Центр антиковедения
e-mail
2002 © А.В.Петров © Центр антиковедения |
 |
КОММЕНТАРИЙ К ПЕРВОЙ КНИГЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА.
ВВЕДЕНИЕ
 [в начало]
 |
Часть II Глава 6 |
 |
 |
6. Предмет рассмотрения геометрии —
треугольники, четырехугольники, круги и вообще фигуры,
величины и их границы; то, что им по существу свойственно, —
деление, отношение, касание, равенство, параболы, гиперболы,
эллипсы и все такого рода; с другой стороны — постулаты и
аксиомы, с опорой на которые [стр. 151] проводится
то или иное доказательство, — например, проведение
единственной прямой между любыми двумя точками, или равенство
остатков при отнятии равных отрезков от равных отрезков и то,
что из этого вытекает. Поэтому не всякая проблема и не всякий
вопрос являются геометрическими, но только те, которые исходят
из геометрических начал, так что как геометр может быть
опровергнут тот, кого опровергают исходя из этих начал. А все
то, что из них не исходит, не является геометрическим, но
лежит вне геометрии. Но это последнее также двух видов: оно
либо целиком исходит из других начал, как, например, мы
называем не имеющими отношения к геометрии вопросы музыки,
потому что их рассмотрение исходит совершенно из других
предпосылок, нежели предпосылки геометрии; либо пользуется
геометрическими началами, однако превратно, например, в случае
утверждения, что параллельные сходятся. Поэтому геометрия же
дает нам критерии, на основании которых мы можем распознавать,
что соответствует ее началам, а что отступает от их истины.
Этими критериями являются способы, с помощью которых можно
показать, в чем ошибка ложного умозаключения. Действительно,
одно вытекает из геометрических начал, другое — из
арифметических. О других науках, которые стоят совсем далеко
от этих, я и не говорю, потому что, как говорит АРИСТОТЕЛЬ, из
двух наук одна точнее другой: [прим. 13] та,
которая пользуется более сложными началами, менее точна, чем
та, которая исходит из более простых предпосылок; та, которая
говорит «почему», точнее той, которая познает «что», и та,
[стр. 153] которая имеет дело с умопостигаемым,
точнее той, которая соприкасается с чувственным. Так вот, если
исходить из точности, то арифметика точнее геометрии, потому
что ее начала отличаются простотой: монада лишена положения, а
точка имеет положение, и точка, когда она получила положение,
является началом геометрии, а начало арифметики — монада; при
этом геометрия выше сферики, а арифметика — музыки, потому что
первые дают всеобщие причины для рассмотрения, проводимого
вторыми; а выше механики и оптики геометрия потому, что те
рассуждают о чувственно воспринимаемом. Поэтому начала
арифметики и геометрии превосходят начала остальных наук,
однако их собственные предпосылки отличаются одни от других
так, как мы об этом сказали, хотя — с другой стороны — между
ними есть и нечто общее; поэтому одно из того, что они
рассматривают и доказывают, обще обеим, а другое — у каждой
свое. Например, утверждение «всякое отношение может быть
выражено» относится к арифметике, но никак не к геометрии,
потому что в геометрии есть отношения, которые не могут быть
выражены. Точно так же только в арифметике есть наименьшая
разница между квадратами, [прим. 14] тогда как в
геометрии вообще нет понятия наименьшего. А особенностью
геометрии является понятия «положение» (числа положения не
имеют), «касание» (потому что касаться могут только
непрерывные величины), «иррациональные числа» (потому что
иррациональное там, где есть деление до бесконечности). Общее
у обеих то, что связано с делением (ЕВКЛИД излагает это во
Второй [стр. 155] книге — за исключением деления
прямой в крайнем и среднем отношении[, что изложено в Шестой
книге]). В свою очередь одни из этих общих предметов
рассмотрения переносятся из геометрии в арифметику, другие —
из арифметики в геометрию, а третьи равным образом имеют
отношение к обеим, поскольку переходят к ним из общей
математической науки. Таковы подстановка, обращение пропорций,
их сложение и деление, общие обеим, но только арифметика
рассматривает их первично, а геометрия — вторично, в
подражание арифметике. Поэтому, в частности, соизмеримые
величины определяются так на основании того, что они относятся
одна к другой как число к числу, потому что преимущественно
соизмеримость существует в области чисел. В самом деле, где
число, там и соизмеримое, а где соизмеримое, там и число. А
вот то, что относится к треугольникам и четырехугольникам,
геометрия рассматривает первично, а арифметика — по аналогии с
ней. Вместе с тем, фигуры существуют в числах как в своей
причине. Поэтому в данном случае, мы, начав с результатов,
переходим к их причинам, каковые находятся в области чисел, и
в одних случаях сталкиваемся с одинаковыми свойствами
(например, всякий многоугольник делится на треугольники), а в
других довольствуемся приблизительным соответствием (например,
в геометрии у нас есть четырехугольник вдвое больший другого
четырехугольника, а в числах — нет, поэтому мы говорим, что
один квадрат вдвое больше другого квадрата за вычетом единицы,
как, например, квадрат семи вдвjе больше квадрата пяти за
вычетом единицы). [прим. 15]
[стр. 157]
перевод Ю.А.Шичалина |
 |
 комментарии |
 |
13
Arist. Anal. Post. 87a31-37. 14 toys ton tetragonon
gnomonas, — буквально: «гномоны квадратов»; «гномон» означает
«наугольник»; квадратные числа 1, 4, 9, 16 и т.д. могут быть
изображены так:
|
12 + 3 = 22 22 +
5 = З2 З2 + 7 =
42 | и т.д., то есть
к 12 нужно прибавить не меньше 3, чтобы опять
получить квадрат, к 22 — не меньше 5, чтобы
получить еще один и т.д. Последовательность чисел 3, 5, 7 и
т.д. и есть последовательность гномонов квадратов. Ср. Евклид,
"Начала", 2 определение II книги и комментарий к нему
Д.Д.Мордухай-Болтовского (М.,1948,с. 295-296). 15
72 = (52 х 2) - 1; Ver Eecke приводит
другой пример: 412 — (292 х 2) — 1.
Morrow сопоставляет этот текст с текстом из "Государства"
Платона (546с), где идет речь о рациональном и иррациональном
диаметре 5 (то есть диагонали квадрата со стороною равной 5),
причем разница между квадратами того и другого равна единице;
иррациональный диаметр равен корню из (52 +
52), рациональный — 7.
комментарии
Ю.А.Шичалина | | |