике и логике и, наконец, проблему разрешимости математической задачи за конечное число операций.

Аксиоматизацию логики нельзя считать удовлетворительной до тех пор, пока все вопросы такого рода не будут поняты и выяснены.

Последний из названных вопросов, а именно вопрос о разрешимости за конечное число операций, — наиболее известный и чаще всего обсуждаемый, поскольку он глубоко затрагивает самую сущность математического мышления.

Я хотел бы попытаться еще более усилить интерес к нему, указав на некоторые математические проблемы более специального характера, в решении которых этот вопрос играет важную роль.

Как известно, в теории алгебраических инвариантов имеется фундаментальная теорема о том, что всегда существует конечное число целых рациональных инвариантов, через которые могут быть рационально выражены все остальные алгебраические инварианты. Данное мною первое общее доказательство этой теоремы полностью удовлетворяет, как я полагаю, нашим пожеланиям в том, что касается простоты и прозрачности; однако это доказательство невозможно видоизменить так, чтобы можно было с его помощью указать верхнюю границу числа элементов в полной системе инвариантов и уж тем более фактически найти само это число. Потребовались соображения совершенно иного рода и совершенно новые принципы, чтобы убедиться, что построение полной системы инвариантов осуществимо с помощью операций, число которых конечно и не превосходит границы, поддающейся вычислению.

Аналогичную ситуацию наблюдаем мы и в одном примере из теории поверхностей. В геометрии поверхностей четвертого порядка имеется фундаментальный вопрос: из скольких, самое большее, отдельных кусков может состоять такая поверхность?

При ответе на этот вопрос в первую очередь надо доказать, что число связных кусков поверхности должно быть конечно; это легко установить из теоретико-функциональных соображений следующим образом. Предположим, что кусков поверхности бесконечно много, и выберем в каждой части пространства, ограниченной таким куском, по точке. Точка накопления бесконечного множества выбранных точек была бы особой точкой такого типа, который исключен для алгебраических поверхностей.

Такой функционально-теоретический подход никоим образом не позволяет получить верхнюю границу числа кусков поверхности; для этого необходимы гораздо более конкретные рассуждения относительно числа точек пересечения, приводящие к заключению о том, что число кусков поверхности не может быть больше 12.

Этот второй метод, в корне отличный от первого, неприменим и не может быть видоизменен так, чтобы он стал применимым к решению вопроса о том, действительно ли существует поверхность четвертого порядка, состоящая ровно из 12 кусков.

Так как у кватернарной формы четвертого порядка 35 однородных коэффициентов, мы можем наглядно представить ее в виде точки в 34-мерном пространстве. Дискриминант кватернарной формы четвертого порядка имеет степень 108 по коэффициентам формы; если его положить равным нулю, то в 34-мерном пространстве он будет представлять поверхность 108-го порядка. Так как коэффициенты дискриминанта сами являются некоторыми целыми числами, топологический характер дискриминантной поверхности может быть точно установлен по правилам, знакомым нам по двух- и трехмерному пространству, что позволяет получить точное представление о природе и значении отдельных подобластей, на которые дискриминантная поверхность делит 34-мерное пространство. Все поверхности, представляемые точками одной подобласти, состоят из одного и того же числа кусков, что позволяет с помощью весьма трудоемких и нудных вычислений установить, существуют или не существуют поверхности четвертого порядка, состоящие из n <= 12 кусков.

Намеченные выше в общих чертах геометрические соображения доставляют третий подход к решению поднятого нами вопроса о наибольшем числе кусков, из которых может состоять поверхность четвертого порядка. Они показывают, что этот вопрос разрешим за конечное число операций. Тем самым принципиально наше требование выполнено: исходная проблема сведена к проблеме типа задачи о вычислении 10 в степени 10 в степени 10-й цифры десятичного разложения числа N — задачи, разрешимость которой очевидна, хотя решение остается неизвестным.

Наконец, потребовалось (проведенное Рохом) глубокое и трудное алгеброгеометрическое исследование, чтобы доказать, что поверхность четвертого порядка не может состоять из 11 кусков, но может состоять из 10. Таким образом, лишь этот четвертый метод дает полное решение проблемы.

Приведенные специальные примеры показывают, сколь различными могут быть методы доказательства, применимые к одной и той же задаче, и заставляют задуматься над тем, сколь необходимо изучать самую сущность математического доказательства, если мы хотим успешно решать такие вопросы, как разрешимость за конечное число операций.

Мне представляется, что принципиальные вопросы такого рода, которые я охарактеризовал выше (только что рассмотренный нами вопрос о разрешимости за конечное число операций — лишь последний из перечисленных мной), образуют новую важную область исследований, которую на» еще предстоит освоить, и для ее освоения мы должны — это мое глубокое убеждение — сделать предметом исследования самое понятие специфически математического доказательства точно так же, как астроном должен учитывать движение точки, из которой он производит наблюдения, физик заботится о теории своего прибора, а философ критикует собственный разум.

Разумеется, выполнение этой программы — пока еще нерешенная задача. В заключение я хотел бы в нескольких фразах подвести итог моих общих взглядов на сущность аксиоматического метода.

Я придерживаюсь следующей точки зрения. Все, что вообще может быть предметом научного мышления, подпадает, коль скоро созрели условия для формирования теории, под юрисдикцию аксиоматического метода и тем самым математики. При переходе к все более глубоким слоям аксиоматизации в указанном выше смысле мы достигаем и более глубокого проникновения в сущность научного мышления как такового и все более постигаем единство нашего знания. Под знаком аксиоматического метода математике, насколько можно судить, предстоит сыграть ведущую роль во всей науке вообще.