Один из вопросов, часто задаваемых философами, когда речь заходит о математике, следующий: откуда берется такая уверенность в математических теоремах? Как математика обретает свою очевидность, свою неоспоримую истинность? Ответ интуиционистов заключается в том, что основные понятия математики столь просты, даже тривиальны, что не возникает и тени сомнения в их свойствах. Интуиционизм не является философской системой, такой, как реализм, идеализм, экзистенциализм. Единственный философский тезис интуиционизма состоит в том, что для понимания математики не требуется никакой философии. Напротив, любая философия концептуально значительно сложнее, чем математика.
Логика, в обычном смысле этого слова, зависит от философских проблем. Одно из ее основных понятий — истинность суждения. Но что есть суждение? Совпадает ли оно с предложением, которым выражено, или же оно есть нечто, скрытое «за» предложением, некий смысл? Если так, в каком отношении находятся суждение и предложение? И что значит, что суждение истинно? Предполагает ли это понятие существование внешнего мира, в котором оно истинно? Если суждение то же, что и предложение, можно задать аналогичные вопросы. Я не собираюсь отвечать на них; они решаются сотней разнообразных способов, ни один из которых не является достаточно убедительным, и все они показывают, что логика сложна и, следовательно, не может служить основой математики. Я вернусь к отношению логики и математики позднее.
Мы ищем основания математики, которые были бы непосредственно данными и понятными сразу, без философских хитросплетений. И первое, что приходит на ум, есть процесс счета. Однако, счет устанавливает соответствие между материальными или нематериальными объектами и натуральными числами, так что его можно понять, лишь если даны и внешний мир (или, по крайней мере, некоторый вид объектов), и абстрактные числа. Он еще слишком сложен, чтобы служить базисом для математики. Анализ процесса счета приведет нас к более простым, непосредственным понятиям. Мы можем пересчитывать вещи любого рода, но все они имеют одно общее свойство — они могут быть изолированы. Изолировать объект, сфокусировать на нем наше внимание — фундаментальная функция разума. Без этого невозможно никакое мышление. Активность разума проявляется в том, что он изолирует объекты. Наше восприятие в данный момент времени дано не как собрание сущностей, но как целое, в котором мы изолируем сущности более или менее сознательным мысленным актом.
Кажется, что мы не сдвинулись с места, что мы все еще пересчитываем материальные объекты. Но в действительности, то, что мы мысленно изолируем, суть не объекты, но восприятия. Я могу зафиксировать свое внимание на определенном впечатлении, чаще всего зрительном. На практике, это впечатление немедленно связывается с бесчисленными воспоминаниями, впечатлениями и образами, формирующими представление о предмете в обычном смысле этого слова. Но для процесса счета несущественно, что именно изолируется, имеет значение лишь сам факт изолирования. Сущность, понятая человеческим разумом, есть отправной пункт любого вида мышления, особенно математического. Когда мы думаем, мы думаем сущностями. Это не означает, что вся наша умственная жизнь состоит из мышления сущностями. Напротив, чем более интенсивна наша жизнь, тем меньше мы думаем об изолированных сущностях. Под влиянием сильных эмоций мир представляется некой целостью, наполненной эмоциями. Только после того, как мы успокоим наши чувства, мы сможем наметить себе цели и пути их достижения.
Вместо «концентрации внимания на восприятии» я буду говорить «создание сущности», но необходимо понимать, что глагол «создавать» несет другой смысл, нежели в выражении «создание произведения искусства». Картина после своего создания существует во внешнем мире, но это не верно для умственно созданных сущностей.
Создание сущностей в сознании — это действие, которое человек производит в каждый момент времени, по крайней мере, когда бодрствует. Мы можем задать философские вопросы, связанные с этим, например: как возможно, что мы мыслим сущностями? Но мы делаем это, не отвечая на подобные вопросы, подобно тому, как мы понимаем что-либо, не зная, как возможно понимание, живем, не зная, как возможно, что живые твари существуют. Несомненно, постижение сущности есть действие индивидуального разума. Пока я оставлю вопрос об объективности в стороне; он относится к философии. Простейший ответ — математика остается заключенной в одном сознании; позднее мы обсудим, как можно сообщать ее другим.
