Континуум

Довольно говорить об арифметике. Следующий шаг — введение действительных чисел, которые создают серьезные трудности для конструктивистов. Действительное число определяется посредством бесконечной последовательности натуральных чисел. Здесь бесконечность существенно важнее, чем в арифметике, в которой она возникает лишь в форме «за каждым натуральным числом следует еще одно».

В анализе мы делаем высказывания о каждом действительном числе, т. е., о каждой бесконечной последовательности натуральных чисел. Трудность в том, что у нас нет ясного представления о гипотетической последовательности; нет общего метода построения последовательностей, какой есть для построения натуральных чисел. Одно решение найдено в теории рекурсивных функций; рекурсивный анализ стал важной областью исследований. Но понятие рекурсивной функции появилось в 30-х годах, тогда как работа Брауэра, касающаяся действительных чисел, происходила между 1907 и 1927. Более того, как хорошо известно, рекурсивные действительные числа не исчерпывают континуум; в отличие от последнего, множество рекурсивных действительных чисел перечислимо. Брауэр пытался найти конструктивное понятие, которое было бы насколько возможно близко к обычному понятию континуума. Он работал над этой проблемой всю жизнь. В своей диссертации 1907 г. он вводил континуум как первичное понятие. Человек имеет идею континуума (интуиция времени), в котором он может построить плотную, перечислимо бесконечную шкалу. Точка континуума определяется сходящейся последовательностью точек шкалы. Если мы ограничимся последовательностями, определяемыми некоторым законом (предопределенными последовательностями), то мы не получим все точки континуума. В неконструктивной математике такой трудности нет. Можно просто определить множество всех сходящихся последовательностей, независимо от того, задаются они каким-либо законом или нет. Но для конструктивиста индивидуально существуют лишь предопределенные последовательности. Брауэр нашел выход, введя понятие последовательности выбора. Сходящуюся последовательность рациональных чисел можно получить, выбирая ее члены один за другим: $r_1$, $r_2$, ..., сходимость можно обеспечить, к примеру, налагая ограничение, чтобы $\vert r_{n+1}-r_n\vert < 2^{-n}$ для каждого $n$. Мы имеем здесь пример потока. Поток определяется правилом, задающим ограничения на выборы.

С 1918 г. Брауэр более не считал континуум первичным понятием. Он смог обойтись без этого, так как определенный выше поток полностью представлял континуум, по крайней мере, его математические свойства.

Понятие потока не является проблематичным. Оно определяется ограничением на конечные последовательности. Но последовательность выбора — важное новое фундаментальное понятие, которое вызывает несколько вопросов. Первый вопрос, насколько свободными должны быть выборы? Была попытка определить последовательность выбора как беззаконную последовательность, в которой каждый выбор должен делаться абсолютно свободно. Однако, такие беззаконные последовательности имеют неприятные свойства; они — отшельники, не склонные к связям друг с другом ([5]).

Единственное отношение, в котором могут находиться две беззаконные последовательности, — это отношение полной идентичности, так как, если они не одинаковы, то полностью независимы. Таким образом, для того, чтобы заниматься математикой с последовательностями выбора, необходимо допускать ограничения на свободу выборов. Брауэр поступал так с самого начала. У нас был пример потока, представляющего континуум. Разумно допускать, чтобы ограничения накладывались во время процесса выбора. Например, я начинаю без ограничений и выбираю $1/2$, $1/4$, $3/8$. В этот момент я могу наложить ограничение, чтобы каждый следующий член был равен $3/8$. Другой возможный вариант — оставить возможность выбирать всегда $3/8$ или, начиная с $n=k$, выбирать $3/8+2^{-k}$. В последнем случае мы не знаем, определяет ли наша последовательность число $3/8$ или некоторое число, немного большее $3/8$. В любой момент времени последовательность выбора $\alpha$ состоит из конечного отрезка вместе с определенными ограничениями на дальнейшее ее продолжение. Поскольку доказательство некоторого свойства $\alpha$ должно быть проведено за конечное время, оно зависит лишь от этих данных. Этот факт известен как принцип непрерывности Брауэра. Он дает нам возможность понять некоторые специфические теоремы о континууме. Например, каждая функция, определенная всюду на замкнутом интервале, равномерно непрерывна. Пусть $f$ — данная функция; мы хотим вычислить $f(a)=b$. $a$ определено последовательностью выбора $a_1$, $a_2$,... рациональных чисел, $b$ — последовательностью $b_1$, $b_2$,...; $b_n$ должно определяться конечной последовательностью $a_1 \ldots a_m$, но тогда все последовательности, начинающиеся с $a_1 \ldots a_m$ дадут то же $b_n$. Это означает, что определенная аппроксимация $b$ задается определенной аппроксимацией $a$. Это рассуждение не является доказательством теоремы. Я лишь сделал ее правдоподобной.

Можно заниматься конструктивной математикой без последовательностей выбора, но они представляют интерес по нескольким причинам.

1. Понятие континуума, соответствующее обычным представлениям, можно дать только с помощью последовательностей выбора.
2. Рассуждения о последовательностях выбора интересны сами по себе, как, например, теорема о непрерывности, и они приводят к интересным результатам.
3. Точная формулировка понятия и основных свойств последовательностей выбора поднимает интересные вопросы, которые привлекли значительное внимание за последние 10 лет. Удивительно, что формализация оказалась наиболее важным методом, применяемым в этой работе; это значительно повлияло на отношения между интуиционизмом и формализмом, о чем я скажу позднее.

Другой аргумент в пользу последовательностей выбора состоит в том, что мы можем проводить вычисления с ними. Например, если $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ сходящиеся последовательности выбора, определяющие действительные числа $a$ и $b$, то $\{a_n+b_n\}$ будет сходящейся последовательностью, определяющей $a+b$.