Центр антиковедения
e-mail
2002 © А.В.Петров © Центр антиковедения |
 |
КОММЕНТАРИЙ К ПЕРВОЙ КНИГЕ «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА.
ВВЕДЕНИЕ
 [в начало]
 |
Часть II Глава 16 |
 |
 |
16. Таким образом, в геометрии есть и
проблемы и теоремы, но в силу того, что преобладающим здесь
является созерцание (как в механике преобладает практика), то
здесь даже все проблемы причастны умозрению, но не наоборот,
потому что доказательства в целом являются результатом
умозрения, а все то в геометрии, что следует за началами,
получается посредством доказательства, так что теоремы
являются более общим. И не все теоремы нуждаются в проблемах,
но есть и такие, которые из самих себя получают доказательство
искомого. Но те, кто отделяет теорему от проблемы, утверждают,
что если всякая проблема допускает как каждый из предикатов
свойственной ей материи, так и противоположный, то всякая
теорема хотя и допускает сам предикат, не допускает
противоположного. Их материей я называю тот род, который
исследуется, например, треугольник, четырехугольник или круг,
а предицируемым признаком — существенный признак, например,
равное, или деление, или положение, или что-либо другое в том
же роде. Поэтому когда предлагается вписать равносторонний
треугольник в круг, то речь идет о проблеме, потому что можно
вписать и неравносторонний; и точно так же, когда нужно
построить равностронний треугольник на данной прямой
определенной длины, это тоже проблема, потому что можно
построить и неравносторонний. Но когда выдигается положение,
что углы, лежащие у основания равнобедренного треугольника,
равны, следует говорить о теореме, потому что не могут быть
неравными углы, лежащие у основания равнобедренного
треугольника. [прим. 33] Поэтому
[стр. 189] если предложить в виде проблемы
построить в полукруге угол, равный прямому, значит показать
свою неосведомленность в геометрии, потому что всякий угол в
полукруге равен прямому. [прим. 34] Итак, то, чему
свойствен общий признак, причем он сопутствует всей материи, —
то следует называть теоремой, а когда признак не всеобщий и не
обязательно сопутствует данному подлежащему, — в таком случае
это нужно считать проблемой. Например, разделить пополам
прямую определенной длины — можно разделить и на неравные
части; разделить пополам любой угод, равный прямому — возможно
деление и на неравные углы; на данной прямой начертить
четырехугольник — можно и не четырехугольник; и все такого
рода следует поместить в разряд проблем.
Однако круг
ЗЕНОДОТА, принимающего учение ЭНОПИДА, но учившегося у
АНДРОНА, отличает теорему от проблемы на том основании, что
теорема исследует, каков признак соответствующей ей материи, а
проблема исследует, чем нечто является при наличии такого-то
условия. Исходя из этого последователи ПОСИДОНИЯ определяют
теорему как предложение, в соответствии с которым исследуется,
существует нечто или нет; а проблему — как предложение, в
котором исследуется, чем нечто является и каково оно; при этом
они утверждали, что теорему следует строить как утвердительное
высказывание, (например, сумма двух сторон треугольника больше
третьей; или: углы, прилегающие к основанию равнобедренного
треугольника, равны), а проблему — в качестве вопроса,
например: [стр. 191] можно ли на данной прямой
построить треугольник? Ведь не одно и то же исследовать просто
и без дополнительных ограничений, можно ли из данной точки
провести к данной прямой прямую под прямым углом, или же
рассматривать, что такое перпендикуляр.
перевод Ю.А.Шичалина |
 |
 комментарии |
 |
33
См. "Начала", кн. I, предложение 5. 34 Там же, кн.
III, предложение 31 — т.н. «теорема Фалеса».
комментарии
Ю.А.Шичалина | | |